浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2019-2020学年高一（实验班）下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com宁波诺丁汉大学附属中学2019-2020学年度第二学期期中实验班考试

一、选择题：

1.已知数列的通项公式是，则等于（ ）

A. 70 B. 28 C. 20 D. 8

【答案】C

【解析】

【详解】因为，

所以，

所以=20.

故选C.

2.设，，则A,B 的大小关系是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：因,故,所以应选B.

考点：不等式的性质.

3.若sin ,则cos α=(　　)

A. - B. - C.  D.

【答案】C

【解析】

cos α=1-2sin2=1-2×.故选C.

4.在各项均为正数的等比数列中，若,则的值为（    ）

A. 12 B. 10 C. 8 D.

【答案】B

【解析】

因为

所以，

故选B

点睛：本题重点考查了等比数列的重要性质，当时，,注意等式两边的项数，都是两项.

5.设数列，前项和为10，则等于(    )

A. 11 B. 99 C. 120 D. 121

【答案】C

【解析】

【分析】

对通项进行裂项可得.

【详解】

故选：C

【点睛】用裂项法求和的裂项原则及规律:

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

6.设，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

要求，可将其平方，利用同角三角函数平方和等于１,和二倍角的正弦公式得到,最后考虑角度所在的象限,得出结果．

详解】解：,先将平方得：

.

又,在第三象限,

则,

.

故选:A

【点睛】本题考查二倍角的正弦函数,同角三角函数间的关系,需要注意角度所在的象限,属于中档题．

7.在三角形中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是(    )

A. ,, B. ,,

C. ,, D. ,,

【答案】D

【解析】

【分析】

在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解．根据正弦定理判断．

【详解】A已知两角一边，三角形确定的，只有一解，B已知两边及夹角用余弦定理，只有一解，C中已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解，D中，，有两解．

故选：D.

【点睛】本题考查三角形解的个数问题，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键．三角形解的个数中只有在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解，注意判断方法．

8.在中，，，，则外接圆的直径为(    )

A.  B. 6 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用面积公式求出，再用余弦定理 求出可得

【详解】,,得

，，

故选：C

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及面积公式. 熟练运用正弦定理、余弦定理是解题关键.

三角形面积公式

正弦定理

9.如果一个等差数列的，，则等于(    )

A. 90 B.  C. 110 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差数列基本量运算求出前 项和公式可得解

【详解】解得

故选：D

【点睛】等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式和前项和公式，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．

10.设，，且不等式恒成立，则实数的最小值等于(    )

A. 0 B. 4 C.  D.

【答案】C

【解析】

，而时取等号），，要使恒成立，应有，实数的最小值等于，故选C.

二、填空题：

11.已知数列首项为，且，则为________.

【答案】31

【解析】

【分析】

构造可得，从而可得数列是以2为首项，以2为等比数列，可先求，进而可求，把代入可求

【详解】

是以2为首项，以2为等比数列

故答案为．

【点睛】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，待定系数法    迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，

12.在数列中，，，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，从而可得.

【详解】令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

令，则

数列为周期为的周期数列   

本题正确结果：

【点睛】本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列为周期数列，从而利用周期将所求值进行化简.

13.在等比数列中，，，则______.

【答案】16

【解析】

【分析】

利用等比数列中性质成等比数列得解

【详解】，

成等比数列

故答案为：16

【点睛】本题考查等比数列和的性质．

当或且为奇数时是等比数列，其公比为

14.用一根长为的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________；高为________.

【答案】    (1).     (2). 3

【解析】

分析】

先表示出框架的面积函数关系式，再利用基本不等式求最值可得

【详解】设窗户的宽为，则其高为，要使阳光充足，只要面积最大，，当且仅当时等号成立，这时高为.

故答案为：(1).     (2). 3

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值成立条件.

用基本不等式求最值问题:已知，则：

(1)如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是 .(简记：积定和最小)

(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大)

15.在中，若，，，则______；______.

【答案】    (1). 3    (2).

【解析】

【分析】

余弦定理得求出，再求出利用同角三角函数平方关系求得

【详解】由余弦定理得，即，，得，，.

故答案为：  (1). 3    (2).

【点睛】本题考查余弦定理. 利用余弦定理可以解决的两类问题：

(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角．

(2)已知三边，求三个内角．

16.在等差数列中，，.则______；此数列前30项的绝对值之和为______.

【答案】    (1).     (2). 765

【解析】

【分析】

利用等差数列基本量运算可得解，由通项计算得得前20项为负数，分段计算可解.

【详解】（1）    由，，得，

∴.∴.

（２由，则

.

故答案为：  (1)     (2). 765

【点睛】等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式和前项和公式，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．

17.已知的三边，，和面积满足，且.则______；的最大值为______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

利用面积公式和余弦定理联解化简可得，两边平方可求的；求出，利用面积公式转化为关于的二次函数求出面积最大值.

【详解】∵，且，

∴

∴，，

∴.∵，

∴.得.

∵，

∴（当时取最大值），

∴的最大值是.

故答案为：(1).     (2).

【点睛】本题考查余弦定理的应用.

三角形中最值范围问题的解题思路:要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．

三、解答题：

18.已知关于的一元二次不等式.

（1）若不等式的解集是或，求的值；

（2）若不等式的解集是，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由不等式的解集为知,且，是方程的两根，代入可解.

（2）不等式的解集为，知二次函数图像恒在 轴下方，则利用且可解

【详解】（1）∵不等式的解集为

∴，是方程的两根，且

∴

（2）∵不等式的解集为

∴且

∴

∴的取值范围是

【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据

(1)二次项中若含有参数应讨论是等于，小于，还是大于，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．

(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与的关系．

(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．

19.已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由已知可求出，再利用二倍角的正切公式即可求解.

（2）利用诱导公式以及二倍角的余弦公式将式子化为，再利用同角三角函数的基本关系化为，由（1）即可求解.

【详解】（1）由，知，∴，

∴.

（2）由（1），知，

∴

∴.

【点睛】本题考查了二倍角正切、余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.

20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2＋ccos2＝b.

(1)求证：a，b，c成等差数列；

(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．

【答案】（1）根据已知边角关系，结合二倍角公式来化简得到证明．

（2）

【解析】

解：(1)证明：acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，

即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b.

由正弦定理得：

sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B，

即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，

∴sin A＋sin C＝2sin B.

由正弦定理得，a＋c＝2b，

故a，b，c成等差数列．

(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：

42＝a2＋c2－2accos 60°，

∴(a＋c)2－3ac＝16，

又由(1)知a＋c＝2b，

代入上式得4b2－3ac＝16，

解得ac＝16，

∴△ABC的面积S＝acsin B＝acsin 60°＝4.

21.已知数列{}满足a1＝1，a3＋a7＝18，且＋＝2（n≥2）．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若＝·，求数列{}的前n项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）因为，由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式．（2）分析可知应用错位相减法求数列的和．

试题解析：解：（1）由知，数列是等差数列，

设其公差为，

则，

所以，

，

即数列的通项公式为．

（2），

，

相减得：，

整理得：，

所以．

考点：1求通项公式；2求数列的和．

22.已知数列的前项和为，点均在二次函数的图象上．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）由数列前n项和求通项时主要借助于公式解决（2）将通项整理后根据特点采用裂项相消的方法求和

试题解析：（1）点均在二次函数的图象上，（1）

．（2分）

当时，；（4分）

当时，，满足上式．（5分）

数列的通项公式是．（6分）

（2），（7分）

．（9分）

（10分）

．（12分）

考点：1．数列求通项公式；2．裂项相消法求和