第一章《三角函数》（中档题）达标检测（二）-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】（北师大2019版第二册）

第一章《三角函数》（中档题）达标检测（二）【课时分层练】

2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】

一、单选题

1．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

利用正弦函数和正切函数的单调性求解.

【详解】

因为，，且在上递增，

所以

又在上，且递增，

所以，且，所以，所以

故选：C

2．函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

当时，去掉绝对值化简函数，可得函数的值域．

【详解】

是偶函数

当时，

即此时

故选：A

3．为使函数在区间上至少出现100次最大值，则的最小整数值是（    ）

A．616 B．624 C．627 D．629

【答案】B

【分析】

根据诱导公式化简函数解析式，利用一个周期内只有一个最大值，即可求解.

【详解】

由知，

在区间上至少出现100次最大值，需要最少有个周期，

所以，解得，故的最小整数值是624.

故选：B

4．科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （    ）

A．智力曲线处于最低点

B．情绪曲线与体力曲线都处于上升期

C．智力曲线与情绪曲线相交

D．情绪曲线与体力曲线都关于对称

【答案】D

【分析】

由已知得第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，逐一判断可得选项．

【详解】

第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，

A项，则智力曲线不处于最低点，故A错误；

B项，情绪曲线E处于最高点，即将开始下降，故B错误；

C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线与情绪曲线不一定相交，故C错误；

D项，(322, 0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确，

故选：D．

5．月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由题意得出关于、的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令可得结果.

【详解】

由题意可得，解得，

所以，函数解析式为，

在函数解析式中，令，可得.

因此，月份的月均温为.

故选：A.

6．函数的图像最近两对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点成中心对称，当时m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据相邻对称轴之间的距离为正弦型函数的半个周期，求得的值，得到函数的解析式，进而利用正弦函数的性质求得所有对称中心的坐标，根据题中的取值范围求解得到的值.

【详解】

的最小正周期,，

所以，令,则,

函数f(x)的对称轴心为,,所以，

当时,解得：,

又,

故选：D.

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，关键是根据对称轴间的距离为半周期，利用整体代换法求得正弦型函数的所有对称中心的坐标.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先利用求出，再利用函数的奇偶性即可求解.

【详解】

，所以，

即，可得，

设，定义域为，

由，

即函数为奇函数，故，

故，由，

所以.

故选：B

【点睛】

本题考查了函数奇偶性的应用，熟记奇偶性的定义和性质是解题的关键，属于基础题.

8．函数的值域是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

分与两种情况去绝对值,再根据正弦函数的值域分析即可.

【详解】

当时, ；当时, .

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角函数值域的问题,需要分情况去绝对值处理.属于基础题.

9．在函数中，最小正周期为的函数共有（    ）个.

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】B

【解析】由于函数没有周期性，故不满足条件．
由于的周期为的最小正周期为故满足条件．
由于的最小周期为，满足题意；

由于的最小周期为，不满足条件，共有2个满足，故选B.

10．把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间为(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先根据三角函数图像的变换原则得到函数，再由正弦函数的单调性即可求出结果.

【详解】

把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，可得，再向左平移个单位，得到函数的图象，所以；

由得，即函数的单调递减区间为.

故选B

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像变换，以及三角函数的性质，熟记平移变换和伸缩变换的原则，以及三角函数的性质，即可求解，属于常考题型.

二、多选题

11．最小正周期为的函数有(    )

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】

利用降幂公式，三角函数的图象特征，最小正周期公式进行判断即可选出正确答案.

【详解】

选项A：，它的最小正周期为：，不符合题意；

选项B：函数的图象是把的图象中横轴下方的部分以横轴为对称轴翻折上去，而的最小正周期是，所以的最小正周期为，符合题意；

选项C：函数的图象与的图象一样，而的最小正周期为，故的最小正周期也是，符合题意；

选项D：的最小正周期为：，不符合题意.

