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初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试同步练习题
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这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试同步练习题，共61页。试卷主要包含了知识点，考点点拨与训练等内容，欢迎下载使用。
专题27.1-27.2.1图形的相似与相似三角形的判定
典例体系（本专题共71题41页）
一、知识点
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
二、考点点拨与训练
考点1：相似多边形的判定
典例：（2020·河北高阳·月考）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：
由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：
某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：
如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
方法或规律点拨
本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．
巩固练习
1．（2020·河北衡水·初三一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
2．（2020·广西平桂·初三期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正方形都相似
3．（2019·上海浦东新·初三期中）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等边三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的矩形都相似
4．（2020·河北初三零模）下列形状边框中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·武邑宏达实验学校）手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·山东高密·初二期末）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019·广东深圳·初三期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似图形 D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
8．（2019·山西榆次·初三期中）在如图所示的各组图形中，相似的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
9．（2020·全国初三课时练习）如图，矩形的长，宽．若矩形的四周有宽为1的环形区域，则图中的两个矩形与相似吗？请说明理由．
10．（2020·全国初三专题练习）如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么
（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；
（2）这样的直线可以作多少条？
考点2：相似多边形性质的应用
典例：（2020·丹东第十中学初三月考）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____．
方法或规律点拨
本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似多边形的性质、解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式法，掌握折叠性质和相似性质，能列出比例式是解答的关键．
巩固练习
1．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为( )
A．2：1 B．4：1 C． D．1：2
2．（2020·郑州枫杨外国语学校初三月考）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
3．（2020·河南洛宁·初三月考）如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）
A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81
4．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:1
5．（2018·无锡市天一实验学校初三期中）如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形是黄金矩形，点、、、分别为线段、、、的中点，则图中黄金矩形的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2020·河北初三一模）如图，是的中点，将面积为的菱形沿方向平移长度得到菱形，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·杭州育才中学初三其他）如图，在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则的长为( )
A．2 B． C． D．
8．（2019·浙江鄞州·初三期中）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（ ）.版权所有
A． B． C． D．2．5
9．（2020·江苏宝应·初三）如图，四边形四边形，若，则________．
10．（2019·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则的值为______．
11．（2020·广东初三其他）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，，则的值为_______．
考点3：用AA判定两个三角形相似
典例：（2020·山东东平·初二期末）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
巩固练习
1．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中不一定相似的是( )
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形（ ）
A．一定相似 B．不一定相似 C．一定不相似 D．不能确定
3．（2020·湖南湘潭·初三期末）如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
5．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为________．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，、为的高，且与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数
7．（2020·贵州江口·初三期末）在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．
8．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．
9．（2020·贵州印江·初三期末）已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA
10．（2019·长沙市长郡滨江中学初三期末）如图，在与中，，且.
求证：.
11．（2020·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
12．（2020·全国初三专题练习）如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．
13．（2020·金昌市金川总校第五中学初三期末）如图，在平行四边形中，过点作垂足为．连接为线段上一点，且．求证：．
考点4：用SAS证明两个三角形相似
典例：（2020·江西初三一模）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，且，连接、．求证：．
方法或规律点拨
此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·银川外国语实验学校初三月考）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A． B． C．是的中点 D．
2．（2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，下列条件：①∠ABD=∠ACB，②AB2=AD·AC，③∠ADB=∠ABC，④AB2=AD·DC.其中，单独能判定△ABD∽△ACB的个数是（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
3．（2020·海南琼山中学初三月考）如图，△ACD∽△ABC需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·山东招远·初二期末）如图，与相似，且，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·全国初三期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
A． B． C． D．
6．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020·甘肃七里河·初三期末）如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）
A．∠C=∠AED B．∠B=∠D C． D．
【答案】C
8．（2020·石嘴山市第八中学初三一模）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．（2020·吉林省第二实验学校初二期中）如图，在中，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·射阳县第二初级中学月考）如图，下列选项中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．
12．（2021·全国初三单元测试）如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
考点5：用SSS证明两个三角形相似
典例：如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是_______．
方法或规律点拨
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，及判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·长春市第四十七中学初三月考）如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）下列条件中，能使成立的是（ ）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5
考点6：选择或添加条件证明相似
典例：（2020·河北其他）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4．在边BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则（ ）
A．甲的说法正确 B．乙的说法正确
C．甲、乙的说法都正确 D．甲、乙的说法都不正确
方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的判定，灵活的利用有一个角相等且这个角两边的线段对应成比例的两个三角形相似是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·山东省平邑县第一中学初三月考）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．
2．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部初三月考）如图，点D在的边AC上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC
C．＝ D．＝
3．（2020·山东招远·初二期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
4．（2020·河南洛宁·初三月考）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
5．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．
6．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B．
C．∠ACP=∠B D．∠APC=∠ACB
7．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．
8．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D在的边AB上，且，则，理由是_______．
9．（2016·云南景洪·初三期末）如图，若∠BAD=∠CAE，∠E=∠C，则 ∽ ．
10．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，若，需添加的一个条件是______（填写一个条件即可）．
11．（2020·上海浦东新·初三月考）如图，∠1=∠2，请补充一个条件：_____，使．
12．（2020·河南周口·初三期中）如图，△ABC中，P为AB上点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB：③∠CAP=∠BAC；④．能确定△APC和△ACB相似的是___________（只填写序号）．
13．（2020·江苏宝应·初三）如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．
14．（2020·广东南海·初三月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．
15．（2020·哈尔滨德强学校初三开学考试）如图，点是中边上的一点，请你添加一个条件使：__________.
