考点10 反比例函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

这是一份考点10 反比例函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版），共23页。试卷主要包含了反比例函数的概念，反比例函数的图象和性质，反比例函数解析式的确定，反比例函数中|k|的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，反比例函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。

考点10 反比例函数
考点总结

一、反比例函数的概念
1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
二、反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象


所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
2．反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
3．注意
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
三、反比例函数解析式的确定
1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
四、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积

2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；

（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
五、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．

2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
六、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．


真题演练


一．选择题（共10小题）
1．（2021•河北模拟）直线y＝ax+b与双曲线y=cx的图象如图所示，则a﹣b+c的结果（　　）

A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定
【分析】根据一次函数和反比例函数图象和系数的关系即可求得a＞0，b＜0，c＞0．
【解答】解：∵直线y＝ax+b经过一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∵双曲线y=cx的图象在一、三象限，
∴c＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故选：A．
2．（2021•滦南县二模）如图，菱形OABC在第二象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为23，则k的值为（　　）

A．23 B．−23 C．43 D．−43
【分析】连接AC，过点A作AE⊥x轴于点E，由菱形的性质可得，AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，可证△AOC是等边三角形，可得S△AOE=12△AOC=12△AOD=3=|k|2，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，过点A作AE⊥x轴于点E，

∵四边形OABC是菱形，
∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S△AOE=12S△AOC=12S△AOD=3，
∴|k|2=3，
∵k＜0，
∴k＝﹣23．
故选：B．
3．（2021•海港区模拟）如图，图①是函数y=1x（x＞0）的图象，图②与图①关于直线y=−12对称，则②表示的函数是（　　）

A．y=1x−1(x＞0) B．y=1x+1(x＞0)
C．y=−1x−1(x＞0) D．y=−1x+1(x＞0)
【分析】根据图象可知，原来的对称轴为x轴，后来对称轴向下平移12单位，从而可以写出②表示的函数．
【解答】解：∵图①是函数y=1x（x＞0）的图象，图②与图①关于直线y=−12对称，
∴②表示的函数是y=−1x−1（x＞0），
故选：C．
4．（2021•河北模拟）如图，点A（1，n）在双曲线y=3x(x＞0)上，点A'从点A开始，沿双曲线y=3x(x＞0)向右滑动，则在滑动过程中，OA'的长（　　）

A．增大 B．减小
C．先增大，再减小 D．先减小，再增大
【分析】先求出双曲线y=3x(x＞0)与直线y＝x的交点坐标，然后结合图象可判断OA′的长度随x的变换情况．
【解答】解：把A（1，n）代入y=3x得n＝3，则A（1，3），
∵双曲线y=3x(x＞0)关于直线y＝x对称，与直线y＝x的交点坐标为（3，3），
∴当1≤x＜3时，OA′的长减小，当x≥3时，OA'的长增大．
故选：D．
5．（2021•路南区二模）如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y=1x（x＞0）图象上，PA⊥x轴，当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（　　）

A．越来越小 B．越来越大
C．不变 D．先变大后变小
【分析】设点P （x，1x） （x＞0），过点B作BC⊥PA可得BC＝OA＝x，根据S△PAB=12PA•BC=12⋅1x⋅x=12，可得出结果．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥PA于点C，

则BC＝OA，
设点P （x，1x） （x＞0），
则S△PAB=12PA•BC=12⋅1x⋅x=12，
当点A的横坐标逐渐增大时，S△PAB不变，始终等于12．
故选：C．
6．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系中，点P（m，n）在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，若m从1逐渐增大到5，则OP的长（　　）
A．逐渐减小 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【分析】根据当P为直线y＝x与反比例函数y=4x（x＞0）的图象的交点时，OP的长最小即可判断．
【解答】解：∵当P为直线y＝x与反比例函数y=4x（x＞0）的图象的交点时，OP的长最小，
∴OP的长先减小后增大，
故选：D．
7．（2021•路南区三模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y=b+cx．在同一坐标系内的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据抛物线开口判断a的取值范围，与x轴交于两点判断b2﹣4ac＞0，抛物线交y轴负半轴得c的取值范围，根据对称轴的位置判断b的取值范围，从而判断两个函数所经过的象限，最后得出结论．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵−b2a＞0，
∴b＜0．
∵抛物线交y轴负半轴，
∴c＜0．
∴b+c＜0，
∴反比例函数过二四象限．
∵抛物线与x轴交于两点，
∴b2﹣4ac＞0．
∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac经过一二三象限．
故选：C．
8．（2021•路北区三模）小芳说：“我的矩形面积为6．”小丽说：“我的矩形周长为6．”则下面说法不正确的是（　　）
A．小芳：我的矩形一组邻边满足反比例函数关系，你的矩形一组邻边满足一次函数关系
B．小丽：你的矩形周长不可能是6，我的矩形面积也不可能是6
C．同学小文：你们的矩形都可能是正方形
D．同学小华：小丽的矩形面积没有最大值
【分析】画出图形，根据选项依次判断即可．
【解答】解：如图所设：

