初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.4 平移导学案

5.4 平移（知识讲解）

【学习目标】

1.理解平移的概念；

2．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质；

3.能用平移变换有关知识进行简单作图并说明一些简单问题及进行图形设计.

【要点梳理】

1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．

特别说明：

（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．

（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

2. 性质：

图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：

（1）平移后，对应线段平行且相等；

（2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；

（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

特别说明：

（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．

(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.

3. 作图：

平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．

   (1)定：确定平移的方向和距离；

   (2)找：找出表示图形的关键点；

   (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；

   (4)连：按原图形顺次连接对应点．

【典型例题】

类型一、生活中的平移现象 

1．下列现象中：（1）将一张纸沿它的中线折叠；（2）飞碟的快速转动；（3）电梯的上下移动；（4）翻开书中的每一页纸张，其中是平移的是________（填序号）。

【解析】

【分析】根据平移的定义，可得答案．

 解：（1）将一张纸沿它的中线折叠，不符合平移定义，故本选项错误；

（2）飞蝶的快速转动，不符合平移定义，故本选项错误；

（3）电梯的上下移动，符合平移的定义，正确；

（4）翻开书中的每一页纸张，不符合平移的定义，故本选项错误．

故答案为：（3）．

【点拨】本题考查平移的概念，与实际生活相联系，注意分清与旋转、翻转的区别．

举一反三：

【变式1】 下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是______．

(1)摆动的钟摆；(2)在笔直的公路上行驶的汽车；(3)随风摆动的旗帜；(4)投篮时运动的篮球；(5)从楼顶自由落下的球球不旋转

【答案】（2）（5）．

【分析】根据平移的定义，对题中的条件进行一一分析，选出正确答案．

解答：(1)摆动的钟摆，不是沿直线运动，不属于平移；

(2)在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移；

(3)随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移；

(4)投篮时运动的篮球方向不是沿直线运动，不属于平移；

(5) 从楼顶自由落下的球(球不旋转)沿直线运动，属于平移．

故答案为(2) (5).

【点拨】本题考查生活中的平移现象，解题的关键是看除了位置，其他是否发生变化是解题的关键.

【变式2】 如图，ABCD是一块长方形场地，AB＝18米，AD＝11米，从A，B两处入口的小路的宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________平方米．

【答案】160

解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（18﹣2）米，宽为（11﹣1）米．

所以草坪的面积应该是长×宽=（18﹣2）（11﹣1）=160（米2）．

故答案为：160．

【点拨】本题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题的关键．

类型二、图形的平移 

2．如图（1），已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．

（1）求△ABC所扫过的图形面积；

（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；

（3）若∠BEC=15°，求AC的长．

【答案】（1）9；（2）BE⊥AF，理由见解析；（3）2．

【分析】

（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，从而便可得到四边形CEFB的面积；

（2）由已知可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系为垂直；

（3）作BD⊥AC于D，结合三角形的面积求解．

解：（1）由平移的性质得

AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC

∴四边形AFBC为平行四边形

S△EFA=S△BAF=S△ABC=3

∴四边形EFBC的面积为9；

（2）BE⊥AF

证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形

∴BF∥AC，且BF=AC

又∵AE=CA

∴BF∥AE且BF=AE

∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC

∴AB=AE

∴平行四边形EFBA为菱形

∴BE⊥AF；

（3）如上图，作BD⊥AC于D

∵∠BEC=15°，AE=AB

∴∠EBA=∠BEC=15°

∴∠BAC=2∠BEC=30°

∴在Rt△BAD中，AB=2BD

设BD=x，则AC=AB=2x

∵S△ABC=3，且S△ABC=AC•BD=•2x•x=x2

∴x2=3

∵x为正数 

∴x=

∴AC=2．

【点拨】本题考查全等三角形的判定、菱形的判定与性质、平移的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识知识是解题关键．

举一反三：

【变式】 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A1B1C1

（1）在网格中画出△A1B1C1；   

（2）A1B1与AB的位置关系是________   

（3）△A1B1C1的面积为________

【答案】（1）见解析；（2）平行；（3）

【分析】

（1）将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出即可；

（2）根据平移的性质：对应线段平行且相等，即可得出答案；

（3）利用三角形的面积公式列式进行计算，即可得出答案．

（1）解：将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，如图所示，则即为所求．

（2）与是对应线段，根据平移的性质可得：与的位置关系是平行，

故答案为：平行；

（3）的面积＝，

故答案为：．

【点拨】此题考查了作图﹣平移、平移的性质、三角形的面积计算，熟练掌握平移的有关性质是解题的关键．

类型三、利用平移的性质求解 

3．如图,将沿方向向右平移得．若,．则__________．

【答案】4

【分析】根据平移的性质可得AB=DE,然后求出AD=BE,再求出AD的长即为平移的距离CF．

解:∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF,
∴AB=DE,
∴AB-DB=DE-DB,
即AD=BE,
∵AE=11,DB=3,
∴AD=（AE-DB）=×（11-3）=4,
即平移的距离为4．
∴CF=AD=4,
故答案为：4

