浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2019-2020学年高二（实验班）下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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2019-2020学年度第二学期期中实验班考试

高二年级数学试题卷

答卷时间：[120分钟]   满分：[150分]

一、单选题（共10个小题，每小题4分，共40分）

1. 复数在复平面内的对应点位于（   ）

A. 第一象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.

【详解】，对应点为 ，在第三象限.

故答案选B

【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.

2. 下列求导运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

按照运算法则逐一求导即可.

【详解】解：A：常数项导数为0，所以，所以A不正确；

B：为常数，导数为0，所以B不正确；

C：函数为两个函数相乘，导数逐一求导再相加，导数为，所以C不正确；

D：，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查函数求导，考查导数运算法则，属于基础题.

3. 我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法（    ）

A. 10种 B. 16种 C. 25种 D. 32种

【答案】B

【解析】

走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共种.故本题正确答案为B.

4. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

由题设可知函数在点的切线的斜率是，又直线经过点，所以，所以，应选答案C．

5. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ）

A. 增加了一项

B. 增加了两项，

C. 增加了A中的一项，但又减少了另一项

D. 增加了B中的两项，但又减少了另一项

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，分别写出和时，左边对应的式子，进而可得出结果.

【详解】当时，左边，

当时，左边

，

所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；

故选D

【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型.

6. 某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这种产品的加工排列顺序的方法数为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先放置有条件的2道工序，有种，再将剩余的3道工序，有种最后由分步计数原理，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，其中这2道工序，共有种不同的方法，

剩余的3道工序，共有种不同的方法，

由分步计数原理，可得这种产品的加工排列顺序的方法数为种，故选B.

【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解中认真审题，合理利用排列组合和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7. 已知函数，若函数的图象如图所示，则一定有（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

,  因为函数 从左到右先增后减后增，所以二次函数 的图象开口向上， ，因为函数的极值点都为正，所以 有两个不同的正根，所以 ， ，故选B.

8. 某学习小组、男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为（          ）

A. 男2人，女6人 B. 男3人，女5人 C. 男5人，女3人 D. 男6人，女2人

【答案】B

【解析】

试题分析：设男生人数为，则女生人数为，由题意可知即，解得，所以男、女生人数为，故选B.

考点：排列与组合.

9. 已知直线分别与函数，的图象交于两点，则当长度达到最小时，的值为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求出直线与函数，交点，则为纵坐标之差的绝对值，计算，求导即可求出最小值.

【详解】解：直线与函数，的交点为：，，所以，，令，则，

当时，；当时，，所以时，有最小值，.

故选：C.

【点睛】本题考查函数与方程之间的关系，考查利用导数求最值，属于中档题.

10. 已知可导函数满足，则当时，和的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件构造函数，求导可知单调递增，比较的大小，可得和的大小关系.

【详解】解：令，则，因为，所以，所以在上单调递增；因为，所以，即，即.

故选：A.

【点睛】本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.

二、填空题（共7个小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）

11. 复数的虚部为______，的共轭复数______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

试题分析：∵，∴虚部为，共轭复数．

12. 函数的增区间是____________, 曲线在点处的切线方程是__________.

【答案】    (1). （开区间也对）    (2).

【解析】

【分析】

第一个空：先求函数的定义域，然后求导，求出当导函数不小于零时，的取值范围；

第二个空：把代入导函数中，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．

【详解】第一个空：函数,，，显然当时，有，所以函数的增区间是（开区间也对）；

第二个空：，所以曲线在点处的切线方程是．

【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程以及单调区间的问题．

13. 用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字, 可以组成______个无重复数字的三位数, 也可以组成______个能被5整除且无重复数字的五位数.

【答案】    (1). 100    (2). 216

【解析】

【分析】

第一个空：先确定三位数的最高数位上的数，再确定另外两个数位上的数；

第二个空：先确定五位数个位上的数字，然后分类讨论，其他数位上的数．

【详解】第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有种方法；

第二步，确定另外二个数位上的数，有种方法，

所以可以组成个无重复数字的三位数；

第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个数上的数有2种情况：

当个数上的数字是0时，其他数位上的数有个；

当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有种方法，而后确定其他三个数位上的数有种方法，所以共有个数，

根据分类计算原理共有个数．

【点睛】本题考查了分类计数原理、分步计数原理．

14. 已知函数则的最小值为________，最大值为_______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

对求导判断的单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，从而求出的最小值，代入端点值比较大小，也可求出的最大值.

【详解】解：

则当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，则当时，；

又，所以.

故答案为：   ；.

【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查余弦函数的值域和单调性，属于基础题.

15. 已知函数在处极值为，则______

【答案】；

【解析】

【分析】

因为在处极值为，所以，求解可知取值，检验可得结果.

【详解】解：，，由题意可知：，解得：，或；

检验：当时，，则，不是的极值点，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查已知函数极值点求参数，考查极值点的定义，属于中档题.

