浙江省浙北G2（湖州中学、嘉兴一中）2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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2019学年第二学期高一数学试题

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用绝对值的几何意义即可求解.

【详解】，解得，

所以不等式的解集为.

故选：C

【点睛】本题考查了绝对值的几何意义解不等式，属于基础题.

2.已知等差数列中，，，则公差（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式即可求解.

【详解】由，，

则，

解得.

故选：D

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了基本量的运算，属于基础题.

3.设、、，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用不等式的性质以及作差法比较大小逐一判断即可.

【详解】对于A，由，则，故A错误；

对于B，若，则，故B错误；

对于C，，

因为，，所以，即，故C正确；

对于D，，因为，，

所以，所以，即，故D错误；

故选：C

【点睛】本题主要不等式的性质以及作差法比较大小，属于基础题.

4.在中，若，则角的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理的边角互化即可求解.

【详解】，

，，

，

，且，

，

故选：B

【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、特殊角的三角函数值，属于基础题.

5.设公比为的等比数列的前项和为．若，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

经观察，，从而得出，而，解方程即可求出答案.

【详解】在等比数列中，

，，

，

，又，

，即，

 又，.

故选：A

【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的通项公式，属于基础题.

6.中，，的对应边分别为，，，满足，则角的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

化简已知不等式可得，利用余弦定理得，利用余弦函数的图像和性质可求的范围.

【详解】由，得：

，

化简得：，

同除以，利用余弦定理得，

所以.

故选：A

【点睛】本题考查了余弦定理、余弦函数的图像与性质，属于基础题.

7.已知各项均不为0的等差数列满足，数列为等比数列，且，则等于（    ）

A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差中项性质结合已知求出，再由等比数列的中项性质，可得所求值.

【详解】，

数列为等比数列，且，

则.

故选：C

【点睛】本题考查了等差中项、等比中项性质，需熟记公式，属于基础题.

8.在的条件下，目标函数的最大值为，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得取得最大值时的最优解，代入目标函数可得，然后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，可得点，

平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，

此时，取最大值，即，可得，

，

，当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值为.

故选：D.

【点睛】本题考查利用线性规划求参数，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查数形结合思想的应用以及计算能力，属于中等题.

9.在锐角中，，的对边长分别是，，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

确定B的范围,利用正弦定理化简表达式,求出范围即可.

【详解】在锐角中,，,

而，，所以，
所以由正弦定理可知:,
故选：B.

【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用,注意锐角三角形中角的范围的确定,是本题解答的关键,考查计算能力,逻辑推理能力,属于中档题.

10.的值最接近（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据立方和、立方差公式得到，再将分式化简即可得到答案.

【详解】由立方和、立方差公式得：

，

.

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查立方和、立方差公式，熟记公式为解题的关键，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共7小题．

11.中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则______，的面积______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

由正弦定理得出，再由三角形内角和定理以及三角形面积公式得出的面积.

【详解】由正弦定理得

，

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题.

12.已知数列的前项和，则首项______，通项式______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

由，结合得出，再由与的关系，从而得出数列的通项公式.

【详解】当时，，即

当时，

此时

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了由求，关键是的应用，属于中档题.

13.若实数，满足，，则的最大值为______，该不等式组表示的平面区域的面积是______．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

画出不等式组对应的平面区域，根据的几何意义，得出的最大值，再结合三角形面积公式即可得出答案.

【详解】该不等式组对应的平面区域，如下图所示

其中

将变形为

平移直线，当直线过点时，取最大值

，

故答案为：；

【点睛】

本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.

14.在中，若，，，，则______，______．

【答案】    (1). 3    (2).

【解析】

【分析】

由余弦定理得出，，再由得出，最后由余弦定理得出.

【详解】由余弦定理可得

，解得或（舍）

，为线段上靠近的三等分点，即

即

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形的应用，属于中档题.

15.已知，，，则最小值为______．

【答案】12

【解析】

【分析】

利用换元法，令，得出，结合基本不等式，即可得出最小值.

【详解】由得出

令，，则

当且仅当，即时取等号

的最小值为

故答案为：

【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值的应用，属于中档题.

16.在数学课上，老师定义了一种运算“”：对于，满足以下运算性质：

①；②，则的数值为______．

【答案】3366

【解析】

【分析】

由，取为进行迭代，利用累加法，得出，再由，即可得出答案.

【详解】

取为得：

取为得：

取为得：

取为得：

累加得

故答案为：

【点睛】本题主要考查了解题方法的类比，将问题转化为累加法求数列的通项公式以及求数列的项，属于中档题.

17.已知，，设函数最大值为，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

令，，则，，当时，利用二次函数的性质及绝对值不等式的性质可得，当，同理可得，由此得解．

【详解】令，，

当时，

记，，结合二次函数的图象和性质有：

．

当，函数的对称轴为，

，

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数的最值，考查逻辑思维能力和分析计算能力，属于常考题.

三、解答题：本大题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.已知的内角，，的对边分别是，，，且．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据，由二倍角正弦公式得到，然后由正弦定理求解；

（2）根据，利用余弦定理，得到，再根据的面积为，得到，两式联立求解.

【详解】（1），

，

由正弦定理：

得，

由于，

．

，

．

（2）由余弦定理，得，

又，

①

又的面积为，

，即②

由①②得，

则，

得．

的周长为．

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19.已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式有且仅有2个整数解，求正实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

【分析】

（1）因为，当时，，由，可得不等式，即可求得答案；

（2）对分类讨论解不等式分析找到满足的不等式，解不等式即得解.

【详解】（1）

当时，

由，可得不等式

即：

即：

可得：

当时，不等式的解集为，

故：不等式的解集为：；

（2）

又

可得

等式可化为，

①，即时，原不等式的解集为，不满足题意；

②当，即时，，

此时，

要保证关于的不等式有且仅有2个整数解

；

③当，即时，，

要保证关于的不等式有且仅有2个整数解

只需，解得；

综上所述，或．

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.

20.已知数列满足：．

（Ⅰ）求数列通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，，求数列的通项公式．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）令条件当中的可得，然后当时，，两式作差可得当时，，然后可得出答案

（Ⅱ）由可得当时，，然后用累加法求出.

【详解】（Ⅰ）因为①，

所以当时可得，即

当时，②

由①②得：当时，

所以当时，

因为满足上式

所以．

（Ⅱ）因为

所以当时，

所以

令

所以

所以

所以

所以

因为满足上式

所以．

【点睛】1.在解答数列有关的问题时，一定要多注意的范围

2. 常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法

21.的内角，，的对边分别为，，，已知，为的角平分线．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求长．

【答案】（1）3；（2）．

【解析】

【分析】

（1）先对用倍角公式化简，角化边，再用三角形面积公式可求得

的值.

（2）分析边角关系，运用余弦定理求出.

【详解】解：（1）因为，所以，

因为，所以，得，由正弦定理得．

因为为的角平分线，所以．

所以．

（2）设的边上的高为，由（1）知，，

所以，

在中，由余弦定理，得，

在中，由余弦定理，得，

所以，

即，

解得．

【点睛】本题考查了三角形的面积公式，正余弦定理的综合应用.

22.设为数列的前项和，已知，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证：．

【答案】（1），；（2）详见解析．

【解析】

【分析】

（1）利用与的关系，得递推关系，求得通项公式

（2）分析通项公式，裂项相消法求和并证得不等式.

【详解】解：（1）∵，∴当时，，．

当时，

是首项为，公比为的等边数列，，．

（2）

而

所以

∵，∴．

综上，原不等式成立.

【点睛】本题考查了与的关系，根据通项公式的特点，构造裂项相消法求和.