A选项：由题意，可知ab＝6，2（x+y）＝6，
∴b=6a，y＝﹣x+3，
故A正确；
B选项：2（a+6a）＝6，a+6a=3，
∴a2﹣3a+6＝0，
∵△＝9﹣4×6＜0，
∴此方程无解，
故小芳的矩形周长不可能等于6，
S＝x（3﹣x），
∴a2＝6，
∴x2﹣3x+6＝0，
此方程无解，
故小丽的矩形面积不可能等于6，
故B正确；
C选项：a=6a，
∴a2＝6，
∴a=6（a=−6不合题意，舍去），
x＝﹣x+3，
∴2x＝3，
∴x=32，
∴这两个矩形都可能是正方形，
故C正确；
D选项：S＝x（3﹣x），当x=32时，S有最大值，
故D错误，
故选：D．
9．（2021•遵化市模拟）如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．当R＝4Ω时，I＝3A．若电阻R增大2Ω，则电流I为（　　）

A．1A B．2A C．3A D．5A
【分析】直接利用电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，进而得出函数关系式，求出答案．
【解答】解：设I=UR，当R＝4Ω时，I＝3A时，
则3=U4，
解得：U＝12，
故I=12R，
若电阻R增大2Ω，则电流I为：I=124+2=2（A）．
故选：B．
10．（2021•衡水模拟）已知反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=−34x+n的图象如图所示，点A（a，b），B（c，d）是两个图象的交点，下列命题：①过点A作AM⊥x轴，M为垂足，连接OA，若△AMO的面积为3，则k＝6；②若x＞c，则y1＞y2；③若a＝d，则b＝c；④直线AB分别与x轴、y轴交于点C，D，则BC＝AD．其中真命题的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．
【解答】解：①过点A作AM⊥x轴，M为垂足，连接OA，
∵△AMO的面积为3，
∴|k|＝6，
∵反比例函数y=kx的图象分别位于第一象限，
∴k＞0，
∴k＝6，正确，是真命题；
②根据图象，当x＞c时，反比例函数的图象在一次函数y2=−34x+n的图象的上方，
∴y1＞y2，正确，是真命题；
③∵点A（a，b），B（c，d）是反比例函数y1=kx的图象上的点，
∴k＝ab＝cd，
∵a＝d，
∴b＝c，正确，是真命题；
④如图，作AM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，连接MN、AN、BM，
∵S△AMN=k2，S△BMC=k2，
∴S△AMN＝S△BMC，
∴A、B两点到MN的距离相同，
∴MN∥AB，
∵AM∥OD，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AD＝MN，
同理BC＝MN，
∴AD＝BC，正确，是真命题，
真命题有4个，
故选：D．


二．填空题（共5小题）
11．（2021•开平区一模）如图，四边形ABCD是菱形，已知A（1，2），B（2，1），D（2，3），反比例函数y=mx(x＞0)．
（1）C点的坐标为 　（3，2）　．
（2）若双曲线y=mx(x＞0)的函数图象经过点A时，则双曲线一定经过图中的 　B（2，1）　点．
（3）双曲线与菱形ABCD有公共点时，请写出m的取值范围 　2≤m≤254　．

【分析】（1）设C（x，y），再由菱形的对角线互相平分即可得出结论；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到m＝1×2＝2而2×1＝2＝m，即可判断双曲线一定经过图中的B点；
（3）求得双曲线过四个顶点m的值，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）设C（x，y），
∵四边形ABCD是菱形，A（1，2），B（2，1），D（2，3），
∴1+x2=2+22，2+y2=1+32，
解得x＝3，y＝2，
∴C（3，2），
故答案为（3，2）；
（2）∵双曲线y=mx(x＞0)的函数图象经过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
∵2×1＝2＝m，
∴双曲线一定经过点B，
故答案为B（2，1）；
（3）∵C（3，2），D（2，3），
∴CD的中点为（52，52），
当双曲线经过CD的中点时，m=52×52=254，此时双曲线y=mx(x＞0)与线段CD相切，
当双曲线经过点A或B时，m＝1×2＝2×1＝2，
当双曲线经过点D或C时，m＝2×3＝3×2＝6，
∴双曲线与菱形ABCD有公共点时，m的取值范围2≤m≤254，
故答案为：2≤m≤254．
12．（2021•安次区一模）如下图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，则点C1的坐标为 　（2，2）　；y1＝　2　；y1+y2+y3+…+y10的值为 　210　．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别求出C1，C2，C3…的坐标，进而确定y1，y2，y3…，再求和即可．
【解答】解：过点C1，C2，C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1，D2，D3…，
由题意可得，OD1＝C1D1＝D1A1，A1D2＝C2D2＝D2A2，A2D3＝C3D3＝D3A3，…，
设OD1＝a，则C1（a，a），由点C1（a，a）在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，
∴a•a＝4，
解得a＝2（取正值），
∴C1（2，2），
∴y1＝2，
设A1D2＝b，则C2（4+b，b），由点C2（4+b，b），在在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，
∴（4+b）•b＝4，
解得b＝22−2（取正值），
∴y2＝22−2，
设A2D3＝c，则C3（42+c，c），由点C3（42+c，c），在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，
∴（42+c）•c＝4，
解得c＝23−22（取正值），
∴y3＝23−22，
同理可求y4＝24−23，y5＝25−24，y6＝26−25，…，y10＝210−29，
∴y1+y2+…+y10＝2+22−2+23−22+23−22+⋯+210−29=210，
故答案为：（2，2），2，210．

