浙江省宁波市海曙区效实中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案

这是一份浙江省宁波市海曙区效实中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


浙江省宁波市海曙区效实高级中学校2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
1.在 ΔABC 中， A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a=1,B=60°,c=2 ，则 b= （   ）
A. 1                                        B. 7                                        C. 5                                        D. 3
2.已知 i 是虚数单位，设复数 z=i2021+1 ，则 z 的虚部为（   ）
A. 1                                          B. -1                                          C. i                                          D. -i
3.已知 m,n 是两条不同的直线， α,β 是两个不同的平面，则（   ）
A. 若m∥α，n//α，则m//n                                    B. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C. 若α∥β，m⊥α，n//β，则m⊥n                         D. 若m∥n，n⊂α，则m//α
4.如图， ΔA'O'B' 表示水平放置的 ΔAOB 的直观图.点 B' 在 x' 轴上， A'O' 和 x' 轴垂直，且 A'O'=2 ，则 ΔAOB 的边 OB 上的高为（   ）

A. 2                                        B. 22                                        C. 42                                        D. 4
5.设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ，定义 a 与 b 的“向量积”： a×b 是一个向量，它的模 |a×b|=|a||b|sinθ ，若 a=(2,0)，b=(1,3), ，则 |a×b| =（   ）
A. 2                                         B. 23                                         C. 3                                         D. 1
6.已知 ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 c=2acosB ，则 ΔABC 一定为（   ）
A. 直角三角形                    B. 等腰三角形                    C. 等边三角形                    D. 等腰直角三角形
7.若非零向量 b=3a-2c,|b|=|c|=2|a| ，则 a 与 b 的夹角余弦值为（   ）
A. 34                                       B. 14                                       C. -34                                       D. -14
8.若 O 是 ΔABC 的垂心， ∠A=π3,sinBcosCAB+sinCcosBAC=msinBsinCAO ，则 m= （   ）
A. 1                                        B. 33                                        C. 3                                        D. 32
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
9.已知 i 是虚数单位，下列说法正确的是（   ）
A. 若复数 z 满足 z2∈R,则z∈R                        B. 若复数 z 满足 z∈R,则z∈R
C. 若复数 z=2i1+i ，则 |z| 的值为2                        D. 若复数 z 满足 |z+i|=|z-3i| ，则 |z| 的最小值为1
10.下列说法正确的是（   ）
A. 在 ΔABC 中，若 AB⋅BC>0 ，则 ΔABC 为锐角三角形
B. 若 a=(3,4),b=(-1,2) ，则 a 在 b 方向上的投影向量为 (-1,2)
C. 若 a=(1,k)，b=(2,2) ，且 a+b 与 a 共线，则 a⊥b
D. 设 M 是 ΔABC 所在平面内一点，且 MB+32MA+32MC=0, 则 SΔABCSΔMAC=4
11.在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 为线段 BD1 上的动点，下列命题正确的是（   ）
A. 存在点 M ，使得 C1M//平面AB1C
B. 存在点 M ，使得直线 C1M 与直线 AD1 是异面直线
C. 存在点 M ，使得直线 C1M 与直线 AB 所成角为60°
D. 任意点 M ，都使得直线 C1M⊥A1D
12.如图，在 ΔABC 中， BC=3AC,∠BAC=60∘ ，点 D 与点 B 分别在直线 AC 两侧，且 AD=1,DC=3 ，当 BD 长度为何值时， ΔACD 恰有一解（   ）

A. 2110                                       B. 3                                       C. 26                                       D. 33
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
13.复数 z 的共轭复数为 z ，已知 2z-z=6i （ i 是虚数单位），则 z= ________
14.如图，四棱锥 S-ABCD 的所有棱长都等于2，点 E 为线段 SA 的中点，过 C,D,E 三点的平面与 SB 交于点 F ，则四边形 DEFC 的周长为________