【点拨】本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等．

举一反三：

【变式1】 如图，在直角三角形中，，，，将沿直线平移2.5个单位得到三角形，连接．有下列结论：①；②，；③；④．其中正确的结论有__________（填序号）．

【答案】①②③④

【分析】根据平移的性质得到AC∥DF，AB∥DE，AD∥CF，AD=CF=2.5，∠EDF=∠BAC=90°，则利用平行线的性质得∠ABE=∠DEF，利用垂直的定义得DE⊥DF，于是根据平行线的性质可判断DE⊥AC．

 解：∵将△ABC沿直线向右平移2.5个单位得到△DEF，

∴AC∥DF，AB∥DE，AD∥CF，AD=CF=2.5，∠EDF=∠BAC=90°，

∴∠ABE=∠DEF，DE⊥DF，

∴DE⊥AC，

∴①②③④都正确．

故答案为：①②③④.

【点拨】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．

【变式2】如图，在中，，，将沿方向平移得到，且，．

（1）求线段的长；

（2）求四边形的周长．

【答案】(1)8；(2)31

【分析】

（1）根据平移的性质可以得到，然后可以算出AD的长；

(2) 根据平移的性质和已知条件得出四边形的各边边长，即可算出四边形的周长．

解：（1）∵沿方向平移得到，

∴．

∵，，

∴．

∴．

（2）∵沿方向平移得到，

∴，

．

∴四边形的周长．

【点拨】本题考查平移的性质和应用，熟练把握平移性质并算出平移距离是解题关键．

类型四、利用平移性质解决实际问题 

4．如图，粗线①和细线②是泉州公交车从青少年宫A到侨乡体育馆B的两条行驶路线．

（1）判断两条线的长短：粗线①           细线②．（填“>”“<”或“=”）

（2）小丽坐出租车由侨乡体育馆B到青少年宫A，假设出租车的收费标准为起步价8元，3千米以后按每千米1.2元计费，用代数式表示出租车行驶千米时的费用．

（3）如果（2）中的这段路程长5千米，小丽身上的10元钱够不够小丽坐出租车由侨乡体育馆到青少年宫呢？请说明理由．

【答案】（1）＝；（2）（1.2x+4.4）元；（3）小丽身上的钱不够坐出租车由体育馆到少年宫，理由见解析

【分析】

（1）根据平移的性质解答即可；

（2）根据收费=起步价8元+1.2×（行驶路程－3）列式整理即可；

（3）把x=5代入（2）题的关系式计算，再用计算结果与10作比较即可．

解：（1）如图所示：

∵BH+GF+DE=AC，HG+FE+DA=BC，

∴粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B的长相等；

故答案为：＝；

（2）根据题意得：出租车行驶x千米的费用=8+1.2(x﹣3)=（1.2x+4.4）元；

（3）当x=5时，出租车行驶5千米的费用=1.2×5+4.4=10.4＞10，

∴小丽身上的钱不够坐出租车由体育馆到少年宫．

【点拨】本题考查了平移的性质和列出实际问题中的代数式和代数式求值，属于基本题型，熟练掌握平移的性质是解（1）题的关键，弄清题意、正确列出代数式是解（2）题的的关键．

举一反三：

【变式】 如图所示，某住宅小区内有一块长的长，宽方形形，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分做绿化，道路的宽为米，求绿化的面积．

【答案】绿化的面积为540m2

【分析】把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果．

解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH是矩形．

∵CF=32-2=30（米），CG=20-2=18（米），
∴矩形EFCG的面积=30×18=540（平方米）．
答：绿化的面积为540m2．

【点拨】本题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形ABCD的最上边和最左边，使余下部分EFGH是一个矩形，是解决本题的关键．

类型五、平移作图 

5.如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．

【分析】先连接AA′然后作AA′的平行线，利用平移性质分别确定A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′，然后再顺次连接即可．

解：如图所示，

（1）连接AA′，过点B作AA′的平行线，在上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对应点．

（2）用同样的方法做出点C的对应点C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，

就得到平移后的三角形A′B′C′．

【点拨】本题主要考查了平移作图，根据题意确定A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′是解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，将字母A按箭头所指的方向平移，画出平移后的图形．

【分析】根据图形平移的性质画出图形即可．

解：如图所示，在字母A上找出关键的5个点分别过这5个点按箭头所指的方向作5条长的线段，将所作线段的另5个端点按原来的方式连接，即可得到字母A平移后的图形．

【点拨】本题考查的是作图-平移变换，作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．熟知图形平移的性质是解答此题的关键．

【变式2】如图，经过平移，的顶点A移到了点D．

（1）指出平移的方向和平移的距离；

（2）画出平移后的三角形．

【答案】（1）平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段的长度；（2）见解析

【分析】（1）根据题意可知平移的方向和距离；（2）按照点到点的平移方向和距离，分别平行至，过点B，C分别作线段，使得它们与线段平行且相等，连接即可．

解：（1）如图，连接，平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段的长度．

（2）如图，过点B，C分别作线段，使得它们与线段平行且相等，连接，就是平移后的图形．

【点拨】本题考查了平移的性质，平移作图，理解平移的性质是解题的关键．