数学七年级下册4.5 垂线巩固练习

相交线，垂线（基础）知识讲解

【学习目标】

1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；

2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；

3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；

4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.

【要点梳理】

知识点一、邻补角与对顶角

1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．

要点诠释：

(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．

(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．

(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．

(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.

2. 对顶角及性质：

 （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．

 （2）性质：对顶角相等．

要点诠释：

(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．

(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.

3. 邻补角与对顶角对比：        

【高清课堂：相交线   403101   两条直线垂直】

知识点二、垂线

1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．

要点诠释：

(1)记法：直线a与b垂直，记作：；

         直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.

(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：

CD⊥AB．

2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．

要点诠释：

 (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．

(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．

3．垂线的性质：

（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．

要点诠释：

（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．

（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．

4．点到直线的距离：

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

要点诠释：

（1）    点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．

【典型例题】

类型一、邻补角与对顶角

1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？

【答案与解析】

解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．

【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．

举一反三：

【变式】判断正误：

（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （     ）

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（    ）

(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （     ）

(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （     ）

(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（     ）

【答案】(1)×  （2）×   （3）×    （4）√    （5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.

 2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数

【答案与解析】

解：∵  ∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，

∴  ∠2＝180°－65°＝115°．

又∵  ∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角

∴  ∠3＝∠1＝65°， ∠4＝∠2＝115°．

【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用 “对顶角相等”，求∠3和∠4．

举一反三：

【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为　　度．

【答案】145．

解：∵∠BOC=110°，

∴∠BOD=70°，

∵ON为∠BOD平分线，

∴∠BON=∠DON=35°，

∵∠BOC=∠AOD=110°，

∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.

3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．

【答案与解析】

解：如图，

任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；

②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．

这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．

【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角

类型二、垂线

4．下列语句中，正确的有  (  )

    ①一条直线的垂线只有一条；

②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；

    ③两直线相交，则交点叫垂足；

    ④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．

    A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【答案】C

【解析】正确的是：②④

【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.

举一反三：

【变式1】直线外有一点P，则点P到直线的距离是(   ).

A．点P到直线的垂线的长度.

B．点P到直线的垂线段.

C．点P到直线的垂线段的长度.

D．点P到直线的垂线.

【答案】C 

5. （2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（　　）

　 A．35° B． 45° C． 55° D． 65°

【答案】C．

【解析】解：∵∠1=145°，

∴∠2=180°﹣145°=35°，

∵CO⊥DO，

∴∠COD=90°，

∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.

【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．

【高清课堂：相交线 403101   经典例题3】

举一反三：

【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40,

则∠EOF=_______.

【答案】130°．

6. 如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．

【答案与解析】

解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．

【总结升华】 “如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．

举一反三：

【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条?

(2)经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条?

(3)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条?

【答案】

 解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．

【巩固练习】

一、选择题

1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形共有（    ）

    A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

2．以下四个叙述中，正确的有(    )

   ①相等的角是对顶角；②互补的角是邻补角；③两条直线相交，可构成2对对顶角；④对顶角、邻补角都有一个共同特点：两个角有公共的顶点．

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

3．（2014春•琼海期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（　　）

　 A．相交或垂直 B． 垂直或平行

　 C．平行或相交 D． 平行或相交或重合

4．如图所示，点A到BD的距离是指(    )

A．线段AB的长度   B．线段AD的长度    C．线段AE    D．线段AE的长度

5．在平面上，过直线上一点可以画这条直线的垂线的条数为 (    )

A．1    B．2    C．3    D．4

6.如图，AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（   ）

A．26°    B．64°    C．54°    D．以上答案都不对

二、填空题

7．（2014秋•新泰市月考）四条直线两两相交，至多会有　　个交点．

8．如图，直线a，b相交，∠1＝60°，则∠2＝________，∠3＝________，∠4＝________．

9．如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，若∠COE＝30°，则∠AOE＝_____，∠AOF＝______．

10．如图，直线AB与CD的位置关系是________，记作________于点________，此时∠AOD＝______＝______＝______＝90°．

11.如图，∠AOB＝90°，则AB   BO；若OA＝3 cm，OB＝2 cm，则A点到OB的距离是________cm，点B到OA的距离是________cm；O点到AB上各点连接的所有线段中________最短．

12．如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是             ．

三、解答题

13.（2015春•怀集县期末）如图，OC⊥AB于点O，OD平分∠BOC，求∠COD的度数．

14．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．

  (1) ∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由；

(2)若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．

15．如图所示，小明家在A处，他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业，则最少要走多少米可以问到作业?

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】B

【解析】只有（3）中的∠1与∠2是对顶角．

2．【答案】C

【解析】③④正确．

3. 【答案】C．

4. 【答案】D 

5. 【答案】A

6. 【答案】B

【解析】∠BOE＝90°－∠1＝64°，又∠AOF＝∠BOE＝64°．

二、填空题

7.【答案】6．

【解析】如图，可看出四条直线两两相交，至多有6个交点．

8. 【答案】120°，  60°，  120°．

9. 【答案】60°， 120°

【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°，

∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°．

10.【答案】垂直，AB⊥CD， O，∠BOD， ∠BOC，∠AOC．

【解析】垂直的定义．

11.【答案】＞，  3，  2，   垂线段．

【解析】点到直线的距离的定义

12.【答案】50°

【解析】由题意知：∠BOD＝∠AOC=∠EOC＝50°．

三、解答题

13.【解析】

解：∵OC⊥AB于点O，

∴∠BOC=90°，

∵OD平分∠BOC，

∴∠COD=45°．

14.【解析】

解： (1)∠AOC＝∠BOD．

理由：∵  OA⊥OB，OC⊥OD(已知)．

∴  ∠AOB＝90°，∠COD＝90°．

即∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°，

∴  ∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)．

   (2)∵  ∠AOB＝90°，∠BOD＝32°，

      ∴  ∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58°．

15.【解析】

解：小明到小红家问作业最近，所以小明至少要走15米．