15.在 ΔABC 中， AD 是 BC 边上的中线， AB=3，AC=2,AD=1 ，则 ΔABC 的面积为________.
16.已知向量 a,b,|a|=1,|b|=2 ，若对任意的单位向量 e ，均有 |a⋅e|+|b⋅e|≥12 ，则 a⋅b 的取值范围是________
四、解答题：本大题共5小题，共48分.
17.已知 i 是虚数单位，设复数 z1=1+i,z2=m-2i(m∈R) .
（1）若 z1z2 为纯虚数，求 m 的值；
（2）若 z2z1 在复平面上对应的点位于第三象限，求 m 的取值范围.
18.如图，在平面四边形 ABCD 中， AC=CD=AD=BC=2,BC⊥CA .

（1）求 BA⋅BD 的值；
（2）若 BD=mBA+nBC ，求 m+n 的值。
19.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1 ， E,M,N 分别是 BC,B1C,A1A 的中点.

（1）求证：MN∥平面AEC1；
（2）求异面直线 AE 与 A1C 所成角的大小.
20.已知 ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，
在条件① (a2+b2-c2)⋅(acosB+bcosA)=abc ，条件② csinA=acos(C-π6)
这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题.
（1）若 c=3 ，求 ΔABC 的外接圆直径；
（2）若 ΔABC 的周长为6，求边 c 的取值范围.
21.如图，在 ΔABC 中， AB=3,AC=2BC=4,D 为 AC 的中点， E,P 分别在边 AB,BC 上，满足 AE=2EB,4BP=3PC ， AP 交 DE 于 M .现将 ΔADE 沿 DE 翻折至 ΔA1DE ，得四棱锥 A1-BCDE .

（1）证明： DE⊥平面A1MP ；
（2）若直线 A1P 与平面 BCD 所成角的正切值为 7 ，且 A1 在平面 ABC 内的射影在 ΔABC 的内部，求 AA1 的长.

答案解析部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
1.在 ΔABC 中， A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a=1,B=60°,c=2 ，则 b= （   ）
A. 1                                        B. 7                                        C. 5                                        D. 3
【答案】 D
【考点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=12+22-2·1·2·cos60°=3，则b=3.
故答案为：D
【分析】由余弦定理直接求解即可
2.已知 i 是虚数单位，设复数 z=i2021+1 ，则 z 的虚部为（   ）
A. 1                                          B. -1                                          C. i                                          D. -i
【答案】 A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得z=i2021+1=i+1，所以z的虚部为1.
故答案为：A
【分析】由复数的运算和定义直接求解即可
3.已知 m,n 是两条不同的直线， α,β 是两个不同的平面，则（   ）
A. 若m∥α，n//α，则m//n                                    B. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C. 若α∥β，m⊥α，n//β，则m⊥n                         D. 若m∥n，n⊂α，则m//α
【答案】 C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A，若 m//α,n//α,则 m//n或m,n相交或m,n异面，故A错误；
对于B，若m//α,m⊥n ， 则n⊥α或n⊂α ， 故B错误；
对于C，若α//β，m⊥α ， 则m⊥β，又n//β ， 则m⊥n，所以C正确；
对于D，若m//n,n⊂α ， 则m//α或m⊂α ， 故D错误.
故答案为：C.
【分析】由直线与直线的关系可判断A，由直线与平面的关系可判断B，由线线垂直的判定可判断C，由直线与平面的关系可判断D.
4.如图， ΔA'O'B' 表示水平放置的 ΔAOB 的直观图.点 B' 在 x' 轴上， A'O' 和 x' 轴垂直，且 A'O'=2 ，则 ΔAOB 的边 OB 上的高为（   ）