故选：BC

【点睛】

本题考查了正弦型、余弦型函数、正切型函数的最小正周期公式，考查了图象的变换，考查了数学运算能力.

12．下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】

先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.

【详解】

最小正周期为，在区间上单调递减；

最小正周期为，在区间上单调递增；

最小正周期为，在区间上单调递减；

不是周期函数，在区间上单调递减；

故选：AC

三、填空题

13．设，则等于_____.

【答案】

【分析】

由可知是周期的周期函数，可得（1）（2）（3）（4），进而可求解答案

【详解】

解：由可知是周期的周期函数，

（1）（2）（3）（4）

（1）（2）（3）（4）；

那么（1）（2）（3）（1）（2）（3）．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查函数值的计算，考查函数的周期性，求得周期进行转化是解决本题的关键．

14．函数定义域是___________．

【答案】

【分析】

利用余弦函数的性质、结合对数的定义进行求解即可.

【详解】

由题意可知：.

故答案为：

15．若函数 (0<φ<π)是奇函数，则＝________.

【答案】π

【分析】

由，令可得结果.

【详解】

因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝π＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝π.

【点睛】

本题主要考查三角函数的奇偶性，属于简单题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是偶函数；（2） 时，是奇函数.

16．已知函数在上是增函数，则的最大值是______.

【答案】2

【分析】

先求出函数增区间的通式，再根据包含关系求解即可

【详解】

对应的增区间应满足

，解得，当

时， ，要使在上是增函数，则应满足，，解得，则的最大值是2，故答案为：2

【点睛】

本题考查根据三角函数的增减区间求解的取值范围，属于中档题

四、解答题

17．己知函数的最小正周期为.

（1）求的单调递增区间；

（2）用“五点作图法”，画出函数在一个周期上的图象.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由可得进而可得的解析式，再解不等式

即可求解；

（2）按照五点法作图的步骤列表、描点、连线即可求解.

【详解】

（1）由，得，所以.

由.得.

所以的单调递增区间为.

（2）列表：

描点，连线可得：

18．在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答.已知_____________，且.

（1）求和的值；（2）求的值.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析.

【分析】

若选择方案①②，可确定是第二象限角，若选择方案①③，可确定是第一象限角，若选择方案②③，可确定是第三象限角，（1）由角所在的象限，去绝对值，得到的值，再根据同角三角函数基本关系式求和的值；（2）利用二倍角公式分别求和.

【详解】

解：方案一：选择①②

（1）由已知可得，为第二象限角，，

， ；.

（2）

，

则.

方案二：选择①③

（1）由已知，为第一象限角，

，；.

（2），

，

则.

方案三：选择②③

（1）由已知，为第三象限角，，

， ；.

（2），

，

则.

19．已知函数满足下列三个条件中的两个条件：①该函数的最大值为2；②该函数的图象可由函数的图象平移得到；③该函数图象相邻两对称轴之间的距离为.

（1）请写出满足条件的一个函数表达式：并用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象；

（2）由题目条件确定的所有函数中，选择两个不同的函数，分别记为和.是否存在，使得？若存在，求出的所有的值；若不存在，请说明理由

【答案】（1）答案见解析；（2）存在使得.

【分析】

（1）根据题意求出，左右平移，周期不变，可写出函数的解析式，由五点作图法的步骤：列表、描点、连线即可得出图象.

（2）不妨令，，再根据三角函数的诱导公式可得，解方程即可.

【详解】

（1）

如图：

（2）由①②，不防令，

由①③可令

，

或

或，因为，

所以存在使得.

20．已知.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，若，是方程的两个根，求的值.

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）当时，利用””的代换结合基本不等式求出函数的最小值；

（2）利用韦达定理以及同角正弦余弦和与乘积的关系解出，进而可求出的值．

【详解】

（1）当时，

当且仅当时取等号

故当时，的最小值为

（2）由题意，

又，即，解得，故

当时，