初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理课后复习题

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17.2勾股定理的逆定理同步练习

人教版初中数学八年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 中，，，的对边分别是，，下列命题中的假命题是

A. 如果，则是直角三角形
B. 如果，则是直角三角形，且
C. 如果，则是直角三角形
D. 如果，则是直角三角形

2. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块可重复选取按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

3. 三角形的三边长，，满足，则此三角形是．

A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形

4. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为．

A.
B.
C.
D.

6. 在中，，，边上的中线，则边上的高为

A.  B.  C.  D.

7. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为 

A.  B.  C.  D.

9. 如图，长方体的底面邻边长分别是和，高为，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点点为棱的中点，那么所用细线最短为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11. 如图，为了求出湖两岸、两点之间的距离，观测者从测点、分别测得，又量得，，则、两点之间的距离为

A.  B.  C.  D.

12. 三角形的三边长分别为，，，且，则

A. 边的对角是直角 B. 边的对角是直角
C. 边的对角是直角 D. 边是直角三角形的斜边

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 一个三角形的三边长的比为：：，且其周长为，则其面积为______．
14. 如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是______．
    
    
     

15. 如图，一架长米的梯子斜立在一竖直的墙上，梯子底端距离墙底米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯子底端将向左滑动__米．
    
    
    
    
     

16. 如图，每个小正方形边长为，、、是小正方形的顶点，则______，_______．
    
    
     

17. 如图，长、宽均为，高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图是此时的示意图，则图中水面高度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
    
    
     

19. 如图所示，一棵大树高米，一场大风过后，大树在离地面米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有多少米？

20. 我国古代数学著作九章算术中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知在中，，，．
    判断的形状，并说明理由；
    试在下面的方格纸上补全，使它的顶点都在方格的顶点上．每个小方格的边长为
    
     

22. 阅读下列题目的解题过程：
    已知、、为的三边，且满足，试判断的形状．
    解：
    
    
    是直角三角形
    问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______；
    错误的原因为：______；
    本题正确的结论为：______．
    
    
    
    
    
    
     
23. 一块钢板形状如图所示，量得，，，，，请你计算一下这块钢板的面积．
    
     

24. 已知等腰三角形的底边，是腰上一点，且，，
    
    求证：．
    求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在中，，平分的外角，与的垂直平分线相交于点，连结．
    求证：；
    如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则______直接填数值

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了命题，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定方法有：求得一个角为，利用勾股定理的逆定理．
【解答】
解：根据三角形内角和定理，可求出角为度，故正确；
B. 解得应为度，故错误；
C. 化简后有，根据勾股定理，则是直角三角形，故正确；
D. 设三角分别为，，，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：度，度，度，则是直角三角形，故正确．
故选B  

2.【答案】
 

【解析】解：当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，围成的直角三角形的面积是，
，
所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是，，，
故选：．
根据题意可知，三块三角形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，属基础题．
因为、、，为三角形的三边长，可化简：，得到结论．
【解答】
解：，
．
所以为直角三角形．
故选C．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【解答】
解：如图，

在中，，米，米，
．
在中，，米，，
，
，
，
米，
米．
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
由折叠的性质得：，，
，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
故选：．
先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长．
本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法求三角形的高．
如图，作于利用勾股定理的逆定理证明，再利用面积法求出即可．
【解答】
解：如图，作于．

是的中线，，
，
，，，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
，
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】解：，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用有关知识熟练掌握勾股定理是本题解题的关键观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为，可以得出四个直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】
解：如图所示：

，
，
大正方形的面积为
又大正方形的面积为，
，
，
即个直角三角形的面积之和为，
小正方形的面积为．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

