浙江省宁波市咸祥中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com咸祥中学高二年级数学学科期中考试试卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

选择题部分（共72分）

一、选择题：本大题共18小题，每小题4分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用并集运算法则计算得到答案.

【详解】集合，，则.

故选：C.

【点睛】本题考查了并集运算，属于简单题.

2.直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用直线斜率公式，即可求解经过两点的直线的斜率，得到答案．

【详解】由题意，直线经过点和点，则直线的斜率是，故选C．

【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

3.一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

如图所示，根据弦长得到为等边三角形，得到答案.

【详解】根据题意：如图所示，，则为等边三角形，故.

故选：A.

【点睛】本题考查了根据弦长求圆心角，属于简单题.

4.若等比数列中，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用等比数列的性质得到答案.

【详解】根据等比数列性质：.

故选：C.

【点睛】本题考查了等比数列性质，属于简单题.

5.与的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D. 不能比较大小

【答案】B

【解析】

【分析】

根据，即可得到大小关系.

【详解】，，

所以.

故选：B

【点睛】此题考查比较两个实数的大小，涉及无理数之间的大小关系，利用平方关系进行比较，属于简单题目.

6.函数（且）的图象必经过点（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据指数直接计算得到定点.

【详解】当时，，故函数图像必经过点.

故选：D.

【点睛】本题考查了指数型函数过定点问题，利用是解题的关键.

7.在ΔABC中，，，A=45°，则此三角形解的情况是(      )

A. 两解 B. 一解 C. 一解或两解 D. 无解

【答案】A

【解析】

【分析】

根据余弦定理,解方程可解得两个的值,故有两解.

【详解】因为，，A=45°,

所以由余弦定理得,

所以,

解得或,

所以此三角形解有两解.

故选.

【点睛】本题考查了用余弦定理判断三角形的解的个数,属于基础题.

8.下列说法正确的是（    ）

A. 若直线平行于平面内的无数条直线,则

B. 若直线在平面外,则

C. 若直线,则

D. 若直线，则直线平行于内的无数条直线

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直线与平面位置关系,直线与平面平行的判定定理逐个判断可得答案.

【详解】对于,若直线平行于平面内的无数条直线,则或,故不正确;

对于,若直线在平面外,则或与相交,故不正确;

对于,若直线,则或,故不正确;

对于,若直线，则直线平行于内的无数条直线,是正确的.

故选:D

【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系,直线与平面平行的判定定理,属于基础题.

9.两个圆与圆的公切线有且仅有（    ）

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

【答案】B

【解析】

【分析】

利用几何法判断出两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数.

【详解】圆的标准方程为，圆的标准方程为，

两圆心分别为、，半径分别为，，

，两圆相交，因此，两圆有条公切线，

故选：B.

【点睛】本题考查两圆公切线条数的判断，本质上还是要判断两圆的位置关系，同时也考查熟悉两圆公切线条数与两圆位置之间的关系，考查推理能力，属于基础题.

10.值是（    ）

A.  B.  C. - D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据诱导公式化简，并结合正弦和角公式即可求解.

【详解】由诱导公式可知

所以由正弦和角公式可得

，

故选：B.

【点睛】本题考查了诱导公式及正弦和角公式的应用，属于基础题.

11.平面向量与的夹角为，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积运算律及数量积定义，即可求得.

【详解】平面向量与的夹角为，，，

则，

由平面向量运算律及数量积定义可知

故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律与数量积定义，平面向量模的求法，属于基础题.

12.古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：

他们研究过图中的,,,,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数；类似的,称图中的,,,,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据图1的规律可求得第个图形中点的个数通项公式,以及图2中第个图形中点的个数的通项公式,再逐个选项辨析即可.

【详解】易得图1中第个图形中点的个数通项公式,图2中第个图形中点的个数通项公式.四个选项中仅有正整数解.

故选：B

【点睛】本题主要考查了图形规律中的数列通项公式以及数列求和公式.属于基础题.

13.已知椭圆的一个焦点为，离心率，则椭圆的标准方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据椭圆的焦点坐标及离心率，可求得，再由椭圆中的关系即可求得椭圆的标准方程.

【详解】椭圆的一个焦点为，则，

离心率，则，所以，

由椭圆中的关系满足，可得，

所以椭圆的标准方程为，

故选：C.

【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，椭圆的几何意义及简单应用，属于基础题.

14.设，那么“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

考虑两个命题：若，则，若，则，根据真假性即可得解.

【详解】对于实数x，

若，则，是一个真命题，

若，则，是假命题，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】此题考查充分条件与必要条件的判定，关键在于根据逻辑关系准确判断，也可根据集合的包含关系判断.

15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据所给三视图，还原出空间几何体，即可求得几何体的表面积.

【详解】根据三视图，还原空间几何体如下图所示：

在正方体中，去掉三棱锥，

正方体的棱长为2，为的中点，

则

，

故选：B.

【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，关键是能够正确还原出空间几何体，属于中档题.

16.已知双曲线（，），，是双曲线的两个顶点，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是，若直线，的斜率分别是，，且，则双曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由双曲线的标准方程可知焦点在轴上，设出点坐标，即可得点坐标；根据直线，的斜率乘积，结合斜率公式即可求得的等量关系，再由点在双曲线上，代入即可得关系，进而求得双曲线的离心率.

【详解】双曲线（，），，是双曲线的两个顶点，

则双曲线焦点在轴上，不妨设，，

是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是，则，

由两点间斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率，

根据题意，

则，化简可得，

是双曲线上的一点，则，化简可得，

由上述两式可得，即，

所以，

而双曲线中满足，所以，

则，

故选：A.

