浙江省宁波市奉化高中、慈溪市三山高中等六校2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019学年第二学期期中六校联考

高一数学学科试卷

第Ⅰ卷（选择题   共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设，且，则下列不等式成立的是    （      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用不等式的性质可得正确，通过取特殊值即可得错误.

【详解】，但是不成立，故不正确；

，但是不成立,故不正确；

，正确；

时，，不成立，故选.

【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性

2.（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由两角差的余弦公式逆向化简即可.

【详解】由题可知，.

故选：D

【点睛】本题考查两角差的余弦公式逆用化简，属于基础题.

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（    ）

A. 36 B. 72 C. 91 D. 182

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质求出,根据等差数列的前项和公式可得.

【详解】因为{an}为等差数列,所以,

所以,

所以.

故选C.

【点睛】本题考查了等差数列性质、等差数列的前项和.属于基础题.

4.（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题得，再利用裂项相消求和法对数列求和得解.

【详解】由题得

所以

.

故选：A.

【点睛】本题主要考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5.已知函数，当时，取得最小值，则等于（）

A. -3 B. 2 C. 3 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】

配凑成可用基本不等式的形式．计算出最值与取最值时的x值．

【详解】

当且仅当即时取等号，

即

【点睛】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可．

6.在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为（    ）

A. 等边三角形 B. 直角三角形

C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．

【详解】∵，∴，，，整理得，∴三角形为直角三角形．

故选：B．

【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．

7.中，内角对应的边分别为，，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由正弦定理化简已知可得：，又，可解得，利用余弦定理可得，结合范围，即可解得．

【详解】，

由正弦定理可得：，

又，

，

利用余弦定理可得：，

由于，解得：．

故选：D．

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．

8.若正数满足，则的最大值是（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由配方可得，再利用基本不等式即可求解.

【详解】由可化为，因为均为正数，

所以由基本不等式可得，整理可得，

即，当且仅当，即时取等号.

故选：C

【点睛】本题主要考查基本不等式，属于中档题.

9.下列四个等式：

①；      ②；

③；            ④．

其中正确的等式个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

①利用两角和的正切公式判断.②利用二倍角的正切公式判断.③利用二倍角余弦公式判断.④先通分，得到，再分子用两角差的正弦公式化简，分母用二倍角正弦公式化简即可.

【详解】①因为，

所以，

所以；故正确；

②，故错误；

③，故错误；

④，

，故正确.

故选：B

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10.已知数列满足，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知两个不等式，利用“两边夹”思想求得，然后利用累加法可求得．

【详解】∵，∴，∴，又，∴，即，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查数列的递推式，由递推式的特征，采用累加法求得数列的项．解题关键是利用“两边夹”思想求解．

第Ⅱ卷（非选择题  共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．

11.已知等比数列中，，则公比______；______．

【答案】    (1). 2    (2). 4

【解析】

【分析】

根据等比数列通项公式构造方程求解即可.

【详解】   

本题正确结果：；

【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于基础题.

12.若，，则 __________，__________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

首先判断所在象限，根据同角三角函数的基本关系求出、，最后根据二倍角公式计算可得；

【详解】解：因为，

所以属于第三象限角，又，

所以或（舍去），

所以

所以

故答案为：；

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角正切公式，属于基础题.

13.已知是公差不为零的等差数列，，且是和的等比中项，则____，数列的前项和的最大值为________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

设等差数列的公差为，根据题中条件列出有关、的方程组，可求出、的值，可得出的值，计算出的表达式，再利用二次函数的性质求出的最大值.

【详解】在等差数列中，由，是和的等比中项，

得，解得，.

，

因此，当或时，取得最大值.

故答案为；.

【点睛】本题考查等差数列公差的计算以及前项和的最值，一般利用、方程组求解，而的最值，可转化为关于的二次函数求解，考查计算能力，属于中等题.

14.已知函数，则：

（1）不等式的解集为________；

（2）若不等式解集为，则的取值范围为________

【答案】    (1). 或    (2).

【解析】

【分析】

（1）分类求解绝对值不等式，得解集为或；

（2）由绝对值三角不等式可得.

【详解】（1）

时，，得；

时，，得

时，，得，

所以不等式的解集为或；

（2）的解集为,即求

，当且仅当时，等号成立

得的最小值为，所以.

故答案为：或；

【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值．绝对值不等式去绝对值的常用技巧就是分类，函数问题中可以通过分类转化为分段函数，然后分段解不等式

15.若，则的值为________．

【答案】6

【解析】

【分析】

首先根据两角差的正切公式求出，再根据二倍角公式将式子化成齐次式，最后根据同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】解：因为

所以，所以，

所以

故答案为：6

【点睛】本题考查两角差的正切公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题.

16.数列中，当n为奇数时，，当n为偶数时，， 则这个数列的前项的和=________

【答案】

【解析】

【分析】

当n为奇数时，，奇数项为等差数列，当n为偶数时，，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前项的和.

【详解】

所以数列的奇数项是首项为公差为的等差数列，数列的偶数项首项为公比为的等比数列，

∴.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.

17.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是      .

【答案】8.

【解析】

，又，因此

即最小值为8.

【考点】三角恒等变换，切的性质应用

【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．

三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.已知.

(1)解关于的不等式；

(2)若不等式的解集为，求实数的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)由f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，得a2－6a－3<0，求解即可；

（2）f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，由根与系数的关系求解即可.

【详解】(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，

∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，

∴原不等式可化为a2－6a－3<0，解得3－2<a<3＋2.

∴原不等式解集为{a|3－2<a<3＋2}

(2)f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，

等价于解得.

19.在中，内角所对的边分别为.已知，，.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，

进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

试题解析：（Ⅰ） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.

由正弦定理,得.

所以，的值为，的值为.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，

.故.

考点：正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

20.已知递增等比数列，，，另一数列其前项和.

（1）求、通项公式；

（2）设其前项和为，求.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由等比数列的性质得出，可求出和的值，求出等差数列的首项和公式，可得出数列的通项公式，然后利用求出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.

【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可知，

由等比数列的性质可得，所以，解得，

，得，.

当时，；

当且时，.

也适合上式，所以，；

（2），

，

则，

上式下式，得

                   ，

因此，.

【点睛】本题考查等比数列通项的求解，考查利用前项和求通项以及错位相减法求和，解题时要注意错位相加法所适用的数列通项的结构类型，熟悉错位相减法求和的基本步骤，难点就是计算量大，属于常考题型．

21.在中，、、分别是内角、、的对边，且

（1）求角的大小；

（2）若面积为，求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）由题可得，化简得，然后得到即可出求角的大小；

（2）由的面积为，可得，利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为，

由正弦定理可得：

所以，因为，                     

所以，             

因为，所以．

（2）因为，的面积为，由，所以，∴，当且仅当，即时取到等号，故的最小值为．

【点睛】本题考查的是利用正余弦定理解三角形和利用基本不等式求最值，考查了学生的转化能力和计算能力，属于典型题.

22.已知数列的前项和为，已知，，.

（1）设，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；

（2）若对任意都成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由可得，则，所以，即，即可证明数列是等比数列，并求出通项公式；（2）由（1）可求出及的表达式，结合对任意都成立，可得到不等式恒成立，即可求出的范围.

【详解】解：（1）由得，

即，所以，即.

则是首项为，公比为2的等比数列，

.

（2）解：由(1)知

则

由，得，

代入后解得恒成立．

因为函数在上单调递增，

所以，解得，

而当时，，成立，

由，故.

【点睛】与关系问题求解思路：

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

(1)利用转化为只含的关系式，再求解；

(2)利用转化为只含的关系式，再求解.