浙江省宁波市效实中学2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附答案）

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则的值为 (    )

A．       B．       C．              D．

2．已知复数（），则复平面内对应的点位于(    )

A．虚轴上   B．实轴上   C．第一、二象限  D．第三、四象限

3．直线不平行于平面，且，则下列命题正确的是 (    ) 

A.内的所有直线与异面            B. 内的直线与都相交

C.内存在唯一的直线与平行        D. 内不存在与平行的直线

4．在中,角所对的边分别为，，，，若恰有两个解，则 (    )

A．    B．      C．     D．

5．已知，，则 (    )

A．         B．         C.                 D．

6．已知，则“”是“为某斜三角形的三个内角”的 (    )

A．充要条件    B．充分不必要条件   C. 必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

7．已知向量满足，且对任意实数，的最小值为，的最小值为，则＝ (    )

A．      B．         C．或         D．或

8. 在正方体中，为棱的中点，为直线上的异于点的动点，则异面直线与所成的角的最小值为，则 (    )

A.               B.            C.              D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列选项中正确的是 (    )

A．已知，则与垂直的单位向量的坐标或.

B．设向量，，若夹角为锐角，则.

C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为.

D．若平面向量满足，则的最大值是.

10．下列说法中正确的是 (    )

A．若，，则 .

B． 若，则. 

C．设复数满足，且，则.

D．若复数满足，则的最小值为.

11．若是所在的平面内一点，，则下列说法错误的是 (    )

A．若，则点的轨迹不可能经过的外心.

B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心.

C．若，则点的轨迹不可能经过的重心.

D．若，，则点的轨迹一定过的外心.

12．在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是 (    )

A．若，，，则有两解.

B．若，则为锐角三角形.

C．在中，若，则为等腰三角形.

D．若，则.

第Ⅱ 卷（非选择题　共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设向量与的夹角为，，则的值为   ▲   .

14. 若面积为，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为   ▲   .                

15. 点是矩形所在平面内一点，，则  ▲  .

16． 在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为   ▲   .

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．中角所对的边分别为，若，.

（1）求角的大小；      （2）求的最大值.

18．已知复数，（为虚数单位，），且为纯虚数．

（1）求；

（2）设复数对应的点分别为，若四边形为平行四边形（为复平面的原点），求点对应的复数．

19. 如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）设直线与底面所成角的正切值为，,，求直线与平面所成角的正弦值.

20. 如图，在正三棱台中，底面是边长为的正三角形，且.

（1）证明：；

（2）求异面直线所成角的余弦值.

21. 中，角所对的边分别为，，且.

（1）求与；

（2）若，过点作边的垂线，并延长至点，若四点共圆，求的长．

22. 在锐角中，角所对的边分别为，，点为外心.

（1）若，，求的最大值；

（2）若，求的取值范围.

高一2022学年第二学期数学期中考试答案

一、选择题

1-8.DADCB  CCB

二、多选题

9.ACD 10.CD 11.ABD 12.AC

三、填空题

13. 14. 15. 16.

四、解答题

17. （1）    …………………………………………………3 分

（2）.          ……………………………7分

18. (1)由为纯虚数，可得，所以，  

所以．       ………………………………4分

(2)由题意得，所以．    ………………………………7分

19.(1)连接,记,为中点, 为中点, .

       ……………………………………3分

(2)因为平面, 所以即为直线与平面所成线面角，则. 

因为矩形，所以. 

因为平面，所以,得.

又，,所以,所以即为直线与平面所成线面角,           ………………………………8分

20. (I)补成正三棱锥，只要证：

取中点，证明： 即可      ………………………………3分(II)取中点，异面直线所成角即为或其补角

由余弦定理可得   ………………………………8分

21.（1），        …………………………………4分

（2）                  …………………………………9分

22. 由得，两边平方有：            

因为 ，得

所以，解得或 

因为锐角，所以，得，当且仅当时

       ……………………………………4分

（2），所以外接圆半径.

锐角，，

，

  ………………………………9分