还剩19页未读，
继续阅读
2022-2023学年浙江省宁波市效实中学高二下学期期中数学试题含解析
展开
这是一份2022-2023学年浙江省宁波市效实中学高二下学期期中数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
宁波效实中学2022学年度第二学期高二期中考试
数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、单项选择题：共8题，每题3分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，命题“存在，使方程有实根”的否定是
A. 任意，使方程无实根
B. 任意，使方程有实根
C. 存在，使方程无实根
D. 存在，使方程有实根
3. 展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4. 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A. 288种 B. 336种 C. 384种 D. 672种
7. 一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为．设，设，记事件“”，“”，则（ ）
A B. C. D.
8. 已知 若在定义域上恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题：共4题，每题3分，共12分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 变量线性正相关
C. 相应于点的残差约为 D. 当时，的估计值为14.4
10. 若，则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 若实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A. 为奇函数 B.
C. ， D. 若的值域为，则
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
三、填空题：共4题，每题4分，共16分.
13. 若随机变量，且，则______.
14. 若，则的取值范围为______.
15. 已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球．现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球．记事件“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则______
16. 正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有___________种.(用数字作答)
四、解答题：共5题，17-18题每题9分，19-21题每题10分，共48分.解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤.
17. 已知.
（1）若，求的值；
（2）求的展开式中系数最大的项.
18. 设是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求解析式；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
19. 我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下:
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
5遥测雨量
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
556
4.27
4.15
6.04
4.49
0.05
0.08
02
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
并计算得
（1）求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(若，则认为两个变量有较强的线性相关性)
（2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为，求的概率分布与数学期望.
附：相关系数.
20. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21. 已知函数
（1）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围;
（2）若在区间内有两个零点，求实数的取值范围.
宁波效实中学2022学年度第二学期高二期中考试
数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、单项选择题：共8题，每题3分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用集合的交集运算求解.
【详解】∵集合，∴.
故选：B.
2. 设，命题“存在，使方程有实根”的否定是
A. 任意，使方程无实根
B. 任意，使方程有实根
C. 存在，使方程无实根
D. 存在，使方程有实根
【答案】A
【解析】
【分析】
只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.
【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是
“任意，使方程无实根”.
故选：A
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.
3. 展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式系数的增减性即可求解.
【详解】当时，是最大的二项式系数，符合要求，
当时，是最大的二项式系数，符合要求，
当时，是最大的二项式系数，符合要求，
当时，显然，不满足，
故选：A．
4. 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.
【详解】设“甲、乙在同一组”为事件，
教师随机分成三组，每组至少一人的分法为，
而甲、乙在同一组的分法有，故，
故选：A.
5. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
6. 某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A. 288种 B. 336种 C. 384种 D. 672种
【答案】D
【解析】
【分析】分两类情况，甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，与丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，计算可得.
【详解】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，
丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，
所以共有种方案.
故选：D
7. 一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为．设，设，记事件“”，“”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出，的概率，由条件概率代入即可得出答案.
【详解】将此骰子任意抛掷2次，则基本事件的方法总数为种，
显然是取大函数，所以“”，
则中有一个数字5，另一个数字小于等于5，有种；
显然是取小函数，所以“”，“”同时发生，则有和；
所以，，
所以.
故选：B．
8. 已知 若在定义域上恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式，可得出，求出函数值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】，先解不等式.
①当时，由，得，解得，此时；
②当时，由，得.
所以，不等式的解集为.
下面来求函数的值域.
当时，，则，此时；
当时，，此时.
综上所述，函数的值域为，
由于在定义域上恒成立，
则不等式在定义域上恒成立，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
二、多项选择题：共4题，每题3分，共12分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 变量线性正相关
C. 相应于点的残差约为 D. 当时，的估计值为14.4
【答案】AD
【解析】
【分析】对选项A由样本中心在回归方程上求参数；对选项B由相关系数的意义及回归方程的斜率符号判断；对选项C利用残差的定义求残差；对选项D将8代入回归方程求估计值.
【详解】由表格知：，
所以，可得，A正确；
由相关系数且回归方程斜率为负，
则变量线性负相关且相关性较强，B错误；
由，故残差为，C错误；
由，D正确；
故选：AD.
10. 若，则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式及期望与方差的性质求解.
【详解】，解得，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
11. 若实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据绝对值三角不等式判断ABC正确，利用特殊值判断D.
【详解】因为，故，故，故A正确；
，故，故B正确；
，故，故C正确；
令满足，但是，故D不满足.
故选：ABC.
12. 已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A. 为奇函数 B.