16．（2021·全国初三单元测试）如图，在ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________________，可以使得FDB与ADE相似．(只需写出一个)
17．（2020·全国初三专题练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
专题27.1-27.2.1图形的相似与相似三角形的判定
典例体系（本专题共71题41页）
一、知识点
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
二、考点点拨与训练
考点1：相似多边形的判定
典例：（2020·河北高阳·月考）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：
由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：
某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：
如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
【答案】（1）变大；（2）；（3）A；（4）否
【解析】解：（1）∵，，，…
∴对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，
故填：变大；
（2）由（1）得：＜，理由如下：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ＜0，
∴ ；
（3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，
则-＜0，
∴ ＜，
∴ 采光条件变差，
故选A ；
（4）由（2）知：，所得大矩形与原来的矩形不相似，
故填：否．
方法或规律点拨
本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．
巩固练习
1．（2020·河北衡水·初三一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【解析】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．
所以甲对，乙不对，
故选：C．
2．（2020·广西平桂·初三期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正方形都相似
【答案】C
【解析】解：A、所有的等边三角形都相似，所以A选项为真命题；
B、所有的等腰直角三角形都相似，所以B选项为真命题；
C、所有的矩形不一定相似，如一个矩形的长宽之比为，另一个矩形的长宽之比为，所以C选项为假命题；
D、所有的正方形都相似，所以D选项为真命题．
故选C．
3．（2019·上海浦东新·初三期中）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等边三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的矩形都相似
【答案】B
【解析】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；
B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确；
C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；
D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误；
故选B．
4．（2020·河北初三零模）下列形状边框中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、图形的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故错误；
B、图形的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故错误；
C、对应角的度数相同，但对应边的比值不一定相等，不一定相似，故正确；
D、图形的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故错误．
故选：C．
5．（2020·武邑宏达实验学校）手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求；
故选：D．
6．（2019·山东高密·初二期末）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
7．（2019·广东深圳·初三期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似图形 D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
【答案】C
【解析】解：A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；
B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；
C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；
D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，
故选：C．
8．（2019·山西榆次·初三期中）在如图所示的各组图形中，相似的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【解析】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，
∴两图形不相似；
②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，
∴两正方形相似；
③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，
∴两个菱形相似．
④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，
∴两个矩形不一定相似．
故选C．
9．（2020·全国初三课时练习）如图，矩形的长，宽．若矩形的四周有宽为1的环形区域，则图中的两个矩形与相似吗？请说明理由．
【答案】不相似，见解析
【解析】解：不相似．理由如下：
因为，
所以，
而，
所以矩形与矩形不相似．
10．（2020·全国初三专题练习）如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么
（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；
（2）这样的直线可以作多少条？
【答案】见解析
【解析】（1）相似．理由如下：
因为EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，所以可设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
于是有，
所以x＋AF＝b－x＋b－AF，即AF＝b－x．
又EC＝b－x，所以AF＝EC．
在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
所以DF＝BE，∠AFE＝∠FEC，∠DFE＝∠BEF，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
所以在四边形ABEF与四边形CDFE中，有
∠A＝∠C＝90°，∠B＝∠D＝90°，∠AFE＝∠FEC，∠BEF＝∠DFE，
，
所以四边形ABEF与四边形CDFE相似，相似比为1．
（2）这样的直线有无数条，只要过矩形对角线的交点且满足条件即可．
考点2：相似多边形性质的应用
典例：（2020·丹东第十中学初三月考）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____．
【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=1
由折叠的性质得：AB=AF=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即，
整理，得：，
解得：,
由题意得：，
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似多边形的性质、解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式法，掌握折叠性质和相似性质，能列出比例式是解答的关键．
巩固练习
1．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为( )
A．2：1 B．4：1 C． D．1：2
【答案】A
【解析】解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，
，
∴x：y=2：1
故选：A．
2．（2020·郑州枫杨外国语学校初三月考）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【答案】B
【解析】
解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF=xcm，得到：
解得：x=4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
3．（2020·河南洛宁·初三月考）如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）
A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81
【答案】B
【解析】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的周长比为：=.
故选B.
4．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:1
【答案】B
【解析】解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后的矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
5．（2018·无锡市天一实验学校初三期中）如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形是黄金矩形，点、、、分别为线段、、、的中点，则图中黄金矩形的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】由题意知，四边形AEHG、BFHG、CDEF都是矩形，
∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴AB：AD=AB：BC=，
∵AG=BG=AB，AE=AD，BF=BC，
∴AG：AE=AB：AD=，BG：BF=AB：BC=，
∴矩形AEHG、矩形BFHG是黄金矩形，
∵CD=AB，FC=BC，
∴FC：CD=≠，
∴图中黄金矩形共有3个，
故选C．
6．（2020·河北初三一模）如图，是的中点，将面积为的菱形沿方向平移长度得到菱形，则图中阴影部分的面积是（ ）.版权所有
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，
由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=
故四边形OECF的面积是▱ABCD面积
即图中阴影部分的面积为4cm2．
故选：C
7．（2019·杭州育才中学初三其他）如图，在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则的长为( )
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去）
经检验，是原方程的解．
∴．
故选：D．
8．（2019·浙江鄞州·初三期中）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（ ）
A． B． C． D．2．5
【答案】B
【解析】解：∵原矩形的长为6，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，
∴x=，
故答案为：B.
