2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案19

2022届新教材北师大版  圆锥曲线   单元测试

1、双曲线的渐近线方程是（  ）

A．    B．    C．    D．

2、已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（    ）

(A) 1          (B) 3           (C) 4          (D) 8

3、如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则的大小为（   ）

A． 15°    B． 30°    C． 45°    D． 不确定

4、已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此双曲线的方程为（    ）

A．     B．

C．     D．

5、

若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

6、与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为(    )

A.    B.    C.   D.

7、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上，焦距为4,离心率为,则该椭圆的方程为（  ）

A． B． C． D．

8、设双曲线的右焦点为F(c, 0), 方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1, x2，则点P(x1, x2) （    ）

A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2外

C．必在圆x2＋y2＝2上 D．以上三种情况都有可能

9、已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线上存在点，使得，则此双曲线的离心率的取值范围是（   ）

A．    B．    C．   D．

10、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　　）

A．圆         B．椭圆      C．双曲线        D．抛物线

11、设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是（     ）

(      )

A．  B． C． D．

12、已知椭圆C：的右焦点为F，右准线为，点，线段AF交椭圆C于B，若，则等于（  ）

A．    B．2    

C．    D．3

13、椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ·=            .

14、已知圆O过椭圆的两焦点且关于直线对称，则圆O的方程为           .

15、设为椭圆上的任意一点，为其两焦点，则的最大值是__________．

16、

设分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线左支上一点， 是的中点，且， ，则双曲线的离心率为_________________

17、已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

18、已知椭圆及直线：．

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．

19、已知椭圆G：(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．

(1)求椭圆G的方程；

(2)求△PAB的面积．

20、如图，椭圆C：＋＝1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点．

(1) 求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上；

(2) 过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于B)，且它们的斜率k1、k2满足k1k2＝－，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标．

21、已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，求的最小值.

22、已知椭圆（）的短轴长等于长轴长的一半，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为，直线与椭圆交于不同的两点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若的面积为1，求直线的方程．

参考答案

1、答案B

利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．

详解

解：双曲线即，其中a=2，b=1，

故其渐近线方程是：．

故选：B．

名师点评

本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．

2、答案C

如图所示，

由已知可设，，∵点P,Q在抛物线上，∴

∴∴P（4,8），Q（-2.，2），又∵抛物线可化为∴

∴过点P的切线斜率为，∴过点Q的切线为，即

联立，解得，∴点A的纵坐标为-4.

考点定位：本小题考查抛物线和导数知识，意在考查考生对抛物线的理解以及对利用导数求切线方程的理解

3、答案B

画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．

详解

取AB中点C，连结MC，

过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，

以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，

根据抛物线性质，∴MC平行于x轴，且MF⊥AB，

∵∠AMF=60°，∴∠CAM=∠CMA=30°，

∴∠CMF=∠MFO=30°，

故答案为：B

名师点评

（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查平面几何知识，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明MC平行于x轴，且MF⊥AB.

4、答案B

,焦点在y轴上，所以双曲线的方程为选B.

5、答案D

分析

根据题意得出2=4×2c，即可得出离心率大小．

详解

∵椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，

∴2=4×2c，

即=，

∴e=，

故选：D．

名师点评

求解离心率的常用方法

6、答案D

7、答案C．

由题意，设椭圆的标准方程为；则，解得，即椭圆的标准方程为．

考查目的：椭圆的标准方程．

8、答案

由已知可得，, ,

＝，点必在圆外，选.

考查目的：1.双曲线的几何性质；2.圆的方程.

9、答案C

，选C.

考查目的：双曲线离心率

方法名师点评解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

10、答案C

由垂直平分线的性质可知可得 ，结合双曲线定义可知点Q的轨迹是以为焦点的双曲线

考查目的：双曲线定义

11、答案D

转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）.

详解：设，圆心为，

则，

当时，取到最大值，∴最大值为．

故选：D.

名师点评

本题考查圆上点与椭圆上点的距离的最值问题，解题关键是圆上的点转化为圆心，利用圆心到动点距离的最值加（或减）半径得出结论．

12、答案A

13、答案

14、答案

椭圆的两焦点为

由题意设圆心，因为圆O过椭圆的两焦点且关于直线对称，，

圆心为半径为，所以圆O的方程为

考查目的：椭圆的性质与圆的方程

15、答案9

16、答案

分析

运用双曲线的定义和△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|=|PF2|2，=|F1F2|2．，由离心率公式，计算即可得到离心率．

详解

P为双曲线左支上的一点，
则由双曲线的定义可得，|PF2|-|PF1|=2a，
由|PF2|=2|PF1|，则|PF2|=4a，|PF1|=2a，
∵M是PF1的中点，且OM⊥PF1
∴由△PF1F2为直角三角形，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∴5a2=c2
即有e=．
即答案为．

名师点评

本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．

17、答案

试题分析：设直线l：y＝kx＋2，联立直线方程和椭圆方程得到韦达定理，再由＝x1x2＋y1y2>0和Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0得到直线l的斜率k的取值范围．

详解

显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－.①

又0°<∠AOB<90°？cos∠AOB>0？>0，

所以＝x1x2＋y1y2>0.

又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝，

所以>0，即k2<4.

所以－2<k<2.②

综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为.

名师点评

（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是把∠AOB(O为坐标原点)为锐角转化为＝x1x2＋y1y2>0.

18、答案（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为．

19、答案解：由已知得，，．解得．

又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为．

答案解：设直线l的方程为y＝x＋m．

由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0．①

设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB中点为E(x0，y0)，

则，y0＝x0＋m＝．

因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．

所以PE的斜率．解得m＝2．

此时方程①为4x2＋12x＝0．解得x1＝－3，x2＝0．

所以y1＝－1，y2＝2．所以|AB|＝．此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝．

20、答案(1) 由题意，得A(4，0)，B(0，2)，D(0，－2)，E(2，0)，P(4，1)．所以直线DE的方程为y＝x－2，直线BP的方程为y＝－x＋2.解方程组得所以直线DE与直线BP的交点坐标为.因为＋＝1，所以点在椭圆＋＝1上．即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．

(2) 直线BR的方程为y＝k1x＋2.解方程组得或

所以点R的坐标为.因为k1k2＝－，所以直线BS的斜率k2＝－.直线BS的方程为y＝－x＋2.解方程组得或所以点S的坐标为.所以R、S关于坐标原点O对称，故R、O、S三点共线，即直线RS过定点O，O点坐标为(0，0)．

21、答案9

试题分析：根据双曲线的定义，将的最小值转化为求的最小值即可求解.

详解：由题意可知，点在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为,则，由双曲线定义，得，而，两式相加，得，当且仅当三点共线时等号成立，则的最小值为9.

名师点评

本题主要考查双曲线的定义，考查转化与化归思想，属于基础题.

22、答案（1）；（2）．

试题分析：（1）因为椭圆C上的点到右焦点的最短距离为，所以根据条件可得方程组，解方程组即得，（2）利用原点到直线的距离得三角形的高，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理、弦长公式可得三角形底边长，再根据面积为1，解出的值，得出直线的方程．

试题（1）由题意可知：，

解得，

∴椭圆的方程为．

（2）将直线：与椭圆：联立，可得，

由，得，

，，

∴

原点到直线：的距离．

∴

∴

∴直线的方程为：．