C. ， D. 若的值域为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.
详解】，，
，，
关于对称，，
，，，
，故C正确；
关于对称，，，为偶函数，
，，，，，为偶函数，故A错误；
，图象关于点中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，
，故D正确；
由得，又，所以，
由得，所以，故B正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
三、填空题：共4题，每题4分，共16分.
13. 若随机变量，且，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正态分布的性质可得，即可求解.
【详解】因为，且，
所以.
故答案为：.
14. 若，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】作出不等式组所表示的平面区域，设，结合斜率公式，即可求解.
【详解】作出不等式组所表示的平面区域，图中阴影部分，
设，即，表示可行域内点与原点连线的斜率，
当取点时，可得，即的最大值为；
当取点时，可得，即的最小值为，
即的取值范围是.
故答案为：.
15. 已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球．现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球．记事件“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则______
【答案】##0.58
【解析】
【分析】分类讨论甲盒中随机取出一个球的颜色，根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解．
【详解】若甲盒中取出一个球为白球的概率为，放入乙盒，
此时乙盒中有5个白球，3个红球，2个黑球，再取出一个非白球的概率为，
若甲盒中随机取出一个球为红球的概率为，放入乙盒，
此时乙盒中有4个白球，4个红球，2个黑球，再取出一个非红球的概率为，
若甲盒中随机取一个球为黑球的概率为，放入乙盒，
此时乙盒中有4个白球，3个红球，3个黑球，再取出一个非黑球的概率为，
．
故答案为：．
16. 正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有___________种.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】分类用3种颜色、用4种颜色和用5种颜色，分别求解涂色种数即可得出结果.
【详解】涂法可分三类，用3种颜色、用4种颜色和用5种颜色，
用3种颜色时，有种，
用4种颜色时，有种，
用5种颜色时，有种，
则不同的染色方案有种.
故答案：780.
【点睛】关键点睛：本题考查排列组合和计数原理，解题的关键是做到不重不漏.
四、解答题：共5题，17-18题每题9分，19-21题每题10分，共48分.解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤.
17. 已知.
（1）若，求的值；
（2）求的展开式中系数最大的项.
【答案】（1）
（2）240
【解析】
【分析】（1）利用二项展开式的通项及赋值法求解；
（2）利用二项展开式的通项及其单调性求解.
【小问1详解】
展开式的通项，
则展开式含的项为，故，
中，
令，则，
令，则，
则.
【小问2详解】
设，，，
由，得，
即，解得，
因为，则当时，有最大值240，
因此展开式中最大项为.
18. 设是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的偶函数性质求解解析式即可；
（2）根据偶函数性质和函数的单调性解不等式，然后结合充分条件列出关于的不等式求解即可.
【小问1详解】
是定义在上的偶函数，则，
当时，，则，
所以.
【小问2详解】
因为与在上单调递增，所以在上单调递增，
又因为为偶函数，所以在上单调递减.
不等式等价于，故或，
由题意或，所以.
19. 我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下:
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
5遥测雨量
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
并计算得
（1）求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(若，则认为两个变量有较强的线性相关性)
（2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为，求的概率分布与数学期望.
附：相关系数.
【答案】（1），认为具有很强的线性相关性
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；
（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.
【小问1详解】
因为，
代入已知数据，
得.
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
【小问2详解】
10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，
从“Ⅰ类误差”，“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为，
由题意，的所有可能取值为.则，
，，.
所以的概率分布为
0
1
2
3
P
所以X的数学期望.
20. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表见详解，能
（2）分布列见详解，
【解析】
【分析】（1）根据已知条件完普列联表，然后计算的值，进一步由独立性检验的方法即可求解；
（2）依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，根据独立事件的概率公式求得，，，，从而得到的分布列，进而得到的数学期望．
【小问1详解】
列联表如下：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关．
【小问2详解】
依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
0
1
2
3
所以的数学期望为．
21. 已知函数
（1）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围;
（2）若在区间内有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论集合A是否是空集，根据条件列出不等式，从而求解，
（2）首先讨论a是否为0，在时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数a所满足的条件，从而求其范围．
【小问1详解】
令，
若，此时，所以；
若，则，解得；
综上，实数的取值范围是：.
【小问2详解】
当时，，
此时在区间内只有一个零点，不符合题意；
当时，
若在上有一个零点，上有一个零点，
①，解得：或，
②，即，解得：或，
当时，上仅有一个零点，
当时，不符合题意，
所以.
若在上无零点，在上有两个零点，
则或或且满足，此时不存在.
综上，.