9．（2020·江苏宝应·初三）如图，四边形四边形，若，则________．
【答案】103
【解析】∵四边形四边形，
．
，
，
故答案为：103．
10．（2019·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则的值为______．
【答案】6
【解析】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
11． （2020·广东初三其他）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，，则的值为_______．
【答案】或
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴AC＝，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵S1＝2×4=8，S2＝8×，S3＝8×（）2，…
∴S2020＝＝，
故答案为或．
考点3：用AA判定两个三角形相似
典例：（2020·山东东平·初二期末）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）点在中点位置时，，证明见解析．
【解析】（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
巩固练习
1．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中不一定相似的是( )
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
【答案】A
【解析】解：A、由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
B、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；
C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．
故选B．
2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形（ ）
A．一定相似 B．不一定相似 C．一定不相似 D．不能确定
【答案】A
【解析】解：∵ 一个三角形的两个内角分别是，，
∴ 另一个内角的度数是，
∴一个三角形的三个内角分别是，，
∴ 这两个三角形有两角对应相等
∴ 这两个三角形一定相似．
故选：．
3．（2020·湖南湘潭·初三期末）如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD
所以有三对相似三角形，
故选：C．
4．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
【答案】C
【解析】解： △ABC与△BDE都是等边三角形，
故选C．
5．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为________．
【答案】
【解析】解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．
又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴AB：AD=BC：DE，
∴DE=，
∴EC=DC﹣DE=．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，、为的高，且与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：（1）证明：、为的高，
=90°，
又，
；
（2），
，
为的高，
，
．
7．（2020·贵州江口·初三期末）在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．
【答案】△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA，证明见解析
【解析】解：图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．
∵AD、CE分别是△ABC的两条高，
∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠EBC＝∠ABD，
∴△ABD∽CBE．
8．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．
【答案】见解析．
【解析】∵正方形ABCD
∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC
∵CE=CF
∴△DCF≌△ECB
∴∠CDF =∠CBE
∵∠CDF＋∠F=90
∴∠CBE＋∠F=90
∴∠BGF=90=∠DCF
∴△BGF∽△DCF
9．（2020·贵州印江·初三期末）已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA
【答案】见解析
【解析】∵ DF⊥BC于F，∠C=90°
∴∠DFG＝∠C＝90°
又DE⊥AB于点E
∴∠DGB＋∠B＝90°
又∠DGB＋∠D＝90°
∴∠B=∠D
∴△DFG∽△BCA．
10．（2019·长沙市长郡滨江中学初三期末）如图，在与中，，且.
求证：.
【答案】见解析
【解析】∵，
∴，
即，
又，
∴．
11．（2020·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【答案】证明见解析．
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
12．（2020·全国初三专题练习）如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】证明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC．
13．（2020·金昌市金川总校第五中学初三期末）如图，在平行四边形中，过点作垂足为．连接为线段上一点，且．求证：．
【答案】详见解析
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
．
∴△ADF∽△DEC.
考点4：用SAS证明两个三角形相似
典例：（2020·江西初三一模）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，且，连接、．求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，即
∵，
∴，即
∴，
∴，
∴
方法或规律点拨
此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·银川外国语实验学校初三月考）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A． B． C．是的中点 D．
【答案】C
【解析】解：A. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意；
B. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，可以得到∽，不合题意；
C. 是的中点，无法判断与相似，符合题意；
D. ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，可以得到∽，不合题意．
故选：C
2．（2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，下列条件：①∠ABD=∠ACB，②AB2=AD·AC，③∠ADB=∠ABC，④AB2=AD·DC.其中，单独能判定△ABD∽△ACB的个数是（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【解析】①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；
②∵AB2=AD•AC，∴=．
∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；
③∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；
④∵AB2=AD·DC，∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似．
故选：C．
3．（2020·海南琼山中学初三月考）如图，△ACD∽△ABC需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵∠A=∠A，
∴当时，△ACD∽△ABC，
故选：C．
4．（2020·山东招远·初二期末）如图，与相似，且，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，所以，
故选D.
5．（2019·全国初三期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵∠BAC=∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
6．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：如图示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，
①
，
，
故①是正确的；
，，，，
，
，
，
故③是正确的；
，，，，
，
，
；
故④是正确的；
∵，，，，
∴，
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
故②是错误的；
综上所述①③④是正确的，正确的有3个，
故选：C．
7．（2020·甘肃七里河·初三期末）如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）
A．∠C=∠AED B．∠B=∠D C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意可知∠DAE=∠BAC，
若添加∠C=∠AED或∠B=∠D均可由“两角对应相等，两三角形相似”判定；
若添加 ，则由“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”判定；
若只添加 ，无法证明两三角形相似，
故答案为：C．
8．（2020·石嘴山市第八中学初三一模）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
30．（2020·全国初三课时练习）如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )
A．3 B．3或 C．3或 D．
【答案】B
【解析】
,，AQ=，
,，AQ=3.
故选B.
9．（2020·吉林省第二实验学校初二期中）如图，在中，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例 且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形中，有 但夹角不一定相等，故不能判定两三角形相似，故本选项正确；
故选：D．
10．（2020·射阳县第二初级中学月考）如图，下列选项中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、∵AC2=AD•AB，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
B、∵BC2=BD•AB，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△ABC，
不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
11．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．
【答案】△ADE∽△BDA
【解析】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE，
∴AD=，BD=2，
∴，
∵∠ADB=∠ADB，
∴△ADE∽△BDA．
12．（2021·全国初三单元测试）如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【答案】见解析
【解析】证明：如图，∵AB•AE=AD•AC，
∴．
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
考点5：用SSS证明两个三角形相似
典例：如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是_______．
【答案】3
【解析】解：AB=1，，，CD=1，，DE=2，，，FH=2，，，BG=5，
∵=，=，=，
∴△CDB与△ABC不相似；
∵=2，，，
∴△DEB∽△ABC；
∵=，，，
∴△FBG∽△ABC；
∵=，，，
∴△HGF∽△ABC；
∵，，，
∴△EKF与△ABC不相似.