【点睛】本题考查了双曲线标准方程及几何性质应用，直线与双曲线位置关系的应用，双曲线离心率的求法，属于中档题.

17.已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】函数恰有4个零点，即方程，

即有4个不同的实数根，

即直线与函数的图象有四个不同的交点．

又

做出该函数的图象如图所示，

由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，

故函数恰有4个零点时，

b的取值范围是故选D．

考点：1、分段函数；2、函数的零点．

【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．

18.在三棱锥中，，， 在平面的射影为的中点，是上的动点，，是的两个三等分点，（），记二面角，的平面角分别为，.若，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

如图所示，过点分别作,垂足分别为,过点作垂足分别为，连接,设,.先证明，再证明即得解.

【详解】由题得平面平面，

过点分别作,垂足分别为,

则平面，平面，

过点作垂足分别为，连接,

因为，所以平面，

所以为二面角的平面角，即，

同理为二面角的平面角，即

设,.

所以,

.

因为，所以

因为.

在中，.

当时，取中点，连接，

所以

所以

所以的最大值为.

故选：B

【点睛】本题主要考查立体几何的综合应用，考查空间二面角的作法和计算，考查正弦定理边角转化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

非选择题部分（共78分）

二、填空题：本大题共4小题，每空5分，共25分.

19.在等比数列中，若，，则公比___；________．

【答案】    (1). -2    (2).

【解析】

【分析】

先利用等比数列的通项公式求得公比；是以为首项，为公比，进而利用等比数列的求和公式求解．

【详解】，

所以，是以为首项，为首项的等比数列，所以

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了等比数列的性质．考查了对等比数列的通项公式和求和公式的灵活运用，属于基础题．

20.设，向量，，若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量的数量积的定义结合两向量垂直的数量积表示求解即可．

【详解】解：向量，，且

，即

又，

所以，所以

所以．

故答案为：

【点睛】本题主要考查向量的数量积以及向量的垂直，属于基础题．

21.已知椭圆，，分别为左、右焦点，为椭圆上一动点，以为直径作圆，圆与圆的位置关系为________．

【答案】相切

【解析】

【分析】

设椭圆另一焦点为，且中点为，根据椭圆定义有，所以，这样，我们就可以判断以为直径的圆与圆的位置关系

【详解】解：设椭圆另一焦点为，且中点为，并连，则是△的中位线，故两圆圆心距，

根据椭圆定义有，所以圆心距

所以两圆心距等于半径差，即以为直径的圆与以长半轴为半径的圆相内切．

故答案为：相切．

【点睛】椭圆的定义是我们解决椭圆问题的重要方法，判断圆与圆的位置关系，通常运用两圆的圆心距与半径比较，属于基础题．

22.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】或

【解析】

【分析】

首先说明函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式即恒成立，令，，分类讨论计算可得；

【详解】解：因为定义域为，且，

故函数为奇函数，

因为在上单调递增，在上单调递增，且时，，

所以函数在定义域上单调递增，

因为不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，

令，

①当时，，即；

②当时，显然不成立；

③当时，

则，解得

综上所述或

故答案为：或

【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的判定，分段函数的性质的应用，属于难题.

三、解答题：本大题共3小题，共53分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

23.已知函数.求

（1）的值；

（2）函数的最小正周期；

（3）在上的取值范围.

【答案】（1）0；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据函数解析式代入即可得解；

（2）利用二倍角公式逆用结合辅助角公式化简即可得解；

（3）结合（2）可得，即可得到值域.

【详解】（1）由题意得

；

（2）因为

，所以函数的最小正周期为；

（3）当时，，所以，则

，故在上的取值范围是.

【点睛】此题考查三角函数化简求值，根据三角恒等变换求函数的最小正周期，利用整体代入方法求解函数值域，属于中档题.

24.已知抛物线的焦点是，直线的方程为，点.

（1）写出点的坐标和准线的方程；

（2）已知，若过的直线交抛物线于不同两点，，（均与不重合），直线，分别交直线于点，.设，的斜率分别为，.求证：为定值.

【答案】（1），准线方程.（2）为定值,证明见解析

【解析】

分析】

（1）根据抛物线方程直接写出焦点坐标和准线方程;

（2）设过点直线为，，联立方程组，得出根与系数的关系，再表示出，的坐标，再利用根与系数的关系化简即可得定值.

【详解】解：（1）抛物线,得焦点，准线方程.

（2）设过点直线为：，交抛物线于不同两点，

则 ，得，得，

，.

 直线：，令，则 ，即,同理可得

 则， ，

则

.

【点睛】本题是直线与抛物线的位置关系的综合问题，利用设而不解，表示出是解决此题的关键，同时还考查了学生的运算能力.

25.已知函数，其中．

（1）当时，写出函数的单调区间；(直接写出答案，不必写出证明过程)

（2）当时，求函数的零点；

（3）当时，求函数在上的最小值．

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．（2），．（3）

【解析】

【分析】

（1）因为，当时，，画出其函数图象，即可求得答案；

（2）当时，，分别讨论和时函数的零点，即可求得函数的零点；

（3） 化简，分别讨论，函数的单调性，进而求得函数最小值；

【详解】（1）当时，

画出图象

根据图象可得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）当时，，

①当时，令，即，

此方程，无实数解．

②当时，令，即，解得；

由①②，得的零点为，．

（3）

当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，函数取到最小值，且．

当，即时，

函数在上单调递减，在上单调递增，

故当时，函数取到最小值，且．

综上所述，．

【点睛】本题主要考查了带有绝对值函数的单调区间和零点，及其函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数图象特征和函数最值的求法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.