浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高一下学期5月期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高一下学期5月期中数学试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页.满分100分，考试时间120分钟.

选择题部分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）

1.已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由条件求出，然后可算出.

【详解】因为，，所以

所以

故选：A

【点睛】本题考查的是正弦的二倍角公式，较简单.

2.已知实数列1，x，y，z，5成等差数列，则(    )

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】

直接根据等差中项求解即可．

【详解】解：∵实数列1，x，y，z，5成等差数列，

∴，

得，

∴，

故选：C．

【点睛】本题主要考查等差中项，属于基础题．

3.如图，正方形边长为，延长至，使，连接、则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：由图象知，所以有，再根据同角三角函数关系式，可求出，选B.

考点：1.两角差的正切公式；2.同角三角函数关系式.

4.已知，.记数列的前n项和为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意转化条件可得，由裂项相消法即可得解.

【详解】由题意，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了裂项相消法求数列前n项和的应用，考查了运算求解能力，关键是熟练掌握数列求和的方法，属于基础题.

5.已知点A(1，3)，B(-2，-1)，若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB有公共点，则k的取值范围是（    ）

A.  B.  C. 或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先由条件画出图象，再求出直线与线段有交点的条件，进而可求出答案.

【详解】因为直线l：y=k(x-2)+1恒过定点，

如图所示：

若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB有公共点，

则，

又，，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查由直线的位置关系求斜率的取值范围问题，考查运算和转化能力，属于基础题.

6.在中，设角 的对边分别为．若，则是（  ）

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形

C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正弦定理，将等式中的边a,b消去，化为关于角A,B的等式，整理化简可得角A,B的关系，进而确定三角形．

【详解】由题得，整理得，因此有，可得或，当时，为等腰三角形；当时，有，为直角三角形，故选D．

【点睛】这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解．

7.已知三内角所对边分别为，若成等差数列，则(    )

A.  B.

C.  D. 与的大小不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意利用等差数列的性质及三角形的内角和，可求得，利用余弦定理，结合基本不等式，可得，从而得解.

【详解】在中，成等差数列，

，

又，，

由余弦定理得，

，

（当且仅当时取等号），

，

（当且仅当时取等号），

.

故选：C.

【点睛】本题考查了等差数列的性质、余弦定理以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题.

8.已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由，结合三角恒等变换公式以及同角三角函数的基本关系，可求出的值.

【详解】解：因为，所以，

即，

整理得，，所以

，

故选:A.

【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了三角恒等变换公式.本题的难点是对已知条件进行配凑角.

9.已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据数列的递推公式和等比数列的定义，可得出数列是等比数列，首项为，公比为2，利用等比数列的通项公式求出，从而得到，结合数列的单调性，即可求出实数的取值范围.

【详解】解：由题可知，，，则，

则有，所以，

可知数列是等比数列，首项为，公比为2，

所以，

由于，所以，

因为数列是单调递增数列，

当时，，即，

即，整理得：，

则，所以，

当时，，而，

则，解得：，

综上得：.

故选：B.

【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明等比数列，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列单调性的应用，考查化简运算能力.

10.已知数列前n项和为，且满足则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由条件可得出，然后可得，即可推出选项C正确.

【详解】因为

所以，所以

所以，

所以

所以

故选：C

【点睛】本题主要考查的是数列的前项和与的关系，解答的关键是由条件得到，属于中档题.

非选择题部分

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分.）

11.计算________；的值是_________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

空1；根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；

空2：根据诱导公式，逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.

【详解】空1：

空2：

故答案为：；

【点睛】本题考查了余弦两角和公式的应用，考查了逆用两角和的正弦公式求值，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.

12.已知公差不为的等差数列，若，且、、成等比数列，则_____，_____.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量，进而可求得.

【详解】设等差数列的公差为，

由题意，即，解得，

因此，.

故答案为：；.

【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列通项公式的求解和等比数列定义的应用，考查计算能力，属于基础题.

13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则________;________.

【答案】    (1).     (2). 2

【解析】

分析】

由正弦定理可得，由余弦定理可求出．

【详解】解：∵，，，

∴由正弦定理得，

由余弦定理得，即，解得，或（舍去），

故答案为：，2．

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题．

14.设直线l的方程为，则直线l经过定点_________；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______________.

【答案】    (1).     (2). 或

【解析】

【分析】

直线l的方程可写为，解方程组，即得定点坐标；分截距为0和截距不为0两种情况讨论，求出值，即得直线l的方程.

【详解】直线l的方程可写为.

解方程组，得，定点坐标为.

直线l经过定点.