A. 2                                        B. 22                                        C. 42                                        D. 4
【答案】 C
【考点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中的边O'B'与原图中的边OB长度相等，及S原图=22S直观图 ， 即12OB×h=22×12A'O'×O'B' ， 解得h=42.
故答案为：C
【分析】根据斜二测画法及S原图=22S直观图 ， 直接求解即可.
5.设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ ，定义 a 与 b 的“向量积”： a×b 是一个向量，它的模 |a×b|=|a||b|sinθ ，若 a=(2,0)，b=(1,3), ，则 |a×b| =（   ）
A. 2                                         B. 23                                         C. 3                                         D. 1
【答案】 B
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意得a→=b→=2 ， 则cosθ=a→·b→a→·b→=22×2=12 ， 则sinθ=32 ，
a→×b→=a→b→sinθ=2×2×32=23
故答案为：B
【分析】由向量的数量积求出cosθ，再根据“向量积”直接求解即可
6.已知 ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 c=2acosB ，则 ΔABC 一定为（   ）
A. 直角三角形                    B. 等腰三角形                    C. 等边三角形                    D. 等腰直角三角形
【答案】 B
【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理及c=2acosB得sinC=2sinAcosB，即sin(A+B)=2sinAcosB，
即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，则sinAcosB-cosAsinB=0，即sin(A-B)=0，则A-B=0，所以A=B，所以△ABC一定为等腰三角形 
故答案为：B
【分析】由正弦定理，以及三角形的内角和性质，结合两角和与差的正弦公式直接求解即可.
7.若非零向量 b=3a-2c,|b|=|c|=2|a| ，则 a 与 b 的夹角余弦值为（   ）
A. 34                                       B. 14                                       C. -34                                       D. -14
【答案】 D
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：∵b→=3a→-2c→ ，
∴2c→=3a→-b→ ，
∴2c→2=3a→-b→2 ， 则4c→2=9a→2-6a→·b→+b→2
又∵ |b→|=|c→|=2|a→| ，
∴ 4×2a→2=9a→2-6a→·b→+2a→2 ，
则a→·b→=-12a→2 ，
则cos=a→·b→a→·b→=-12a→2a→·2a→=-14.
故答案为：D
【分析】先由题意求得a→·b→=-12a→2 ， 再根据向量的夹角公式直接求解即可.
8.若 O 是 ΔABC 的垂心， ∠A=π3,sinBcosCAB+sinCcosBAC=msinBsinCAO ，则 m= （   ）
A. 1                                        B. 33                                        C. 3                                        D. 32
【答案】 C
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为 sinBcosCAB→+sinCcosBAC→=msinBsinCAO→  ，
所以cosCsinC·AB→+cosBsinB·AC→=mAO→
又因为O是  ΔABC 的垂心 ，所以CD⊥AB，AO→=AD→+DO→
所以cosCsinC·AB→+cosBsinB·AC→=mAD→+DO→
则cosCsinC·AB→2+cosBsinB·AC→·AB→=mAD→+DO→·AB→
即cosCsinC·c2+cosBsinB·b·c·cosA=mAD→·AB→=mb·c·cosA ， 又∠A=π3
则由正弦定理得，cosC+12cosB=12msinB……①
又cosC=cos2π3-B=-12cosB+32sinB……②
联解①②，得32sinB=12msinB ，
又因为sinB≠0
所以m=3
故答案为：C
【分析】根据向量的数量积，结合题意，以及三角形的内角和求解即可.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
9.已知 i 是虚数单位，下列说法正确的是（   ）
A. 若复数 z 满足 z2∈R,则z∈R                        B. 若复数 z 满足 z∈R,则z∈R
C. 若复数 z=2i1+i ，则 |z| 的值为2                        D. 若复数 z 满足 |z+i|=|z-3i| ，则 |z| 的最小值为1
【答案】 B,D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】【解答】解：对于A，当z=i时，显然不成立，故A错误；
对于B，当z=a+bi∈R，则b=0，所以z=a∈R，故B正确；
对于C，当z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=1+i ， 则z=2 ， 故C错误；
对于D，设z=a+bi，则由 |z+i|=|z-3i|  得|a+bi+i|=|a+bi-3i| ， 即|a+b+1i|=|a+b-3i| ， 则a2+b+12=a2+b-32 ， 解得b=1，则|z|=a2+1≥1 ， 故D正确.
故答案为：D

