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2021学年6.3 实数学案设计
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这是一份2021学年6.3 实数学案设计,共7页。学案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题,总结升华,答案与解析等内容,欢迎下载使用。
专题6.5 实 数(知识讲解)【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义;2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】 要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释:(1)无理数的特征:无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环,不能表示成分数的形式. (2)常见的无理数有三种形式:①含类.②看似循环而实质不循环的数,如:1.313113111…….③带有根号的数,但根号下的数字开方开不尽,如.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分: 实数按与0的大小关系分: 实数 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0,负实数小于0,两个负数,绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念 1.将下列各数填入相应的集合内:, 1.010010001, , 0, , …(相邻的两个2之间的3一次增加1个), .有理数集合{ …}无理数集合{ …}【解析】有理数为整数与分数的统称,无理数为无限不循环的小数,掌握三类开方开不尽的,无限不循环的小数,与π有关的数进行排查即可.解:有理数集合{ , 1.010010001, , 0, ,… }无理数集合{ ,…(相邻的两个2之间的3一次增加1个),…}【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式:①含类.②看似循环而实质不循环的数,如:0.1010010001…….③带有根号的数,但根号下的数字开方开不尽,如,,,. 举一反三:【变式】在下列语句中:①无理数的相反数是无理数;②一个数的绝对值一定是非负数;③有理数比无理数小;④无限小数不一定是无理数.其中正确的是( )A.②③ B.②③④ C.①②④ D.②④【答案】C;解:①因为实数包括有理数和无理数,无理数的相反数 不可能式有理数,故本选项正确;②一个数的绝对值一定≥0,故本选项正确;③数的大小,和它是有理数还是无理数无关,故本选项是错误的;④无限循环小数是有理数,故本选项正确. 类型二、实数大小的比较2.“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法,即例如:比较与2的大小;,,则,,.请根据上述方法解答以下问题:(1)比较大小:_______3;(2)比较与的大小,并说明理由.【答案】(1)>;(2)<.【分析】(1)由<<,可得:<<,从而可得答案;(2)由<<,可得<<,从而可得:<,即<,从而可得答案.【详解】解:(1)<<,<<,故答案为:>.(2)<<,<<,<,<,<, <.【点拨】本题考查的是实数的大小比较,掌握实数的大小比较的方法是解题的关键.举一反三:【变式】(1)用“<”、“>”或“=”填空:_____,_______;(2)由以上可知:①________________;②_____________;(3)计算:.(结果保留根号)【答案】(1)<,<;(2)①;②;(3)【分析】(1)当被开方数越大时算数平方根越大,依此判断即可;(2)依据(1)知次数为负数,而负数的绝对值等于它的相反数即可化简;(3)依据(2)将化简的结果相加即可.解:(1)<,< (2)①;②(3)原式= =【点拨】此题是考察算数平方根的大小比较,准确解得(1)是关键,为后两问做基础. 3、把下列各数在数轴上表示出来,并把它们按从小到大的顺序用“<”连接起来:3, ﹣2.5, |﹣2|, 0, , (﹣1)2.【分析】根据实数与数轴上的点一一对应,可把实数表示在数轴上,根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大,可得答案.解:【点拨】此题考查实数比较大小,数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键. 类型三、实数的运算4、计算:(1) (2)【答案与解析】解:(1) (2)= == =【点拨】本题考查了无理数的运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.举一反三:【变式1】计算解: ==.【变式2】计算: 解:原式.【点拨】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 5、阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用来表示的小数部分,事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是的小数部分,又例如:∵,即,∴的整数部分为2,小数部分为。请解答(1)的整数部分是______,小数部分是_______。(2)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求的值。(3)已知x是的整数部分,y是其小数部分,直接写出的值.【答案】(1)3;﹣3; (2)4;(3)x﹣y=7﹣.【解析】【分析】(1)由3<<4可得答案;(2)由2<<3知a=﹣2,由6<<7知b=6,据此求解可得;(3)由2<<3知5<3+<6,据此得出x、y的值代入计算可得.解:(1)∵3<<4,∴的整数部分是3,小数部分是﹣3;故答案为3;﹣3.(2)∵2<<3,∴a=﹣2,∵6<<7,∴b=6,∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4.(3)∵2<<3,∴5<3+<6,∴3+的整数部分为x=5,小数部分为y=3+﹣5=﹣2.则x﹣y=5﹣(﹣2)=5﹣+2=7﹣.【点拨】本题考查了估算无理数的大小,解决本题的关键是熟记估算无理数的大小..举一反三:【变式】阅读理解∵在,即,∴.∴的整数部分为1,小数部分为. 解决问题 已知是的整数部分,是的小数部分,求的平方根.【答案】平方根为【分析】根据阅读材料的方法先确定出的范围,继而得到a、b的具体数值,然后再代入式子(-a)3+(b+4)2求值,最后再根据平方根的定义进行求解即可.解:∵,即4<<5,∴1<-3<2,∴-3的整数部分为1,小数部分为-4,即a=1,b=-4,∴(-a)3+(b+4)2=-1+17=16,16的平方根是±4,即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.【点拨】本题考查了无理数的估算,阅读题,通过阅读材料找到解决此类问题的方法是关键.
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