当截距为0时，，直线l过原点，直线l的方程为.

当截距不为0时，，且.

直线l在两坐标轴上的截距相等，，

直线l的方程为.

综上，直线l的方程为或.

故答案为：；或.

【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.

15.在数列中，已知，，则=______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用累加法求得，再利用裂项求和法求得数列的前项和.

【详解】因为，

故可得，

累加可得，又因为，

则，

故可得，

则

.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前项和，属中档题.

16.已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________.

【答案】

【解析】

【分析】

设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程.

【详解】因为中线CE所在直线方程为，

所以可设，

由AC中点为，可得，

所以，

为等腰直角三角形，CE为中线，

,，

①，

又是的中点，,

,，

化简得： ②，

由①②解得，

所以点,又因为，

所以直线方程为,

即所求方程为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了两直线垂直位置关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.

17.设的内角、、所对的边、、成等比数列，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意得出，可得，利用切化弦的思想以及两角和的正弦公式得出，设，可得出，，利用三角形三边关系可得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围.

【详解】、、成等比数列，则，所以，，

，

设，则，，

由三角形三边关系可得，即，即，解得.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查三角形中边长之比的取值范围的求解，考查了三角恒等变换思想以及三角形三边关系的应用，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题（本大题共5小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

18.已知两条直线和，求分别满足下列条件的实数的值.

（1），且过点；

（2），且坐标原点到直线的距离为1.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）利用直线过点，直线，斜率之积为，得到两个关系式，求出a，b的值；

（2）利用点到直线距离为1，求出a，再由知斜率相等求得.

【详解】（1），

①

又过点

②

由①②得

（2）因为原点到：的距离为1

所以，

解得或，

由

，

当时，解得

此时直线不存在，不符合题意；

当时，解得

【点睛】本题主要考查了两条直线垂直、平行的位置关系，考查了两直线斜率的关系，考查了运算能力，属于中档题.

19.已知函数

（1）求函数在区间上的值域

（2）设，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由两角差正弦公式逆用化简，根据正弦型函数的图象与性质求值域即可；

（2）化简可得的值，由同角三角函数的基本关系得，利用即可求解.

【详解】

，

（1）当时，

可得：，

所以，

所以，

即函数在区间上的值域为.

（2），

，

即，

，

，

.

【点睛】本题主要考查了两角和差正弦公式，正弦型函数的图象与性质，角的变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题.

20.设数列的前项和为，且，数列满足.

（1）求；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据与的关系可得，即可证明数列为等比数列，得到通项公式，代入即可求解；

（2）根据错位相减法即可求出数列的前项和为.

【详解】（1）当时，，解得，

由，

得，

作差，得，

即，

所以数列是首项，公比为3的等比数列，

所以，

.

（2），

，

，

作差，得：

，

所以.

【点睛】本题主要考查了与的关系，等比数列的定义，通项公式，求和公式，错位相减法，属于中档题.

21.已知分别为三个内角的对边，.

（1）求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）先利用正弦定理把都统一成角，然后消去角，再利用辅助角公式化为，从而可求出角的值；

（2）利用正弦定理把分别用表示出来，得，而，代入化简得，其中，再利用三角函数的有界性可求出其取值范围.

【详解】解：（1）因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

，

因为，所以，

所以，

因为，所以，得

（2）由正弦定理得，，

因为，，所以，

所以，

所以

，其中，

因为，所以，

所以，

所以，

所以的取值范围为

【点睛】此题考查了正、余弦定理，三角函数恒等变形公式，综合性较强，考查了运算能力，属于中档题.

22.设正项等差数列的前n项和为，已知且成等比数列

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列前n项和；

（3）设数列满足求证：

【答案】(1)    (2) 数列的前n项和为     (3)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)等差数列的首项为，公差为，由条件可得，，即，两式联立可得：，或，经检验满足条件.

(2)设,可得当时，，当时，，则当时，，当时，，分情况求和即可.
(3) 由（1）有，由有，则则或,若则不等式显然成立. 若,则，由裂项相消法求和可证明.

【详解】【详解】

(1)等差数列的首项为，公差为，

由有，即…… ①

由成等比数列，有，即……②

将①代入②得：

即解得：，或.

当时，与题目矛盾，舍去.

当时，，满足条件，此时

(2)设，

当时，，即

当时，，即

设数列的前n项和为

所以当时，

当时，

所以数列的前n项和为

(3)由（1）有

由有，所以

则或

若则不等式显然成立.

若，

则

即所以

则

综上所以成立.

【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，数列加绝对值的求和问题要分正负打开绝对值，考查分组求和和裂项相消法求和，属于中档题.