【分析】本题主要考查复数的概念，复数的模，以及复数的运算问题，根据概念以及运算法则逐项求解即可判断.
10.下列说法正确的是（   ）
A. 在 ΔABC 中，若 AB⋅BC>0 ，则 ΔABC 为锐角三角形
B. 若 a=(3,4),b=(-1,2) ，则 a 在 b 方向上的投影向量为 (-1,2)
C. 若 a=(1,k)，b=(2,2) ，且 a+b 与 a 共线，则 a⊥b
D. 设 M 是 ΔABC 所在平面内一点，且 MB+32MA+32MC=0, 则 SΔABCSΔMAC=4
【答案】 B,D
【考点】平面向量数量积的性质及其运算律，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于A，由题意得AB→·BC→=AB→·BC→·cosπ-B=-AB→·BC→·cosB>0 ， 则cosB<0，所以B为锐角，但无法判断角A,C，所以A错误；
对于B，由题意得a→在b→方向上的投影为a→·b→b→=3×-1+4×2-12+22=5 ， 则a→在b→方向上的投影向量为b→b→·a→·b→b→=-1,25×5=-1,2 ， 所以B正确；
对于C，a→+b→=3,k+2 ， 又 a+b 与 a 共线 ，则1×（k+2）-3×k=0，解得k=1，所以a→=（1,1），则b→=2a→ ， 所以a→//b→ ， 所以C错误；
对于D，如图，

设D是AC的中点，则MA→+MC→=2MD→ ， 因为 MB+32MA+32MC=0, 则MB→=32MA→+MC→=3MD→ ， 所以M在线段BD上，且BD:DM=4，设△ABC的高为h，△MAC的高为h'，则由三角形相似得h:h'=BD:DM=4，则 SΔABCSΔMAC=12×AC×h12×AC×h'=4 ， 所以D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题主要考查向量的数量积，投影向量，共线向量与垂直向量的判定，以及向量的线性运算问题，根据定义和运算逐项判断即可.
11.在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 为线段 BD1 上的动点，下列命题正确的是（   ）
A. 存在点 M ，使得 C1M//平面AB1C
B. 存在点 M ，使得直线 C1M 与直线 AD1 是异面直线
C. 存在点 M ，使得直线 C1M 与直线 AB 所成角为60°
D. 任意点 M ，都使得直线 C1M⊥A1D
【答案】 A,C,D
【考点】异面直线的判定，直线与平面平行的判定，向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：如图，

对于A，显然当M为平面A1C1D与线段BD1的交点时，
因为平面A1C1D//平面AB1C
所以C1M//平面AB1C，故A正确；
对于B，显然点A,B,C1,D1,M都在平面ABC1D1上，所以直线C1M与直线AD1不可能异面，故B错误；
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,1,0)，A1(1,1,1)，B(0,1,0)，C1(0,0,1)，D1（1,0,1），
AB→=-1,0,0,BD1→=1,-1,1,C1B→=0,1,-1,A1D→=0,-1,-1
则由题意易知BM→=λBD1→=λ1,-1,1=λ,-λ,λ ， C1M→=C1B→+BM→=0,1,-1+λ,-λ,λ=λ,1-λ,λ-1,
因为直线C1M与直线AB所成角为60°，
所以cos60°=C1M→·AB→C1M→·AB→=-λλ2+1-λ2+λ-12=12 ， 整理得λ2+4λ-2=0，解得λ=6-2 ， 所以存在点M，使得直线C1M与直线AB所成角为60°，所以C正确；
对于D，C1M→·A1D→+BM→=λ,1-λ,λ-1·0,-1,-1=0+-1×1-λ+λ-1×-1=0 ， 所以存在任意点M，使得C1M⊥A1D，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由线面平行的判定定理可判断A，由异面直线的定义可判断B，利用向量法可判断CD.
12.如图，在 ΔABC 中， BC=3AC,∠BAC=60∘ ，点 D 与点 B 分别在直线 AC 两侧，且 AD=1,DC=3 ，当 BD 长度为何值时， ΔACD 恰有一解（   ）