16. 市内某公共汽车站有5个候车位（成一排），现有甲，乙，丙 3名同学随机坐在某个座位上候车，则2位同学相邻，但3位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为________.(用数字作答)

【答案】

【解析】

【分析】

先选出相邻的两名同学的排列方法用捆绑法，再用插空法安排这些同学，分别求解即可.

【详解】解：相邻两名同学的排法用捆绑法，先选出两名同学，再捆绑，有种；

把这两名相邻的同学和剩下一名同学不相邻的安排在座位上，有6种方法，

所以一共有36种坐法.

故答案为：.

【点睛】本题考查捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，是排列组合的应用问题，属于基础题.

17. 已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为____________.

【答案】.

【解析】

【分析】

令f（x）＝x﹣3lnx+1﹣mlnx﹣n，利用导数可得当x＝m+3（m+3＞0）时，f（x）有最小值，则f（m+3）＝m+3﹣3 ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，即n﹣3≤m+1﹣（m+3）ln（m+3），≤，令g（x）＝，利用导数求其最大值得答案．

详解】解：令f（x）＝x﹣3lnx+1﹣mlnx﹣n，

则f′（x）＝1﹣（x＞0），

若m+3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0时，f（x）→﹣∞，不合题意；

∴m+3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m+3，

当x∈（0，m+3）时，f′（x）＜0，当x∈（m+3，+∞）时，f′（x）＞0，

∴当x＝m+3时，f（x）有最小值，则f（m+3）＝m+3﹣3ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0，

即n﹣3≤m+1﹣（m+3）ln（m+3），

≤，

令g（x）＝，

则g′（x）＝．

当x∈（﹣3，﹣1）时，g′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0，

∴当x＝﹣1时，g（x）有最大值为﹣ln2．

即的最大值为﹣ln2 ．

故答案为：.

【点睛】本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．

三、解答题（共5个小题，共74分）

18. 已知复数.

（1）求；

（2）若，求实数，的值.

【答案】（1）；（2），．

【解析】

试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．

试题解析：（1）∵，∴；

（2）∵，∴．

考点：复数的计算．

19. 已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．

（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？

（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？

【答案】（1）720种（2）936种

【解析】

【分析】

（1）由题意可知前四次中有两件次品两件正品，第五次为次品，所以选出排列即可. （2）至多五次能找到，包括检测3次都是次品，检测四次测出3件次品，检测五次测出3件次品或着检测五次全是正品，剩下的为次品，以此求出每种情况求和可得结果.

【详解】解：（1）若在第五次检测出最后一件次品，则前四次中有两件次品两件正品，第五次为次品.

则不同的检测方法共有种.

（2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有种

检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有种；

检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测试方法共有种．所以共有936种测试方法

【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数的原理以及学生处理实际问题的能力，最后一次的问题一定要注意最后一次是确定的事件，本题属于中档题.

20. 已知数列满足

（1）计算的值；

（2）根据以上计算结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

【答案】（1），，，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由和，代入计算，可求，，，的值；

（2）猜想{}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．

试题解析：（1）由和，得，，，．

（2）由以上结果猜测：

用数学归纳法证明如下：

（Ⅰ）当n=1时，左边=a1=0，右边=，等式成立．

（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即成立．

那么，当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时等式成立．

由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测对于任意正整数n都成立．

考点：数学归纳法的运用.

21. 定义在上的函数.

（1）若在处的切线与直线垂直，求函数的解析式；

（2）设，讨论的单调性.

【答案】（1）（2）分类讨论，见解析

【解析】

【分析】

（1）由切线与直线垂直可知，，从而求出的值，进而求出的解析式；（2），求导利用分类讨论的方法讨论在各个范围内取值时的正负，从而讨论的单调性.

【详解】解：（1）

由题意得，解得，.

（2）， 

①若，恒成立，在上单调递减.

② 若，即由解得

在上单调递增；在上单调递减；

时，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.

【点睛】本题考查根据切线的斜率求参，考查利用导数求函数的单调性，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.

22. 已知函数在处的切线的斜率为1．

（1）求的最大值；

（2）证明：；

（3）设，若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）0（2）见解析（3）[0，+∞）

【解析】

【分析】

（1）求在处的切线斜率，从而求出的值，可知，讨论的单调性和极值，可求出的最大值；（2）由（1）可知，令，则，两边累加则可证明；（3）先根据特值确定，又由（1）知的最大值为，再在的基础上求的最小值，则可求出的取值范围．

【详解】解：（1）函数的定义域为．求导数，得．

∵函数在 处的切线的斜率为1

∴，∴．

此时，

当时，；当时，．

∴当时，取得极大值，该极大值即为最大值，

∴．

（2）证明：由（1），得，当且仅当时，等号成立．

令，则

．

（3）解：，若恒成立，则．

由（1），知．

①当时，，此时恒成立；

②当时，，

当时，单调递减；

当时，单调递增．

∴在处取得极小值，即为最小值，

∴，即恒成立．

综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．

【点睛】本题考查已知切线斜率求参，不等式的证明及恒成立问题，解题的关键是理解导数的几何意义，用导数研究单调性及最值问题，属于中档题.