宁波效实中学2022学年度第二学期高二期中考试
数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、单项选择题：共8题，每题3分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，命题“存在，使方程有实根”的否定是
A. 任意，使方程无实根
B. 任意，使方程有实根
C. 存在，使方程无实根
D. 存在，使方程有实根
3. 展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4. 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A. 288种 B. 336种 C. 384种 D. 672种
7. 一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为．设，设，记事件“”，“”，则（ ）
A B. C. D.
8. 已知 若在定义域上恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题：共4题，每题3分，共12分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 变量线性正相关
C. 相应于点的残差约为 D. 当时，的估计值为14.4
10. 若，则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 若实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A. 为奇函数 B.
C. ， D. 若的值域为，则
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
三、填空题：共4题，每题4分，共16分.
13. 若随机变量，且，则______.
14. 若，则的取值范围为______.
15. 已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球．现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球．记事件“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则______
16. 正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有___________种.(用数字作答)
四、解答题：共5题，17-18题每题9分，19-21题每题10分，共48分.解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤.
17. 已知.
（1）若，求的值；
（2）求的展开式中系数最大的项.
18. 设是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求解析式；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
19. 我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下:
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
5遥测雨量
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
556
4.27
4.15
6.04
4.49
0.05
0.08
02
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
并计算得
（1）求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(若，则认为两个变量有较强的线性相关性)
（2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为，求的概率分布与数学期望.
附：相关系数.
20. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21. 已知函数
（1）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围;
（2）若在区间内有两个零点，求实数的取值范围.
宁波效实中学2022学年度第二学期高二期中考试
数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、单项选择题：共8题，每题3分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用集合的交集运算求解.
【详解】∵集合，∴.
故选：B.
2. 设，命题“存在，使方程有实根”的否定是
A. 任意，使方程无实根
B. 任意，使方程有实根
C. 存在，使方程无实根
D. 存在，使方程有实根
【答案】A
【解析】
【分析】
只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.
【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是
“任意，使方程无实根”.
故选：A
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.
3. 展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式系数的增减性即可求解.
【详解】当时，是最大的二项式系数，符合要求，
当时，是最大的二项式系数，符合要求，
当时，是最大的二项式系数，符合要求，
当时，显然，不满足，
故选：A．
4. 甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.
【详解】设“甲、乙在同一组”为事件，
教师随机分成三组，每组至少一人的分法为，
而甲、乙在同一组的分法有，故，
故选：A.
5. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
6. 某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A. 288种 B. 336种 C. 384种 D. 672种
【答案】D
【解析】
【分析】分两类情况，甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，与丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，计算可得.
【详解】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，
丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，
所以共有种方案.
故选：D
7. 一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为．设，设，记事件“”，“”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出，的概率，由条件概率代入即可得出答案.
【详解】将此骰子任意抛掷2次，则基本事件的方法总数为种，
显然是取大函数，所以“”，
则中有一个数字5，另一个数字小于等于5，有种；
显然是取小函数，所以“”，“”同时发生，则有和；
所以，，
所以.
故选：B．
8. 已知 若在定义域上恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式，可得出，求出函数值域，由题意可知，不等式在定义域上恒成立，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】，先解不等式.
①当时，由，得，解得，此时；
②当时，由，得.
所以，不等式的解集为.
下面来求函数的值域.
当时，，则，此时；
当时，，此时.
综上所述，函数的值域为，
由于在定义域上恒成立，
则不等式在定义域上恒成立，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
二、多项选择题：共4题，每题3分，共12分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 变量线性正相关
C. 相应于点的残差约为 D. 当时，的估计值为14.4
【答案】AD
【解析】
【分析】对选项A由样本中心在回归方程上求参数；对选项B由相关系数的意义及回归方程的斜率符号判断；对选项C利用残差的定义求残差；对选项D将8代入回归方程求估计值.
【详解】由表格知：，
所以，可得，A正确；
由相关系数且回归方程斜率为负，
则变量线性负相关且相关性较强，B错误；
由，故残差为，C错误；
由，D正确；
故选：AD.
10. 若，则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式及期望与方差的性质求解.
【详解】，解得，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
11. 若实数满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据绝对值三角不等式判断ABC正确，利用特殊值判断D.
【详解】因为，故，故，故A正确；
，故，故B正确；
，故，故C正确；
令满足，但是，故D不满足.
故选：ABC.
12. 已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A. 为奇函数 B.
C. ， D. 若的值域为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.
详解】，，
，，
关于对称，，
，，，
，故C正确；
关于对称，，，为偶函数，
，，，，，为偶函数，故A错误；
，图象关于点中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，
，故D正确；
由得，又，所以，
由得，所以，故B正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
三、填空题：共4题，每题4分，共16分.
13. 若随机变量，且，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正态分布的性质可得，即可求解.
【详解】因为，且，
所以.
故答案为：.