A. 2110                                       B. 3                                       C. 26                                       D. 33
【答案】 B,C,D
【考点】正弦函数的定义域和值域，正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，设AC=x，则由 BC=3AC得 BC=3x ， 根据∠BAC=60°，由正弦定理得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC ， 即xsin∠ABC=3xsin60° ， 所以sin∠ABC=12 ， 则∠ABC=30°，所以∠ACB=90°；
在△ACD中，设∠ADC=θ，则由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cosθ，即x2=1+3-23cosθ，由正弦定理得ADsin∠ACD=ACsinθ ， 所以xsin∠ACD=sinθ；
在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD，即BD2=3x2+3-2·23·3x·cos(90°+∠ACD)=3x2+3+6xsin∠ACD
=3x2+3+6sinθ=34-23cosθ+3+6sinθ=15+6sinθ-63cosθ=15+12sinθ-60°≤27 ，
当且仅当θ-60°=90°，θ=150°即时，BD取得最大值33.
故答案为：BCD.

【分析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,三角函数的性质，先在△ABC中根据正弦定理求得∠ACB=90°，再在△ACD中，利用余弦定理和正弦定理求得xsin∠ACD=sinθ，最后在△BCD中，根据余弦定理，结合三角函数的性质求得BD存在最大值33即可判断.
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.
13.复数 z 的共轭复数为 z ，已知 2z-z=6i （ i 是虚数单位），则 z= ________
【答案】 2i
【考点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设复数z=a+bi，则z=a-bi ， 所以2z-z=2a+bi-(a-bi)=a+3bi=6i ， 则a=0，b=2，所以z=2i
故答案为：2i.
【分析】由复数的运算，共轭复数和相等复数直接求解即可.
14.如图，四棱锥 S-ABCD 的所有棱长都等于2，点 E 为线段 SA 的中点，过 C,D,E 三点的平面与 SB 交于点 F ，则四边形 DEFC 的周长为________

【答案】3+23
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知△ADE是Rt△，DE=AD2-AE2=3 ， 在△SCF中，由余弦定理得CF2=SF2+CF2-2SF·CF·cos∠CSF，即CF2=4+1-2·1·2·cos60°，解得CF=3 ， 有EF=1，CD=2，所以 四边形 DEFC 的周长 =DE+EF+FC+CD=3+23.
故答案为：3+23
【分析】由余弦定理，结合四棱锥的几何特征直接求解即可.
15.在 ΔABC 中， AD 是 BC 边上的中线， AB=3，AC=2,AD=1 ，则 ΔABC 的面积为________.
【答案】394
【考点】解三角形，余弦定理，余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图，

设∠ADB=α，则∠ADC=π-α，设BC=2x，则BD=CD=x，
则在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cosα，即3=1+x2-2x·cosα……①，
则在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos(π-α)，即4=1+x2+2x·cosα……②，
由①②解得x=102 ， 则BC=10 ，
则在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC，即10=3+4-2·10·2·cos∠BAC，解得cos∠BAC=-34 ，
则sin∠BAC=134 ， 则△ABC的面积为S△ABC=12·AB·AC·sin∠BAC=12·3·2·134=394
故答案为：394
【分析】由三角形中线的性质，结合余弦定理求得cos∠BAC ， 再根据平方和关系求得sin∠BAC ， 最后利用三角形的面积公式求解即可.
16.已知向量 a,b,|a|=1,|b|=2 ，若对任意的单位向量 e ，均有 |a⋅e|+|b⋅e|≥12 ，则 a⋅b 的取值范围是________
【答案】[-3,3]
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【解答】解：因为a→+b→·e→=a→·e→+b→·e→≤a→·e→+b→·e→ ， a→-b→·e→=a→·e→-b→·e→≤a→·e→+b→·e→
所以 若对任意的单位向量 e  ， 均有 |a⋅e|+|b⋅e|≥12  ， 等价于|a→⋅e→|+|b→⋅e→|min≥12 ，
而|a→⋅e→|+|b→⋅e→|min=a→+b→⋅e→，a→-b→⋅e→maxmin………(1) ，
如图，