13．（2021•安次区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形AOB的顶点A在第一象限，点B（3，0），双曲线y=kx（k＞0，x＞0）把△AOB分成两部分．
（1）双曲线与边OA，AB分别交于C，D两点，若OC＝2，则k＝　3　．
（2）横纵坐标都为整数的点称为整点，若双曲线y=kx（k＞0，x＞0）把△AOB分成的两部分内的整点个数相等（不含边界），则k的取值范围为 　1＜k＜2　．
（3）点D的横坐标为 　3+52　．

【分析】（1）作CE⊥OB于E，AF⊥OB于F，根据等边三角形的性质得到A（32，332），进而求得C的坐标，根据待定系数法即可求得k的值；
（2）根据反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象上点的横纵坐标之积为k求得即可；
（3）根据待定系数法求得直线AB的解析式，解析式联立构成方程组，解方程组即可求得D的横坐标．
【解答】解：（1）作CE⊥OB于E，AF⊥OB于F，
∵△AOB是等边三角形，B（3，0），
∴OF＝OB=32，OA＝OB＝AB＝3，
∴AF=332，
∴A（32，332），
∵CE∥AF，
∴OEOF=CEAF=OCOA=23，
∴OE=23OF＝1，CE=23AF=3，
∴C（1，3），
∵双曲线y=kx（k＞0，x＞0）与边OA，AB分别交于C，D两点，
∴k＝1×3=3，
故答案为3；
（2）∵等边三角形△AOB的顶点B（3，0），
∴△AOB内部的整数点为（1，1）和（2，1），
∴双曲线y=kx（k＞0，x＞0）把△AOB分成的两部分内的整点个数相等（不含边界），则k的取值范围为1＜k＜2，
故答案为1＜k＜2；
（3）设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∵A（32，332），B（3，0），
∴32a+b=3323a+b=0，解得a=−3b=33，
∴直线AB的解析式为y=−3x+33，
解y=−3x+33y=3x得x=3+52或x=3−52（舍去），
故D的横坐标为3+52，
故答案为：3+52．

14．（2021•桥东区二模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（7，5），曲线G：y=kx（x＞0）．
（1）点D的坐标为 　（4，5）　．
（2）当曲线G经过▱ABCD的对角线的交点时，k的值为 　14　．
（3）若G刚好将▱ABCD边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则k的取值范围是 　12＜k＜15　．

【分析】（1）根据平行四边形的性质，以及平移坐标变化规律即可得出答案；
（2）根据两点中点坐标计算公式求出对角线交点E的坐标，再代入反比例函数关系式可得答案；
（3）先确定▱ABCD边上及其内部的“整点”数，再结合反比例函数进行判断即可．
【解答】解：（1）∵▱ABCD的顶点A（1，2），B（4，2），
∴AB＝CD＝4﹣1＝3，
又∵C（7，5），
∴点D（4，5），
故答案为：（4，5）；
（2）∵A（1，2），C（7，5），
∴点E的坐标为（1+72，2+52），
即E（4，72），代入反比例函数关系式得，
k＝4×72=14，
故答案为：14；
（3）设直线AD的解析式为y＝mx+n，则有m+n=24m+n=5，
解得m=1n=1，
∴直线AD的解析式为：y＝x+1，
∴边AD上的整点为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），
由于 AB＝DC，故每一行均有4个整点，
∴▱ABCD边上及其内部的“整点”数为：4×4＝16（个），
如图，当k＝12时，y=12x过点（3，4），（4，3），此时及y=12x下方共有8个整点，
而y=15x过点（5，3），且（4，4）在y=15x的上方，

