数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理习题

这是一份数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理习题，共15页。试卷主要包含了基本概念，股四，典例分析等内容，欢迎下载使用。
17.2勾股定理的逆定理一、基本概念1.判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）   其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。            （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。        用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）2.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。       （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。二、典例分析例．如图，已知在中，于点D，．（1）求的长；（2）求证：是直角三角形．【答案】（1）12、25；（2）见解析【分析】（1）在和中利用勾股定理求得、的长，根据即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．【详解】解：（1）∵于点D，∴和是直角三角形，在中，，∴．在中，，∴．∴；（2）证明：∵，∴，，∴是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理的内容是关键．三、针对训练1．下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（   ）A．5，9，12 B．7，12，13 C．30，40，50 D．3，4，62．下列条件：①；②；③；④，能判定是直角三角形的有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（    ）A．1，2， B．6，8，10 C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.54．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（    ）A．3 B．4 C． D．4.85．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（    ）A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm26．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．7．△ABC的三条边长、、满足，，则△ABC____直角三角形（填“是”或“不是”）8．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．9．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 _______________．10．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△PAB，则∠PAB＋∠PBA的度数是______．11．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为多少?        12．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A、B､E都在网格的格点上，求∠ABE的度数．        13．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．     14．如图，在等腰ABC中，AB＝AC＝15，点D是AC边上的一点，且CD＝3，BD＝9，判断ABD的形状，并说明理由．    15．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE=90°．     针对训练解析1．下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（   ）A．5，9，12 B．7，12，13 C．30，40，50 D．3，4，6【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可．【详解】解：A、∵52+92≠122，∴该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；B、∵72+122≠132，∴该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；C、∵302+402=502，∴该组线段符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故符合题意；D、∵32+42≠62，∴该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．下列条件：①；②；③；④，能判定是直角三角形的有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论．【详解】解：①即，△ABC是直角三角形，故①符合题意；②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A−∠B，∴∠A+∠B+∠A−∠B=180°，即∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；③∵，设a=，b=，c=，则，∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；④∵，∴∠C=×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．综上，符合题意的有①②，共2个，故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．3．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（    ）A．1，2， B．6，8，10 C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5【答案】C【分析】先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A、∵，∴以1，2，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵62+82=36+64=100=102，∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵32+72=9+49=58≠82，∴以3，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D、∵0.32+0.42=0.09+0,16=0.25=0.52，∴以0.3，0.4，0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．4．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（    ）A．3 B．4 C． D．4.8【答案】C【分析】根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可得，解可得答案．【详解】解：，，是直角三角形，，，．故选：．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．5．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（    ）A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2【答案】D【分析】首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案．【详解】解：如图，连接BD，∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，∴BD==5（cm），∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，∴BD2+CD2=CB2，∴∠BDC=90°，∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），S△ABD=×3×4=6（cm2），∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是算出BD的长，证明△BDC是直角三角形．6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．【答案】【分析】设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．【详解】解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．【点睛】本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．7．△ABC的三条边长、、满足，，则△ABC____直角三角形（填“是”或“不是”）【答案】不是【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出的值，运用勾股定理逆定理验证即可．【详解】解：∵，∴，，∴，则，∴，∴△ABC不是直角三角形，故答案为：不是．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出的值是解本题的关键．8．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是______．【答案】直角三角形或等腰三角形【分析】将a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0因式分解，然后分析不难得到三角形的形状．【详解】解答：解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，∴（a2＋b2）（a2−b2）−c2（a2−b2）＝0∴（a2−b2）（a2＋b2−c2）＝0∴a2−b2＝0或a2＋b2−c2＝0∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：直角三角形或等腰三角形．【点睛】此题主要考查学生对因式分解法，等腰三角形的判定及勾股定理的综合运用能力，关键是对等式进行合理的因式分解．9．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 _______________．【答案】##【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．【详解】解：，，，，，，，是直角三角形，，阴影，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长．10．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△PAB，则∠PAB＋∠PBA的度数是______．【答案】45°45度【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图：由勾股定理得：，，∴，，∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：，【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．11．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为多少?【答案】24平方米【分析】利用割补法，将图形补齐，连接AC，根据勾股定理判定是直角三角形，即可求出四边形面积．【详解】解：如图，连接AC，在中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米，又∵，∴是直角三角形，∴这块地的面积=-=（平方米）【点睛】本题主要考查勾股定理的判定，利用辅助线构造直角三角形，再进行面积求值，熟练掌握勾股定理的应用是本题的关键．12．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A、B､E都在网格的格点上，求∠ABE的度数．【答案】45°【分析】根据勾股定理可确定三角形三边的长度，然后由勾股定理逆定理及各边长度可得是等腰直角三角形，即可确定的大小．【详解】解：由勾股定理可得，，，∴，，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴ ．【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理的应用、等腰三角形的判定及性质，结合图形综合运用定理是解题关键．13．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．【答案】（1）是，见解析；（2）千米【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）是；理由是：在中，∵，∴，∴，∴CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设，则，在中，，∴，解得：，答：原来的路线AC的长为千米【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键．14．如图，在等腰ABC中，AB＝AC＝15，点D是AC边上的一点，且CD＝3，BD＝9，判断ABD的形状，并说明理由．【答案】ABD是直角三角形，见解析【分析】求出AD长，求出BD2+AD2＝AB2，再根据勾股定理的逆定理得出即可．【详解】△ABD是直角三角形，理由是：∵AC＝15，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝15﹣3＝12，∵AB＝15，BD＝9，∴BD2+AD2＝AB2，∴ABD是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．15．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE=90°．【答案】（1）；；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理，求得为直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：∵在中，∴∵在中，∴（2）证明：∵，，，∴，∴为直角三角形，【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键．