2021学年6.3 实数学案

6.3 实数（知识讲解）

【学习目标】

1. 了解无理数和实数的意义；

2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .

【知识要点】

 要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

         （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分：

    实数

按与0的大小关系分：

    实数

   2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

要点四、实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

【典型例题】

类型一、实数概念的理解

1．已知：a，b均为有理数，且满足．化简．

【答案】当x＜-2时，；当-2≤x≤1时，；当x＞1时，

【分析】根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，去绝对值化简即可．

解：，a，b均为有理数，

∴，

∴，，

∴a=-4，b=1，

∴=，

当x＜-2时，==；

当-2≤x≤1时，==；

当x＞1时，==．

【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a和b的值．

【变式】课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：

，，，0，，，

其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”

（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是________．

（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；

【答案】（1）甲；（2）正实数为，，负分数为

【分析】（1）根据无理数的概念即可判断；（2）根据实数相关概念填空即可．

解：（1）是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错；

（2）正实数包括正有理数与正无理数，故答案为：、；

负分数为：．

【点拨】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键．

类型二、实数的分类

2．把下列各数填入相应的集合内：

，，，，，，，，．

（1）有理数集合                   ；

（2）无理数集合                   ；

（3）正实数集合                   ；

（4）负实数集合                   ．

【答案】（1），，，，，，；（2），，，；（3），，，，，，，；（4），，

【分析】

（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；
（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；
（3）根据正实数的定义进行判定即可得出答案；
（4）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．

解：（1），，，，，，；

（2），，，；

（3），，，，，，，；

（4），，．

【点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键．

【变式】将下列各数的序号填在相应的集合里．

①π；②；③；④3.14； ⑤1.6； ⑥0； ⑦﹣3.3030030003…（每两个3之间依次增加一个0）

整数集合：{　   　…}；

负数集合：{　   　…}；

无理数集合：{　   　…}．

【答案】③⑥；③⑦；①⑦

【分析】根据有理数和无理数的性质进行分类，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得出答案．

解：，

∴依题意得：整数集合：{③⑥…}；

负数集合：{③⑦…}；

无理数集合：{①⑦…}．

故答案为：③⑥；③⑦；①⑦．

【点拨】本题考查了实数的有关概念及性质，熟记有理数的分类是解决本题的关键．

类型三、实数的性质

3．若，化简

【答案】

【分析】由判断＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．

解：∵，

∴＞0，

∴

∴

【点拨】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．

【变式】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可知：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么．运用上述知识，解决下列问题：

