初中数学3.公式法测试题

专题22.4  公式法解一元二次方程-重难点题型

【华东师大版】

【题型1  用公式法解一元二次方程】

【例1】（2021春•淮北月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．

【变式1-1】（2020秋•朝阳区期中）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．

【变式1-2】（2020春•江干区期末）解下列一元二次方程：（公式法）．

【变式1-3】（2020秋•达川区期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．

【题型2  求根公式的应用】

【例2】（2020秋•和平区期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（　　）

A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m

【变式2-1】（2020•福州模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（　　）

A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．1

【变式2-2】（2020秋•宜兴市校级月考）已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根中较小的根，

（1）求a2﹣4a+2013的值；

（2）化简求值：．

【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：

在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各项的系数之和为零，即a+b+c＝0，则有一根为1，另一根为．

证明：设方程的两根为x1，x2，由a+b+c＝0，

知b＝﹣（a+c），

∵x

∴x1＝1，x2．

（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；

（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：．

【题型3  应用根的判别式判断方程根的情况】

【例3】（2021•河南模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（　　）

A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 

C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0

【变式3-1】（2021•滨城区一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．无实数根 D．无法确定

【变式3-2】（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

【变式3-3】（2021春•鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．无法判断

【题型4  已知方程根的情况求字母系数的值或范围】

【例4】（2021•菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k且k≠1 B．k且k≠1 C．k D．k

【变式4-1】（2021•广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a且a≠﹣2 B．a C．a且a≠﹣2 D．a

【变式4-2】（2021春•台江区校级月考）若关于x的方程x2x+n＝0有两个相等的实根，则　 　．

【变式4-3】（2021•海门市模拟）关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　 　．

【题型5  根的判别式的综合应用】

【例5】（2021•海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．

【变式5-1】（2021春•萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0

（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；

（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；

（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．

【变式5-2】（2021•广东模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．

（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；

（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．

（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

【变式5-3】（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．

（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．

（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

【题型6  根的判别式中新定义问题】

【例6】（2021•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（　　）

A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

【变式6-1】（2020春•瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（　　）

A．t B．t C．t D．t

【变式6-2】（2021春•瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．

（1）求﹣2△得值；

（2）如果关于x的方程x△（a△x）有两个相等的实数根，求实数a的值．

【变式6-3】（2020春•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根；

（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．