设AB→=a→,OA→=b→ ， B1C1→=e→ ， 分别过点B,C作BB1⊥B1C1 ， CC1⊥B1C1 ， 则a→+b→=OB→,b→-a→=OC→ ，
由图可知，当a→+b→⋅e→=a→-b→⋅e→时，（1）式取到最小值，
所以h≥12 ， 则sinθ=ha→≥12 ， 所以-32≤cosθ≤32 ，
则a→·b→=1×2×cosθ=2cosθ∈-3,3.
故答案为-3,3
【分析】根据向量的加法与减法，结合向量的数量积，以及运用数形结合思想，求解即可。
四、解答题：本大题共5小题，共48分.
17.已知 i 是虚数单位，设复数 z1=1+i,z2=m-2i(m∈R) .
（1）若 z1z2 为纯虚数，求 m 的值；
（2）若 z2z1 在复平面上对应的点位于第三象限，求 m 的取值范围.
【答案】 （1）解：由题意得z1z2=(1+i)(m-2i)=(m+2)+(m-2)i为纯虚数，则m+2=0且m-2≠0，解得m=-2且m≠2，所以m=-2；
（2）解：z2z1=m-2i1+i=m-2i1-i1+i1-i=m-22-m+22i表示位于第三象限的点m-22,-m+22 ， 则m-22<0-m+22<0 ， 解得-2 【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）根据复数的乘法，结合纯虚数的定义直接求解即可；
（2）根据复数的运算，结合复数的几何意义直接求解即可.
18.如图，在平面四边形 ABCD 中， AC=CD=AD=BC=2,BC⊥CA .

（1）求 BA⋅BD 的值；
（2）若 BD=mBA+nBC ，求 m+n 的值。
【答案】 （1）解：BA→·BD→=CA→-CB→·CD→-CB→=CA→·CD→-CA→·CB→-CB→·CD→+CB→2
=2×2×cos60°-2-2×2×cos150°+22=6+23；
（2）解： 取AC的中点E，连接DE，则DE⊥AC，所以DE//BC，
又在Rt△CDE中，DE=CD·cos30°=3 ， 所以DE→=32CB→ ，
则BD→=CD→-CB→=CE→+ED→-CB→=12CA→-32CB→-CB→=12CA→-3+22CB→ ，
又BD→=mBA→+nBC→=mCA→-CB→-nCB→=mCA→-m+nCB→ ，
则m=12m+n=1+32.
【考点】向量数乘的运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义，平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】【分析】（1）由向量的数量积，以及向量的减法直接求解即可；
（2）由向量的线性运算，结合相等向量的定义直接求解即可.
19.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1 ， E,M,N 分别是 BC,B1C,A1A 的中点.

（1）求证：MN∥平面AEC1；
（2）求异面直线 AE 与 A1C 所成角的大小.
【答案】 （1）解： 连接ME，因为 E,M,N 分别是 BC,B1C,A1A 的中点 ，则AN//ME//BB1 ， 且AN=ME=12BB1 ， 所以四边形ANME是平行四边形，则MM//AE，又MN⊄平面AEC1 ， AE⊂平面AEC1 ， 所以MM//平面AEC1；
（2）解： 由题意易知AA1⊥AB，AB⊥AC，AC⊥AA1 ， 设AC=AB=AA1=2，建立如图缩水的空间直角坐标系，