14. 若，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】作出不等式组所表示的平面区域，设，结合斜率公式，即可求解.
【详解】作出不等式组所表示的平面区域，图中阴影部分，
设，即，表示可行域内点与原点连线的斜率，
当取点时，可得，即的最大值为；
当取点时，可得，即的最小值为，
即的取值范围是.
故答案为：.
15. 已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球．现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球．记事件“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则______
【答案】##0.58
【解析】
【分析】分类讨论甲盒中随机取出一个球的颜色，根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解．
【详解】若甲盒中取出一个球为白球的概率为，放入乙盒，
此时乙盒中有5个白球，3个红球，2个黑球，再取出一个非白球的概率为，
若甲盒中随机取出一个球为红球的概率为，放入乙盒，
此时乙盒中有4个白球，4个红球，2个黑球，再取出一个非红球的概率为，
若甲盒中随机取一个球为黑球的概率为，放入乙盒，
此时乙盒中有4个白球，3个红球，3个黑球，再取出一个非黑球的概率为，
．
故答案为：．
16. 正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有___________种.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】分类用3种颜色、用4种颜色和用5种颜色，分别求解涂色种数即可得出结果.
【详解】涂法可分三类，用3种颜色、用4种颜色和用5种颜色，
用3种颜色时，有种，
用4种颜色时，有种，
用5种颜色时，有种，
则不同的染色方案有种.
故答案：780.
【点睛】关键点睛：本题考查排列组合和计数原理，解题的关键是做到不重不漏.
四、解答题：共5题，17-18题每题9分，19-21题每题10分，共48分.解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤.
17. 已知.
（1）若，求的值；
（2）求的展开式中系数最大的项.
【答案】（1）
（2）240
【解析】
【分析】（1）利用二项展开式的通项及赋值法求解；
（2）利用二项展开式的通项及其单调性求解.
【小问1详解】
展开式的通项，
则展开式含的项为，故，
中，
令，则，
令，则，
则.
【小问2详解】
设，，，
由，得，
即，解得，
因为，则当时，有最大值240，
因此展开式中最大项为.
18. 设是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的偶函数性质求解解析式即可；
（2）根据偶函数性质和函数的单调性解不等式，然后结合充分条件列出关于的不等式求解即可.
【小问1详解】
是定义在上的偶函数，则，
当时，，则，
所以.
【小问2详解】
因为与在上单调递增，所以在上单调递增，
又因为为偶函数，所以在上单调递减.
不等式等价于，故或，
由题意或，所以.
19. 我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下:
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
5遥测雨量
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
并计算得
（1）求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系(若，则认为两个变量有较强的线性相关性)
（2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”，满足为“Ⅱ类误差”，满足为“Ⅲ类误差”.为进一步研究该地区水文研究人员，从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为，求的概率分布与数学期望.
附：相关系数.
【答案】（1），认为具有很强的线性相关性
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；
（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.
【小问1详解】
因为，
代入已知数据，
得.
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
【小问2详解】
10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，
从“Ⅰ类误差”，“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为，
由题意，的所有可能取值为.则，
，，.
所以的概率分布为
0
1
2
3
P
所以X的数学期望.
20. 某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）列联表见详解，能
（2）分布列见详解，
【解析】
【分析】（1）根据已知条件完普列联表，然后计算的值，进一步由独立性检验的方法即可求解；
（2）依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，根据独立事件的概率公式求得，，，，从而得到的分布列，进而得到的数学期望．
【小问1详解】
列联表如下：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关．
【小问2详解】
依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
0
1
2
3
所以的数学期望为．
21. 已知函数
（1）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围;
（2）若在区间内有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论集合A是否是空集，根据条件列出不等式，从而求解，
（2）首先讨论a是否为0，在时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数a所满足的条件，从而求其范围．
【小问1详解】
令，
若，此时，所以；
若，则，解得；
综上，实数的取值范围是：.
【小问2详解】
当时，，
此时在区间内只有一个零点，不符合题意；
当时，
若在上有一个零点，上有一个零点，
①，解得：或，
②，即，解得：或，
当时，上仅有一个零点，
当时，不符合题意，
所以.
若在上无零点，在上有两个零点，
则或或且满足，此时不存在.
综上，.
相关试卷
浙江省宁波市效实中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附答案）： 这是一份浙江省宁波市效实中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波市效实中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题： 这是一份浙江省宁波市效实中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，单选题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市效实中学高一上学期期中数学试题（解析版）： 这是一份2022-2023学年浙江省宁波市效实中学高一上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷， 设集合，，则， 对于函数，下列表述中错误的是， 已知函数是定义在上的奇函数等内容，欢迎下载使用。
