高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 点在空间直角坐标系中的坐标达标测试

第三章空间向量与立体几何

§1　空间直角坐标系

1.1　点在空间直角坐标系中的坐标　1.2　空间两点间的距离公式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为(　　)

A.2 B.1 

C.5 D.3

答案A

解析在空间直角坐标系中,点P(1,-2,5)到坐标平面xOz的距离为d==2.故选A.

2.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(2,-1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是(　　)

A.(2,1,3) B.(-2,-1,3)

C.(2,1,-3) D.(2,-1,-3)

答案B

3.在空间直角坐标系O-xyz中,对于点(0,m2+2,m),下列结论正确的是(　　)

A.此点在xOy坐标平面上 

B.此点在xOz坐标平面上

C.此点在yOz坐标平面上 

D.以上都不对

答案C

解析若m=0,点(0,2,0)在y轴上;若m≠0,点的横坐标为0,纵坐标大于0,竖坐标不为0,点(0,m2+2,m)在yOz坐标平面上.综上所述,点(0,m2+2,m)一定在yOz平面上.故选C.

4.与A(3,4,5),B(-2,3,0)两点距离相等的点M(x,y,z)满足的条件是(　　)

A.10x+2y+10z-37=0

B.5x-y+5z-37=0

C.10x-y+10z+37=0

D.10x-2y+10z+37=0

答案A

解析由|MA|=|MB|,得(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=(x+2)2+(y-3)2+z2,化简得10x+2y+10z-37=0,故选A.

5.点P(3,-2,2)在xOz平面内的投影为B(x,y,z),则x+y+z=.

答案5

解析因为点P(3,-2,2)在xOz平面内的射影为B(3,0,2),

所以x=3,y=0,z=2,

所以x+y+z=3+0+2=5.

6.点M(-1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,则|M1M2|=　　　　　. 

答案4

解析∵点M1与点M关于x轴对称,点M2与点M关于xOy平面对称,

∴M1(-1,-2,-3),M2(-1,2,-3),

∴|M1M2|==4.

7.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,2,2),则|OA|=　　　　　;点A到坐标平面yOz的距离是　　　　　. 

答案3　1

解析根据空间两点间的距离公式,得

|OA|==3.

∵点A(1,2,2),∴点A到平面yOz的距离为1.

8.(1)写出点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标;

(2)写出点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标.

解(1)点P(1,3,-5)关于原点对称的点的坐标为(-1,-3,5);

(2)点P(1,3,-5)关于x轴对称点的坐标为(1,-3,5).

9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1.试建立适当的空间直角坐标系,写出点E,F的坐标.

解建立如图所示空间直角坐标系.

点E在xDy平面上的投影为点B,点B坐标为(1,1,0),点E的竖坐标为,

所以E.

点F在xDy平面上的投影为BD的中点G,点G的坐标为,0,点F的竖坐标为1,

所以F.

等级考提升练

10.在空间直角坐标系O-xyz中,点A在z轴上,它到点(2,1)的距离是,则点A的坐标是(　　)

A.(0,0,-1) B.(0,1,1)

C.(0,0,1) D.(0,0,13)

答案C

解析选项A的距离为,选项C的距离为,选项D的距离为,故选C.

11.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是(　　)

A.关于x轴对称

B.关于xOy平面对称

C.关于坐标原点对称

D.以上都不对

答案A

12.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是(　　)

A. B.c

C.|c| D.a+b

答案C

解析点P在xOy平面的投影点的坐标是P'(a,b,0),

∴|PP'|2=(a-a)2+(b-b)2+(c-0)2=c2,

∴点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是|c|.故选C.

13.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为(　　)

A.3 B.3

C.2 D.2

答案B

解析|AB|=,

当a=-1时,|AB|min==3.

14.(多选题)已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为(　　)

A.(0,0,10) B.(0,10,0)

C.(0,0,-2) D.(0,0,2)

答案AC

解析设点B的坐标为(0,0,c),由空间两点间距离公式可得|AB|==7,解得c=-2或10,所以B点的坐标为(0,0,10)或(0,0,-2).

15.已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC是　　　　　三角形.(填三角形的形状) 

答案等腰

解析由空间两点间距离公式可求得三角形三边长分别为|AB|=,|AC|=,|BC|=.所以△ABC为等腰三角形.

16.设y为任意实数,相应的所有点P(1,y,3)的集合图形为　　　　　. 

答案过点(1,0,3)且平行于y轴的一条直线

解析由空间中点的坐标特点可知,由于x轴上坐标与z轴上坐标已确定,所以点P的集合为过(1,0,3)且平行于y轴的一条直线.

17.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,|AP|=|AB|=2,|BC|=2,E,F分别是AD,PC的中点.求证:PC⊥BF,PC⊥EF.

证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

∵|AP|=|AB|=2,|BC|=2,四边形ABCD是矩形,

∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

∴|PB|==2,∴|PB|=|BC|,

又F为PC的中点,∴PC⊥BF.

∵E(0,,0),

∴|PE|=,|CE|=,

∴|PE|=|CE|,

又F为PC的中点,∴PC⊥EF.

新情境创新练

18.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,AC⊥BC,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点,连接EF,MN.如图所示,建立空间直角坐标系.

(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形;

(2)能否在线段MN上求得一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若能,请求出点Q的坐标;若不能,请予以证明.

解(1)因为直线EF是AB的垂直平分线,所以在平面ABB1A1内只有线段EF上的点到A,B两点的距离相等,又A(2,0,0),B(0,4,0),设点P坐标为(1,2,m),由|PA|=|AB|得.

所以m2=15.

因为m∈[0,4],所以m=.故平面ABB1A1内的点P(1,2,),使得△ABP为等边三角形.

(2)设MN上的点Q(0,2,n)满足题意,由AB为Rt△AQB斜边,且F为AB中点,

所以|QF|=|AB|,又F(1,2,0),

则

=,

整理得.所以n2=4.

因为n∈[0,4],所以n=2.故MN上存在点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.