故答案为3.
方法或规律点拨
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，及判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·长春市第四十七中学初三月考）如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据勾股定理，AC=，BC=，AB=
所以，,,,则+=
所以，利用勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形
所以,=
A.不存在直角，所以不与△ABC相似；
B.两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=≠2，所以不与△ABC相似；
C.选项中图形是直角三角形，且两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=2，故C中图形与所给图形的三角形相似．
D. 不存在直角，所以不与△ABC相似.
故选：C．
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）下列条件中，能使成立的是（ ）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5
【答案】D
【解析】A、若△ABC~△DEF，则，故本选项错误；
B、若△ABC~△DEE，则而≠，故本选项错误；
C、若△ABC~△DEF，∠A＝90°，则∠D＝90°，故本选项错误；
D、且∠AGC＝∠BHF＝90°，因此△AGC∽△BHF，所以∠C＝∠F，而∠B＝∠E＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；
所以D选项是正确的.
考点6：选择或添加条件证明相似
典例：（2020·河北其他）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4．在边BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则（ ）
A．甲的说法正确 B．乙的说法正确
C．甲、乙的说法都正确 D．甲、乙的说法都不正确
【答案】B
【解析】解：∵AB∥DC，∠ABC＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
如图，
①若△ABP∽△PCD，则，即，
解得：BP＝2；
②若△ABP∽△DCP，则，即，
解得：BP＝；
所以这样的点P有2个，
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的判定，灵活的利用有一个角相等且这个角两边的线段对应成比例的两个三角形相似是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·山东省平邑县第一中学初三月考）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．
【答案】D
【解析】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
2．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部初三月考）如图，点D在的边AC上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC
C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；
当＝时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；
当＝时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，
故选：C．
3．（2020·山东招远·初二期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
【答案】D
【解析】解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（2020·河南洛宁·初三月考）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
【答案】C
【解析】解：∵∠EAD=∠BAC，
∴当∠AED=∠C时，△AED∽△ACB；
当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC；
当时，△AED∽△ABC；
当时，△AED∽△ACB．
故选：C．
5．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．
【答案】D
【解析】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；
两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；
由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；
而D不是夹角相等，故选项D符合题意；
故选：D
6．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B．
C．∠ACP=∠B D．∠APC=∠ACB
【答案】B
【解析】解：A．∵,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
B．对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等．
C．∵∠ACP=∠B,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
D．∵∠APC=∠ACB,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
故选：B．
7．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．
【答案】8或
【解析】解：∵∠ACB=∠CBD=90°，
∴要使△ACB和△CBD相似，
必须 或
∵AC=8，CB=2代入上式，求出BD=或8．
故选：D．
8．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D在的边AB上，且，则，理由是_______．
【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
【解析】依题意，画图如下：
，即，
又，
（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
9．（2016·云南景洪·初三期末）如图，若∠BAD=∠CAE，∠E=∠C，则 ∽ ．
【答案】△ABC、△ADE
【解析】如图，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．
又∵∠E=∠C，
∴△ABC∽△ADE．
故答案是：△ABC、△ADE
10．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，若，需添加的一个条件是______（填写一个条件即可）．
【答案】或或（任填其一）
【解析】∵要△ABC∽△EBD，
又∵∠ABC=∠EBD，
∴只需∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或即可，
故答案为：∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或（任选其一即可）．
11．（2020·上海浦东新·初三月考）如图，∠1=∠2，请补充一个条件：_____，使．
【答案】∠E=∠C(答案不唯一)
【解析】解：
所以补充：
故答案为：（答案不唯一）
12．（2020·河南周口·初三期中）如图，△ABC中，P为AB上点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB：③∠CAP=∠BAC；④．能确定△APC和△ACB相似的是___________（只填写序号）．
【答案】①②④
【解析】解：①∵，，∴；
②∵，，∴；
③不可以证明；
④∵，，∴．
故答案是：①②④．
13．（2020·江苏宝应·初三）如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．
【答案】或1.5
【解析】解：分两种情况：
第一种情况：如图，过D作DE||AC于点E，
则；
第二种情况：如图，ΔADEΔACB
则
故答案为．
14．（2020·广东南海·初三月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．
【答案】4或9．
【解析】当△ADP∽△ACB时，需有，∴，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有，∴，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
15．（2020·哈尔滨德强学校初三开学考试）如图，点是中边上的一点，请你添加一个条件使：__________.
【答案】
【解析】∵∠B=∠B
∴当时，
故答案为：．
16．（2021·全国初三单元测试）如图，在ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________________，可以使得FDB与ADE相似．(只需写出一个)
【答案】∠A＝∠BDF
【解析】∠A＝∠BDF(或∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠ADE＝∠BDF，DF∥AC，＝，＝等)．
故答案不唯一．
17．（2020·全国初三专题练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
【答案】145
【解析】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD与△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.