∴要使整点在两侧数量相同，则12＜k＜15，
故答案为：12＜k＜15．

15．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A．
（1）点A的坐标为 　（﹣1，﹣2）　．
（2）反比例函数y=bx的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点P（m，n）．
①b的值为 　2　．
②当n＞﹣2时，m的取值范围为 　m＞0或m＜﹣1　．
【分析】（1）解析式化为y＝ax+a﹣2＝a（x+1）﹣2，即可求得；
（2）①根据待定系数法即可求得；②根据反比例函数的性质即可判定点P（m，n）在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可．
【解答】解：（1）∵y＝ax+a﹣2＝a（x+1）﹣2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2）；
（2）①∵反比例函数y=bx的图象经过点A，
∴b＝﹣1×（﹣2）＝2；
②若点P（m，n）在第一象限，当n＞﹣2时，m＞0，
若点P（m，n）在第三象限，当n＞﹣2时，m＜﹣1，
综上，当n＞﹣2时，m＞0或m＜﹣1，
故答案为2，m＞0或m＜﹣1．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•路南区一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0，k＞0）的图象经过点A（1，2），B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）当△ABC面积为4时，求点B的坐标；
（3）在（2）的情况下，直线y＝ax﹣1过线段AB上一点P，求a的取值范围．

【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k＝1×2＝2，进而可得反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得mn＝2，再根据△ABC面积为4，可得12×BC×（2﹣n）＝4，解可得m的值，进而可得n的值，从而可得点B的坐标；
（3）把A和B的坐标代入y＝ax﹣1可得a的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx的图象经过点A（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y=2x．
（2）∵点B（m，n）的y=2x图象上，
∴n=2m，即mn＝2，
∵S△ABC=12⋅m•（2﹣n）=12m（2−2m）＝4，
∴m＝5，
∴n=2m=25，
∴B的坐标为（5，25）．
（3）将A（1，2），B（5，25）分别代入y＝ax﹣1得：a1＝3，a2=725，
∴a的取值范围为725≤a≤3．
17．（2021•平泉市一模）如图，直线OC：y＝k1x与双曲线y=k2x（x＞0）交于点C（6，12），且横坐标为1的点P也在双曲线y=k2x（x＞0）上，直线l经过点P，C．
（1）k1＝　112　，k2＝　3　；
（2）求直线l的解析式；
（3）设直线l与y轴交于点A，将直线OC沿射线CP方向平移至点A为止，直接写出直线OC在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围；
（4）直接写出直线l与双曲线y=k2x（x＞0）围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点（横坐标和纵坐标都是整数）的坐标．

【分析】（1）将C（6，12）代入y＝k1x与y=k2x即得答案；
（2）由y=3x得P坐标，再用待定系数法即可得直线l解析式为y=−12x+72；
（3）求出A的坐标，即可得直线OC平移后经过A时的直线解析式，从而求得此时直线与x轴交点横坐标，即可得答案；
（4）画出图象，即可得到答案．
【解答】解：（1）将C（6，12）代入y＝k1x与y=k2x得：12=6k1，12=k26，
解得：k1=112，k2＝3，
故答案为：112，3；
（2）由（1）可得双曲线y=3x，
将x＝1代入y=3x得y＝3，
∴P（1，3），
设直线l解析式为y＝mx+n，
则3=m+n12=6m+n，
解得m=−12n=72，
∴直线l解析式为y=−12x+72；
（3）在y=−12x+72中，令x＝0得y=72，
∴A（0，72），
∴直线OC沿射线CP方向平移，平移后的直线过点A时，直线解析式为：y=112x+72，
在y=112x+72中，令y＝0得x＝﹣42，
∴直线OC在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围是﹣42≤x≤0；
（4）如图：

由图可得：直线l与双曲线y=k2x（x＞0）围成的区域内（不含边界）整点的坐标是（2，2）、（4，1）．
18．（2021•路南区三模）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．
（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；
（2）求使代数式x2﹣3xy与y2+xy和的值为1的（x，y）出现的概率；
（3）求在y=−1x图象上的点（x，y）出现的概率．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）求出代数式x2﹣3xy与y2+xy和为（x﹣y）2，找出使其值为1的（x，y）出现的概率即可；
（3）在y=−1x图象上的点（x，y）有（1，﹣1），（﹣1，1），再求出其概率即可．
【解答】解：（1）用列表法表示（x，y）所有可能出现的结果如下：

﹣2
﹣1
1
﹣2
（﹣2，﹣2）
（﹣2，﹣1）
（﹣2，1）
﹣1
（﹣1，﹣2）
（﹣1，﹣1）
（﹣1，1）
1
（1，﹣2）
（1，﹣1）
（1，1）
（2）所有可能出现的等可能结果共9种，其中使x2﹣3xy+y2+xy＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，
和的值为1的（x，y）有：（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1），
所以，满足条件的概率=29；
（3）在y=−1x图象上的点（x，y）有（1，﹣1），（﹣1，1），
所以，满足条件的概率=29．