（1）若，其中a，b为有理数，求a，b的值；

（2）若，其中a，b为有理数，求的值．

【答案】（1）a=2，b=3；（2）

【分析】

（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定；

（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解．

解：（1）由，得a-2=0，b-3=0，

解得：a=2，b=3；

（2）整理，得，

∵a、b为有理数，

∴，

解得：，

∴==．

【点拨】本题考查了实数的运算，正确理解题意是关键．

类型四、实数与数轴

4．在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接．，，，，．

【答案】见解析，

【分析】根据实数在数轴上的表示方法和数轴上的数比较大小的方法求解即可．

解：如图所示，

从小到大排列为：．

【点拨】此题考查了实数在数轴上的表示方法，比较数轴上数的大小，解题的关键是熟练掌握实数在数轴上的表示方法，比较数轴上数的大小的方法．

【变式】．如图，已知实数，－1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．

（1）点B表示的数为          ，点D表示的数为          ；

（2）点C与点D之间的距离为          ；

（3）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a+b的值．

【答案】（1），；（2）4；（3）3

【分析】

（1）先将无理数估算，然后根据所给的数值，在数轴上进行分析判断即可；

（2）点C对应的数轴上数值减去点D对应的数轴上数值即可；

（3）分别计算出的值，代入计算即可．

解：（1）∵，

∴点B表示的数为，点D表示的数为

（2）∵点C表示的数为4，点D表示的数为

∴点C与点D之间的距离为：

（3）由题意得，点A表示的数为－1，点C表示的数为4，点D表示的数为

所以点A和点B之间距离为a=

点C和点D之间的距离为b=

则a+b=

【点拨】本题考查数轴上两点之间的距离以及无理数的估算，牢记相关内容并能结合数轴灵活应用是解题关键．

类型五、实数的大小比较

5．例如：比较与2的大小；

，

，则，

，

．

请根据上述方法解答以下问题：

（1）比较大小：_______3；

（2）比较与的大小，并说明理由．

【答案】（1）＞；（2）＜，理由见解析

【分析】

（1）由＜＜，可得：3＜＜4，从而可得答案；

（2）由＜＜，可得4＜＜5，从而可得：0＜，即0＜，从而可得答案．

解：（1）＜＜，

＜＜4；

（2）＜＜，

＜＜5，

＜，

＜，

＜，

＜．

【点拨】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．

【变式】通过估算，比较与的大小．

【答案】．

【分析】要比较与的大小，只要比较与的大小，即与的大小，再根据无理数的比较方法即可得．

解：，

，

，

．

【点拨】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．

类型六、实数的整数部分与小数部分

6．已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根．

【答案】

【分析】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案．

解：∵2a-1的平方根是±3，

∴2a-1=9，

解得：a=5，

∵3a+b-9的立方根是2，

∴15+b-9=8，

解得：b=2，

∵4＜＜5，c是的整数部分，

∴c=4，

∴a+2b+c=5+4+4=13，

∴a+2b+c的算术平方根为

【点拨】此题主要考查了平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键．

【变式】阅读材料：

∵＜＜，即2＜＜3，

∴0＜﹣2＜1，

∴的整数部分为2，的小数部分为﹣2．

解决问题：

（1）填空：的小数部分是 　 　；

（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求a+b﹣的立方根．

【答案】（1）；（2）2

【分析】

（1）根据求＜＜的取值范围，进而得实数小数部分；

（2）由9＜＜10得a的值，1＜＜2得b的值，再进行相应的计算．

解：（1）∵16＜19＜25，

∴

∴的整数部分是4，

∴小数部分是．

故答案为：．

（2）∵81＜90＜100，

∴

∴a=9

∵

∴

∴

∴a+b-=8，

∴a+b-的立方根为2．

【点拨】本题考查了实数的整数部分及小数部分，掌握无理数的取值范围，从而求出整数部分和小数部分，求出结果是求立方根的关键．

类型七、实数的混合运算

7．计算：+++．

【答案】．

【分析】先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得．

解：原式

．

【点拨】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

【变式】计算

（1）               （2）

【答案】

（1）-2         （2）1

【分析】

（1）先分别计算开平方和开立方，再进行有理数的加、减混合计算即可；

（2）先去绝对值，去括号，再进行实数的加、减混合计算即可；

（1）解：

；

（2）解：

．

【点拨】本题考查实数的混合运算．掌握运算方法与运算顺序是解出本题的关键．

类型八、程序设计与实数运算

8．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．

（1）用含m的代数式表示该程序的运算过程

（2）当实数的一个平方根是时，求输出的结果．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）直接利用运算程序即可得到关于m的代数式；（2）把已知数据带入求解即可；

解：（1）由题意可得．

（2）原式，

当实数的一个平方根是时，，即．

所以原式．

【点拨】本题主要考查了代数式求值，准确得出运算程序是解题的关键．

【变式】如图，是一个“数值转化机”的示意图．

（1）求输出的结果；

（2）计算当输入x＝3时，输出的值．

【答案】（1）（4x﹣6）÷2；（2）3.

【分析】（1）根据题中的程序框图列出算式；（2）代入计算即可得到结果．

解：（1）输出的结果为（4x﹣6）÷2；

（2）当x＝3时，

（4x﹣6）÷2

＝（4×3﹣6）÷2

＝（12﹣6）÷2

＝6÷2

＝3．

【点拨】此题考察有理数的计算，正确理解题意是解题的关键，（1）根据程序图列出代数式，（2）中将x的值代入计算即可.

类型九、新定义下的实数运算

9．运算，满足

（1）求的值；    （2）求的值．

【答案】（1）-10       （2）-22

【解析】

（1）解：

（2）解：

【点拨】本题考查了有理数的混合运算，利用新运算代入求值即可，关键在于理解新运算，代入时候看清楚符号是否正确．

【变式】对于有理数a，b，定义运算：

（1）计算的值；

（2）填空_______：（填“＞”、“＜”或“＝”）

（3）与相等吗？若相等，请说明理由．

【答案】（1）；（2）=；（3）相等，证明见详解．

【分析】

（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；

（2）先按新定义运算，再比较大小；

（3）按新定义分别运算即可说明理由．

解：（1）；

（2），

，

∴=，

故答案是：=；

（3）相等

∵，，

∴=．

【点拨】此题是定义新运算题型，直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．

类型十、实数运算的实际应用

10．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：

问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．

解：由题意得，

∵a，b都是有理数，

∴也是有理数，

∵是无理数，

∴，

∴，

∴

解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．

【答案】8或0

【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．

解：∵，

∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，

∴x2-2y-8=0，y-4=0，

解得，x=±4，y=4，

当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，

当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，

即x+y的值是8或0．

【点拨】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．

【变式】（1）小明解方程去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为多少？

（2）设x，y是有理数，且x，y满足等式，求x-y的值．

【答案】（1）x＝−13；（2）（2）x-y的值为9或-1.

【分析】

（1）将错就错把x＝2代入计算求出a的值，即可确定出正确的解；

（2）根据题意可以求得x、y的值，从而可以求得x−y的值．

解：（1）把x＝2代入2（2x−1）＝3（x＋a）−3中得：6＝6＋3a−3，

解得：a＝1，

代入方程得：，

去分母得：4x−2＝3x＋3−18，

解得：x＝−13；

（2）∵x、y 是有理数，且 x，y 满足等式，

∴，

解得，或，

∴当x＝5，y＝−4时，x−y＝5−（−4）＝9，

当x＝−5，y＝−4时，原式＝−5−（−4）＝−1．

故x-y的值为9或-1.

【点拨】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了实数．

类型十一、实数的规律运算

11．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．

，，，，……

（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．

（2）①计算：．

②若a为最小的正整数，，求：

．

【答案】（1），；（2）①；②

【分析】

（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；

（2）①根据运算规律可得结果．

②利用非负数的性质求出与的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．

解：（1）根据规律得：第5个等式是，第n个等式是；

（2）①，

，

，

；

②为最小的正整数，，

，，

原式，

，

，

，

．

【点拨】本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．

【变式】阅读下列解题过程：

；

；

；…

（1）________．

（2）按照你所发现的规律，请你写出第个等式：________．

（3）利用这一规律计算：

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；

（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．

解：（1）；

故答案为：；

（2）观察上面的解题过程，发现的规律为：

，

故答案为：；

（3）

．

【点拨】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．