专题27.1-27.2.1图形的相似与相似三角形的判定
典例体系（本专题共71题41页）
一、知识点
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
二、考点点拨与训练
考点1：相似多边形的判定
典例：（2020·河北高阳·月考）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：
由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：
某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：
如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
方法或规律点拨
本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．
巩固练习
1．（2020·河北衡水·初三一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
2．（2020·广西平桂·初三期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正方形都相似
3．（2019·上海浦东新·初三期中）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等边三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的矩形都相似
4．（2020·河北初三零模）下列形状边框中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·武邑宏达实验学校）手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·山东高密·初二期末）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019·广东深圳·初三期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似图形 D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
8．（2019·山西榆次·初三期中）在如图所示的各组图形中，相似的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
9．（2020·全国初三课时练习）如图，矩形的长，宽．若矩形的四周有宽为1的环形区域，则图中的两个矩形与相似吗？请说明理由．
10．（2020·全国初三专题练习）如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么
（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；
（2）这样的直线可以作多少条？
考点2：相似多边形性质的应用
典例：（2020·丹东第十中学初三月考）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____．
方法或规律点拨
本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似多边形的性质、解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式法，掌握折叠性质和相似性质，能列出比例式是解答的关键．
巩固练习
1．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为( )
A．2：1 B．4：1 C． D．1：2
2．（2020·郑州枫杨外国语学校初三月考）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
3．（2020·河南洛宁·初三月考）如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）
A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81
4．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:1
5．（2018·无锡市天一实验学校初三期中）如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形是黄金矩形，点、、、分别为线段、、、的中点，则图中黄金矩形的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2020·河北初三一模）如图，是的中点，将面积为的菱形沿方向平移长度得到菱形，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·杭州育才中学初三其他）如图，在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则的长为( )
A．2 B． C． D．
8．（2019·浙江鄞州·初三期中）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（ ）.版权所有
A． B． C． D．2．5
9．（2020·江苏宝应·初三）如图，四边形四边形，若，则________．
10．（2019·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则的值为______．
11．（2020·广东初三其他）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，，则的值为_______．
考点3：用AA判定两个三角形相似
典例：（2020·山东东平·初二期末）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
巩固练习
1．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中不一定相似的是( )
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形（ ）
A．一定相似 B．不一定相似 C．一定不相似 D．不能确定
3．（2020·湖南湘潭·初三期末）如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
5．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为________．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，、为的高，且与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数
7．（2020·贵州江口·初三期末）在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．
8．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．
9．（2020·贵州印江·初三期末）已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA
10．（2019·长沙市长郡滨江中学初三期末）如图，在与中，，且.
求证：.
11．（2020·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
12．（2020·全国初三专题练习）如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．
13．（2020·金昌市金川总校第五中学初三期末）如图，在平行四边形中，过点作垂足为．连接为线段上一点，且．求证：．
考点4：用SAS证明两个三角形相似
典例：（2020·江西初三一模）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，且，连接、．求证：．
方法或规律点拨
此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·银川外国语实验学校初三月考）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A． B． C．是的中点 D．
2．（2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，下列条件：①∠ABD=∠ACB，②AB2=AD·AC，③∠ADB=∠ABC，④AB2=AD·DC.其中，单独能判定△ABD∽△ACB的个数是（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
3．（2020·海南琼山中学初三月考）如图，△ACD∽△ABC需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·山东招远·初二期末）如图，与相似，且，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·全国初三期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
A． B． C． D．
6．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020·甘肃七里河·初三期末）如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）
A．∠C=∠AED B．∠B=∠D C． D．
【答案】C
8．（2020·石嘴山市第八中学初三一模）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．（2020·吉林省第二实验学校初二期中）如图，在中，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·射阳县第二初级中学月考）如图，下列选项中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．
12．（2021·全国初三单元测试）如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
考点5：用SSS证明两个三角形相似
典例：如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是_______．
方法或规律点拨
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，及判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·长春市第四十七中学初三月考）如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）下列条件中，能使成立的是（ ）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5
考点6：选择或添加条件证明相似
典例：（2020·河北其他）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4．在边BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则（ ）
A．甲的说法正确 B．乙的说法正确
C．甲、乙的说法都正确 D．甲、乙的说法都不正确
方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的判定，灵活的利用有一个角相等且这个角两边的线段对应成比例的两个三角形相似是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·山东省平邑县第一中学初三月考）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．
2．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部初三月考）如图，点D在的边AC上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC
C．＝ D．＝
3．（2020·山东招远·初二期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
4．（2020·河南洛宁·初三月考）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
5．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．
6．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B．
C．∠ACP=∠B D．∠APC=∠ACB
7．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．
8．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D在的边AB上，且，则，理由是_______．
9．（2016·云南景洪·初三期末）如图，若∠BAD=∠CAE，∠E=∠C，则 ∽ ．
10．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，若，需添加的一个条件是______（填写一个条件即可）．
11．（2020·上海浦东新·初三月考）如图，∠1=∠2，请补充一个条件：_____，使．
12．（2020·河南周口·初三期中）如图，△ABC中，P为AB上点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB：③∠CAP=∠BAC；④．能确定△APC和△ACB相似的是___________（只填写序号）．
13．（2020·江苏宝应·初三）如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．
14．（2020·广东南海·初三月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．
15．（2020·哈尔滨德强学校初三开学考试）如图，点是中边上的一点，请你添加一个条件使：__________.
