初中数学华师大版九年级上册3.公式法第3课时教案设计

22.2 一元二次方程的解法

第3课时

教学目标

1.了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．

教学重难点

【教学重点】

配方的概念，运用配方法解一元二次方程.

【教学难点】

直接开平方法和配方法之间的区别和联系.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入

李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？

二、合作探究

探究点：配方法

【类型一】配方

用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　)

A．(x＋2)2＝1  B．(x－2)2＝1

C．(x＋2)2＝9  D．(x－2)2＝9

解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.

方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【类型二】利用配方法解一元二次方程

用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.

解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．

解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝±.∴x1＝2＋，x2＝2－.

方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．

【类型三】用配方解决求值问题

已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求的值．

解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝＝－.

【类型四】用配方解决证明问题

(1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零；

(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．

证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．

(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．

【类型五】配方法与不等式知识的综合应用

证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．

解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0.

证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程．

三、板书设计

四、教学反思

教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.