【解答】
解：将长方体展开，连接、，

则，，
根据两点之间线段最短，．

故选C．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．

【解答】

解：如图，

在中，，米，米，
．
在中，，米，，
，
，
，
米，
米．
故选A．

11.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
故选：．
根据勾股定理计算直角三角形的直角边即可．
此题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理，熟记，，勾股数．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理有关知识，根据平方差公式可得，再利用勾股定理的逆定理得出这个三角形是直角三角形，且斜边为，进而得到结论．
【解答】
解：，
，
，
以，，为边的三角形是直角三角形，且边的对角是直角．
故选A．  

13.【答案】
 

【解析】解：三角形的三边长的比为：：，
设三角形的三边长分别为，，．
其周长为，
，解得，
三角形的三边长分别是，，．
，
此三角形是直角三角形，

故答案为：．
先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，最短，
此时，
故；
故答案为：．
根据勾股定理求出的最短距离，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生利用勾股定理角实际问题的能力，注意做题时要先弄清题意．根据图形得到两个直角三角形，将问题转化为直角三角形问题利用勾股定理解答．
先根据勾股定理求出的长，继而得到的长，再用勾股定理求出的长，则易求出结论．
【解答】
解：米，米，米，
在中，
米，米，
米，
米，
米，
米，
米，
米，
米．
即梯子底端将滑动了米，
故答案为．  

16.【答案】；
 

【解析】解：连接．
根据勾股定理可以得到：，
，
，即，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：，．
连接，根据勾股定理得到，，的长度，证明是等腰直角三角形，继而可得出的度数．
本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：过点作于，如图所示：

设，则，
根据题意得：，
解得：，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
∽，
，
即，
，
故答案为：．
设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，由∽的比例线段求得结果即可．
本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：连接，如图，
，
，
米，米，
米，
米，米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积米
 

【解析】连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

19.【答案】解：设此时树的顶端离树的底部有米，由勾股定理得：
解得：，舍去
答：此时树的顶端离树的底部有米．
 

【解析】设此时树的顶端离树的底部有米，再由勾股定理即可得出结论．
此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．
 

20.【答案】解：设水深尺，芦苇尺，
由勾股定理：，
解得：，，
答：水深尺，芦苇的长度是尺．
 

【解析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

21.【答案】解：是直角三角形，
理由：，
，
是直角三角形；

如图所示．
 

【解析】利用勾股定理逆定理进行判定即可；
根据勾股定理确定点位置，再连接即可．
此题主要考查了作图--应用设计与作图，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

22.【答案】；
没有考虑的情况；
是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形  ．
 

【解析】

解：由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：，
故答案为：；
错误的原因为：没有考虑的情况，
故答案为：没有考虑的情况；
本题正确的结论为：是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，
故答案为：是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【分析】
根据题目中的书写步骤可以解答本题；
根据题目中到可知没有考虑的情况；
根据题意可以写出正确的结论．
本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．  

23.【答案】解：，，
即，故，
同理，，



．
 

【解析】本题考查了勾股定理和它的逆定理，三角形的面积计算方法，熟练掌握勾股定理逆定理的运用，证明是直角三角形是关键．
由勾股定理逆定理可得与均为直角三角形，进而可求解其面积．
 

24.【答案】解：证明：， 
， 
是直角三角形， 
； 
设，则， 
， 
， 
在中：，
， 
解得， 
，
则三角形的面积为
 

【解析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理逆定理，勾股定理，熟记两个定理并判断出是直角三角形，然后求出的长是解题的关键．

首先根据、、长可利用勾股定理逆定理证明； 

设，则，在中利用勾股定理列出方程求解即可得到，进一步得到，即可得解 

25.【答案】
 

【解析】证明：如图，连接，作于，于．
平分，
平分，
，
又，，
，
垂直平分线段，
，，
≌，，
，
又，
，
，，
．
解：如图，过点作于，作交于，
，，，
，
，
平分，，，
，
，
，
，
，，
，
：：：，
：：，
，
：：，
：：，
，
．
故答案为：．
连接，作于，于首先证明≌，推出，由，可得，推出，，即可解决问题；
作于，作交于首先证明：：：，由，推出：：：，由，推出：：，由，推出；
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．