16．（2021·全国初三单元测试）如图，在ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________________，可以使得FDB与ADE相似．(只需写出一个)
17．（2020·全国初三专题练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
专题27.1-27.2.1图形的相似与相似三角形的判定
典例体系（本专题共71题41页）
一、知识点
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
二、考点点拨与训练
考点1：相似多边形的判定
典例：（2020·河北高阳·月考）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：
由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：
某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：
如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
【答案】（1）变大；（2）；（3）A；（4）否
【解析】解：（1）∵，，，…
∴对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，
故填：变大；
（2）由（1）得：＜，理由如下：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ＜0，
∴ ；
（3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，
则-＜0，
∴ ＜，
∴ 采光条件变差，
故选A ；
（4）由（2）知：，所得大矩形与原来的矩形不相似，
故填：否．
方法或规律点拨
本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．
巩固练习
1．（2020·河北衡水·初三一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【解析】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．
所以甲对，乙不对，
故选：C．
2．（2020·广西平桂·初三期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似 D．正方形都相似
【答案】C
【解析】解：A、所有的等边三角形都相似，所以A选项为真命题；
B、所有的等腰直角三角形都相似，所以B选项为真命题；
C、所有的矩形不一定相似，如一个矩形的长宽之比为，另一个矩形的长宽之比为，所以C选项为假命题；
D、所有的正方形都相似，所以D选项为真命题．
故选C．
3．（2019·上海浦东新·初三期中）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的等边三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的矩形都相似
【答案】B
【解析】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；
B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确；
C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；
D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误；
故选B．
4．（2020·河北初三零模）下列形状边框中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、图形的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故错误；
B、图形的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故错误；
C、对应角的度数相同，但对应边的比值不一定相等，不一定相似，故正确；
D、图形的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故错误．
故选：C．
5．（2020·武邑宏达实验学校）手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求；
故选：D．
6．（2019·山东高密·初二期末）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
7．（2019·广东深圳·初三期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似图形 D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
【答案】C
【解析】解：A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；
B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；
C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；
D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，
故选：C．
8．（2019·山西榆次·初三期中）在如图所示的各组图形中，相似的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【解析】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，
∴两图形不相似；
②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，
∴两正方形相似；
③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，
∴两个菱形相似．
④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，
∴两个矩形不一定相似．
故选C．
9．（2020·全国初三课时练习）如图，矩形的长，宽．若矩形的四周有宽为1的环形区域，则图中的两个矩形与相似吗？请说明理由．
【答案】不相似，见解析
【解析】解：不相似．理由如下：
因为，
所以，
而，
所以矩形与矩形不相似．
10．（2020·全国初三专题练习）如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么
（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；
（2）这样的直线可以作多少条？
【答案】见解析
【解析】（1）相似．理由如下：
因为EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，所以可设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
于是有，
所以x＋AF＝b－x＋b－AF，即AF＝b－x．
又EC＝b－x，所以AF＝EC．
在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
所以DF＝BE，∠AFE＝∠FEC，∠DFE＝∠BEF，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
所以在四边形ABEF与四边形CDFE中，有
∠A＝∠C＝90°，∠B＝∠D＝90°，∠AFE＝∠FEC，∠BEF＝∠DFE，
，
所以四边形ABEF与四边形CDFE相似，相似比为1．
（2）这样的直线有无数条，只要过矩形对角线的交点且满足条件即可．
考点2：相似多边形性质的应用
典例：（2020·丹东第十中学初三月考）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____．
【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=1
由折叠的性质得：AB=AF=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即，
整理，得：，
解得：,
由题意得：，
故答案为：．
方法或规律点拨
本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似多边形的性质、解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式法，掌握折叠性质和相似性质，能列出比例式是解答的关键．
巩固练习
1．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为( )
A．2：1 B．4：1 C． D．1：2
【答案】A
【解析】解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，
，
∴x：y=2：1
故选：A．
2．（2020·郑州枫杨外国语学校初三月考）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【答案】B
【解析】
解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF=xcm，得到：
解得：x=4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
3．（2020·河南洛宁·初三月考）如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）
A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81
【答案】B
【解析】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的周长比为：=.
故选B.
4．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:1
【答案】B
【解析】解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后的矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
5．（2018·无锡市天一实验学校初三期中）如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形是黄金矩形，点、、、分别为线段、、、的中点，则图中黄金矩形的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】由题意知，四边形AEHG、BFHG、CDEF都是矩形，
∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴AB：AD=AB：BC=，
∵AG=BG=AB，AE=AD，BF=BC，
∴AG：AE=AB：AD=，BG：BF=AB：BC=，
∴矩形AEHG、矩形BFHG是黄金矩形，
∵CD=AB，FC=BC，
∴FC：CD=≠，
∴图中黄金矩形共有3个，
故选C．
6．（2020·河北初三一模）如图，是的中点，将面积为的菱形沿方向平移长度得到菱形，则图中阴影部分的面积是（ ）.版权所有
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，
由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=
故四边形OECF的面积是▱ABCD面积
即图中阴影部分的面积为4cm2．
故选：C
7．（2019·杭州育才中学初三其他）如图，在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则的长为( )
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去）
经检验，是原方程的解．
∴．
故选：D．
8．（2019·浙江鄞州·初三期中）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（ ）
A． B． C． D．2．5
【答案】B
【解析】解：∵原矩形的长为6，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，
∴x=，
故答案为：B.
