高中数学北师大版 必修第二册第三章 ——数学建模活动（二）【课件+同步练习】
展开第三章 数学建模活动（二）
[A级 基础巩固]
1．某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了a km，休息了一段时间，又沿原路返回b km(b<a)，再前进c km，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是( )
A B C D
C [B与C的区别在于C中沿原路返回时耗费了时间而B中没有体现，故选C.]
2．已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是( )
A.－1 B.
C.－1 D.
A [设月平均增长率为x,1月份产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，
故x＝－1.]
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
答案：B
【解析】
主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题．
解：设甲地销售辆，依题意L1 +L2=5.06－0.15 +2（15－）==，所以当取整数10时，最大利润为45.6，故选B．
4．一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0<x<m，且x∈N*），其关系式为
A．y=a（1+p%）x B．y=a（1–p%）x C．y=a（p%）x D．y=a–（p%）x
答案：B
【分析】
根据题意，成本每年降低率相同，符合指数函数模型问题，利用指数函数即可解决问题
【详解】
根据题意，得y=a（1–p%）x，∵x是年数，又由题意0<x<m，x∈N，因此所求关系式为y=a（1–p%）x（x∈N，1<x<m）．故选B．
【点睛】
本题考查了指数函数模型的应用问题，解题时应根据题意，建设指数函数模型，从而解决问题，是基础题
5.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( )(下列数据仅供参考：＝1.41，＝1.73，＝1.44，＝1.38)
A．38% B．41% C．44% D．73%
解析：设年平均增长率为p，由题意得(1＋p)6＝23,1＋p＝＝1.41，∴p＝0.41.故选B.
答案：B
6．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
解析：当N＝40时，t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
答案：36.72
7.A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)求x的范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．
[解] (1)x的取值范围为[10，90]；
(2)y＝0.25×20x2＋0.25×10(100－x)2＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)；
(3)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋.
则当x＝ km时，y最小．
故当核电站建在距A城 km时，才能使供电费用最小．
[B级 综合运用]
1、在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如下表：
x | 0.50 | 0.99 | 2.01 | 3.98 |
y | －1.01 | 0.01 | 0.98 | 2.00 |
则x，y最合适的函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
D [根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可排除A；根据x＝2.01，y＝0.98代入计算，可排除B、C；将各数据代入y＝log2x，可知D满足题意．]
2、某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
【解析】
由题意知，普通自行车存车x辆时，电动自行车存车4000-x辆，则
, 0≤x≤4 000
故选C
3、某工厂在某年12月份的产值是这年1月份的产值的m倍，则该厂在本年度的产值的月平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
由题意，该厂去年产值的月平均增长率为，则.
解得：
故选：D．
【点睛】
本题考查函数模型的选择，利用了有关增长率问题的函数模型，属于基础题．
4、某城市出租车起步价为10元，最远可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费)，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
解析：出租车起步价为10元(最远3 km的行程)，即在(0,3]内对应y值为10，以后每1 km增加1.6元，故选C.
答案：C
5、某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；②y＝1.003x；③y＝1＋log7x；④y＝x2.
解析：由题意知，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10,1 000]时，
(ⅰ)函数为增函数；
(ⅱ)函数的最大值不超过5；
(ⅲ)y≤x·25%＝x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(ⅰ)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(ⅰ)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋log7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋log71 000＝1＋<5，且1＋log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
答案：③
6、某工厂2,3月份分别生产产品2万件，log26万件，为了估计以后每个月的产量，以这两个月的产量为依据，用对数函数y＝logbx＋c模拟，问8月份的产量为多少万件？
[解] 由题意得
解得b＝2，c＝1，f(x)＝log2x＋1.
f(8)＝log28＋1＝4，因此8月份的产量为4万件．
7．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lg A－lg A0．其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
（1）假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
【详解】
（1）M＝lgA－lgA0＝＝＝4．即这次地震的震级为4级．
（2），＝3，＝1 000，
即我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．
【点睛】
本题考查了函数的应用，属基础题．
[C级 拓展探究]
1．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润表示为年产量的函数．
（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？
（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？
【详解】
（1）设利润为y万元，
得即
（2）显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大．
（3）要使企业不亏本，则．
即或得或，即．
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题.
2、某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t，120t，130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数， x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为 137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
[解] 根据题意可列方程组
解得所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70. ①
同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140. ②
再将x＝4分别代入①与②式得f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，
g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).
与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，
所以②式作为模拟函数比①式更好，
故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．