则A（0,0,0），B（2,0,0），C（0,2,0），A1（0,0,2），E（1,1,0），
则AE→=1,1,0，A1C→=0,2,-2 ，
则cos=AE→·A1C→AE→·A1C→=1×0+1×2+0×-22×22=12 ，
所以异面直线 AE 与 A1C 所成角的大小 为60°
【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）由题意易证四边形ANME是平行四边形，再根据线面平行的判定定理直接证明即可；
（2）由题意易建立空间直角坐标系，利用向量法直接求解异面直线 AE 与 A1C 所成角的大小即可.
20.已知 ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，
在条件① (a2+b2-c2)⋅(acosB+bcosA)=abc ，条件② csinA=acos(C-π6)
这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题.
（1）若 c=3 ，求 ΔABC 的外接圆直径；
（2）若 ΔABC 的周长为6，求边 c 的取值范围.
【答案】 （1） 解：选② csinA=acos(C-π6) ，则由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC-π6 ， 所以sinC=cosC-π6=cosC×32+sinC×12 ， 解得tanC=3 ， 又因为C∈(0,π)，则C=π3
若c=3 ， 则由正弦定理得2R=csinC=332=2 ， 即△ABC的外接圆直径为2；
（2）解： 由题意知a+b+c=6，C=π3 ，
则正弦定理asinA=bsinB=csinC=c32=23c3,所以23c3sinA+sinB+c=6 ，
即23csinA+sin2π3-A+3c=18
化简，整理得2c·sinA+π6+c=6
则c=61+2sinA+π6 ，
又因为A∈0,2π3 ， 所以A+π6∈π6,5π6 ， 则1+2sinA+π6∈(2,3] ， 故c∈[2,3)
【考点】正弦函数的定义域和值域，正弦定理
【解析】【分析】选②，由正弦定理求得C=π3
（1）由正弦定理直接求解即可；
（2）由正弦定理，结合三角形的周长求得c=61+2sinA+π6 ， 利用正弦函数的性质求解即可.
21.如图，在 ΔABC 中， AB=3,AC=2BC=4,D 为 AC 的中点， E,P 分别在边 AB,BC 上，满足 AE=2EB,4BP=3PC ， AP 交 DE 于 M .现将 ΔADE 沿 DE 翻折至 ΔA1DE ，得四棱锥 A1-BCDE .

（1）证明： DE⊥平面A1MP ；
（2）若直线 A1P 与平面 BCD 所成角的正切值为 7 ，且 A1 在平面 ABC 内的射影在 ΔABC 的内部，求 AA1 的长.
【答案】 （1）由题意知4BP=3PC，则BPPC=ABAC=34 ， 所以AP是∠BAC的角平分线，且A,M,P三点共线，
又AD=2，AE=23AB=2 ， 则AD=AE，所以点M是DE的中点，则DE⊥AM，即DE⊥A1M，DE⊥MP，A1M∩MP=M，所以DE⊥平面A1MP；
（2）解： 如图，

连接AA1 ， 由DE⊥平面A1MP易知平面AA1P⊥平面A1MP，且交线为AP，
所以  A1 在平面 ABC 内的射影H在 MP上，∠A1PH即为 直线 A1P 与平面 BCD 所成角，则tan∠A1PH=A1HPH=7 ，
由余弦定理得cos∠CAB=AC2+AB2-BC22×AC×AB=78=cos∠DAE
又在等腰三角形DAE中，cos∠DAE=DA2+AE2-DE22×DA×AE=4+4-DE22×2×2=78 ， 解得DE=1，则AM=A1M=AD2-DM2=152 ，
又cos∠ABC=cos∠ABP，则由余弦定理得AB2+BC2-AC22×AB×BC=AB2+BP2-AP22×AB×BP ， 即9+4-162×3×2=9+672-AP22×3×67 ， 解得AP=6157 ，
则在△AA1P中，S△AA1P=12×AA1×A1P×sin∠AA1P=12×A1H×AP……①
又由tan∠A1PH=7，得sin∠A1PH=152……②
由AA1sin∠A1PH=APsin∠AA1P……③
由①②③得A1H=2155,PH=17A1H=21535,AH=AP-PH=281535
则在Rt△AA1H中，AA1=AH2+A1H2=23
【考点】直线与平面垂直的判定，正弦定理的应用，余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意易证AP是∠BAC的角平分线，证得DE⊥A1M，DE⊥MP，再根据线面平行的判定定理求证即可；
（2）根据题意，利用余弦定理和正弦定理求出相关边长与角，再根据勾股定理求解即可，考查了计算能力和逻辑分析能力.