9．（2020·江苏宝应·初三）如图，四边形四边形，若，则________．
【答案】103
【解析】∵四边形四边形，
．
，
，
故答案为：103．
10．（2019·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则的值为______．
【答案】6
【解析】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
11． （2020·广东初三其他）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，，则的值为_______．
【答案】或
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴AC＝，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵S1＝2×4=8，S2＝8×，S3＝8×（）2，…
∴S2020＝＝，
故答案为或．
考点3：用AA判定两个三角形相似
典例：（2020·山东东平·初二期末）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）点在中点位置时，，证明见解析．
【解析】（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
巩固练习
1．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中不一定相似的是( )
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
【答案】A
【解析】解：A、由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
B、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；
C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；
D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．
故选B．
2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形（ ）
A．一定相似 B．不一定相似 C．一定不相似 D．不能确定
【答案】A
【解析】解：∵ 一个三角形的两个内角分别是，，
∴ 另一个内角的度数是，
∴一个三角形的三个内角分别是，，
∴ 这两个三角形有两角对应相等
∴ 这两个三角形一定相似．
故选：．
3．（2020·湖南湘潭·初三期末）如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD
所以有三对相似三角形，
故选：C．
4．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．
【答案】C
【解析】解： △ABC与△BDE都是等边三角形，
故选C．
5．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为________．
【答案】
【解析】解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．
又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴AB：AD=BC：DE，
∴DE=，
∴EC=DC﹣DE=．
6．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，、为的高，且与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：（1）证明：、为的高，
=90°，
又，
；
（2），
，
为的高，
，
．
7．（2020·贵州江口·初三期末）在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．
【答案】△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA，证明见解析
【解析】解：图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．
∵AD、CE分别是△ABC的两条高，
∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠EBC＝∠ABD，
∴△ABD∽CBE．
8．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．
【答案】见解析．
【解析】∵正方形ABCD
∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC
∵CE=CF
∴△DCF≌△ECB
∴∠CDF =∠CBE
∵∠CDF＋∠F=90
∴∠CBE＋∠F=90
∴∠BGF=90=∠DCF
∴△BGF∽△DCF
9．（2020·贵州印江·初三期末）已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA
【答案】见解析
【解析】∵ DF⊥BC于F，∠C=90°
∴∠DFG＝∠C＝90°
又DE⊥AB于点E
∴∠DGB＋∠B＝90°
又∠DGB＋∠D＝90°
∴∠B=∠D
∴△DFG∽△BCA．
10．（2019·长沙市长郡滨江中学初三期末）如图，在与中，，且.
求证：.
【答案】见解析
【解析】∵，
∴，
即，
又，
∴．
11．（2020·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【答案】证明见解析．
【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
12．（2020·全国初三专题练习）如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】证明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC．
13．（2020·金昌市金川总校第五中学初三期末）如图，在平行四边形中，过点作垂足为．连接为线段上一点，且．求证：．
【答案】详见解析
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
．
∴△ADF∽△DEC.
考点4：用SAS证明两个三角形相似
典例：（2020·江西初三一模）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，且，连接、．求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，即
∵，
∴，即
∴，
∴，
∴
方法或规律点拨
此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·银川外国语实验学校初三月考）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A． B． C．是的中点 D．
【答案】C
【解析】解：A. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意；
B. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，可以得到∽，不合题意；
C. 是的中点，无法判断与相似，符合题意；
D. ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，可以得到∽，不合题意．
故选：C
2．（2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，下列条件：①∠ABD=∠ACB，②AB2=AD·AC，③∠ADB=∠ABC，④AB2=AD·DC.其中，单独能判定△ABD∽△ACB的个数是（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【解析】①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；
②∵AB2=AD•AC，∴=．
∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；
③∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；
④∵AB2=AD·DC，∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似．
故选：C．
3．（2020·海南琼山中学初三月考）如图，△ACD∽△ABC需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵∠A=∠A，
∴当时，△ACD∽△ABC，
故选：C．
4．（2020·山东招远·初二期末）如图，与相似，且，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，所以，
故选D.
5．（2019·全国初三期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵∠BAC=∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
6．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：如图示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，
①
，
，
故①是正确的；
，，，，
，
，
，
故③是正确的；
，，，，
，
，
；
故④是正确的；
∵，，，，
∴，
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
故②是错误的；
综上所述①③④是正确的，正确的有3个，
故选：C．
7．（2020·甘肃七里河·初三期末）如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）
A．∠C=∠AED B．∠B=∠D C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意可知∠DAE=∠BAC，
若添加∠C=∠AED或∠B=∠D均可由“两角对应相等，两三角形相似”判定；
若添加 ，则由“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”判定；
若只添加 ，无法证明两三角形相似，
故答案为：C．
8．（2020·石嘴山市第八中学初三一模）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
30．（2020·全国初三课时练习）如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )
A．3 B．3或 C．3或 D．
【答案】B
【解析】
,，AQ=，
,，AQ=3.
故选B.
9．（2020·吉林省第二实验学校初二期中）如图，在中，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例 且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形中，有 但夹角不一定相等，故不能判定两三角形相似，故本选项正确；
故选：D．
10．（2020·射阳县第二初级中学月考）如图，下列选项中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、∵AC2=AD•AB，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
B、∵BC2=BD•AB，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△ABC，
不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
11．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．
【答案】△ADE∽△BDA
【解析】∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE，
∴AD=，BD=2，
∴，
∵∠ADB=∠ADB，
∴△ADE∽△BDA．
12．（2021·全国初三单元测试）如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
【答案】见解析
【解析】证明：如图，∵AB•AE=AD•AC，
∴．
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
考点5：用SSS证明两个三角形相似
典例：如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是_______．
【答案】3
【解析】解：AB=1，，，CD=1，，DE=2，，，FH=2，，，BG=5，
∵=，=，=，
∴△CDB与△ABC不相似；
∵=2，，，
∴△DEB∽△ABC；
∵=，，，
∴△FBG∽△ABC；
∵=，，，
∴△HGF∽△ABC；
∵，，，
∴△EKF与△ABC不相似.
故答案为3.
方法或规律点拨
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，及判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·长春市第四十七中学初三月考）如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据勾股定理，AC=，BC=，AB=
所以，,,,则+=
所以，利用勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形
所以,=
A.不存在直角，所以不与△ABC相似；
B.两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=≠2，所以不与△ABC相似；
C.选项中图形是直角三角形，且两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=2，故C中图形与所给图形的三角形相似．
D. 不存在直角，所以不与△ABC相似.
故选：C．
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）下列条件中，能使成立的是（ ）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，；
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；
D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5
【答案】D
【解析】A、若△ABC~△DEF，则，故本选项错误；
B、若△ABC~△DEE，则而≠，故本选项错误；
C、若△ABC~△DEF，∠A＝90°，则∠D＝90°，故本选项错误；
D、且∠AGC＝∠BHF＝90°，因此△AGC∽△BHF，所以∠C＝∠F，而∠B＝∠E＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；
所以D选项是正确的.
考点6：选择或添加条件证明相似
典例：（2020·河北其他）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝4，CD＝1，BC＝4．在边BC上取一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，甲认为这样的点P只存在1个，乙认为这样的点P存在不止1个，则（ ）
A．甲的说法正确 B．乙的说法正确
C．甲、乙的说法都正确 D．甲、乙的说法都不正确
【答案】B
【解析】解：∵AB∥DC，∠ABC＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
如图，
①若△ABP∽△PCD，则，即，
解得：BP＝2；
②若△ABP∽△DCP，则，即，
解得：BP＝；
所以这样的点P有2个，
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的判定，灵活的利用有一个角相等且这个角两边的线段对应成比例的两个三角形相似是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·山东省平邑县第一中学初三月考）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．
【答案】D
【解析】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选D．
2．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部初三月考）如图，点D在的边AC上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC
C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；
当＝时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；
当＝时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，
故选：C．
3．（2020·山东招远·初二期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
【答案】D
【解析】解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（2020·河南洛宁·初三月考）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠B=∠ADE C． D．∠C=∠AED
【答案】C
【解析】解：∵∠EAD=∠BAC，
∴当∠AED=∠C时，△AED∽△ACB；
当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC；
当时，△AED∽△ABC；
当时，△AED∽△ACB．
故选：C．
5．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（ ）
A． B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．
【答案】D
【解析】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；
两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；
由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；
而D不是夹角相等，故选项D符合题意；
故选：D
6．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B．
C．∠ACP=∠B D．∠APC=∠ACB
【答案】B
【解析】解：A．∵,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
B．对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等．
C．∵∠ACP=∠B,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
D．∵∠APC=∠ACB,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
故选：B．
7．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中）如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．
【答案】8或
【解析】解：∵∠ACB=∠CBD=90°，
∴要使△ACB和△CBD相似，
必须 或
∵AC=8，CB=2代入上式，求出BD=或8．
故选：D．
8．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D在的边AB上，且，则，理由是_______．
【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
【解析】依题意，画图如下：
，即，
又，
（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
9．（2016·云南景洪·初三期末）如图，若∠BAD=∠CAE，∠E=∠C，则 ∽ ．
【答案】△ABC、△ADE
【解析】如图，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．
又∵∠E=∠C，
∴△ABC∽△ADE．
故答案是：△ABC、△ADE
10．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，若，需添加的一个条件是______（填写一个条件即可）．
【答案】或或（任填其一）
【解析】∵要△ABC∽△EBD，
又∵∠ABC=∠EBD，
∴只需∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或即可，
故答案为：∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或（任选其一即可）．
11．（2020·上海浦东新·初三月考）如图，∠1=∠2，请补充一个条件：_____，使．
【答案】∠E=∠C(答案不唯一)
【解析】解：
所以补充：
故答案为：（答案不唯一）
12．（2020·河南周口·初三期中）如图，△ABC中，P为AB上点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB：③∠CAP=∠BAC；④．能确定△APC和△ACB相似的是___________（只填写序号）．
【答案】①②④
【解析】解：①∵，，∴；
②∵，，∴；
③不可以证明；
④∵，，∴．
故答案是：①②④．
13．（2020·江苏宝应·初三）如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．
【答案】或1.5
【解析】解：分两种情况：
第一种情况：如图，过D作DE||AC于点E，
则；
第二种情况：如图，ΔADEΔACB
则
故答案为．
14．（2020·广东南海·初三月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为__时，△ADP和△ABC相似．
【答案】4或9．
【解析】当△ADP∽△ACB时，需有，∴，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有，∴，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．
15．（2020·哈尔滨德强学校初三开学考试）如图，点是中边上的一点，请你添加一个条件使：__________.
【答案】
【解析】∵∠B=∠B
∴当时，
故答案为：．
16．（2021·全国初三单元测试）如图，在ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________________，可以使得FDB与ADE相似．(只需写出一个)
【答案】∠A＝∠BDF
【解析】∠A＝∠BDF(或∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠ADE＝∠BDF，DF∥AC，＝，＝等)．
故答案不唯一．
17．（2020·全国初三专题练习）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
【答案】145
【解析】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD与△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.
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