高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 离散型随机变量的方差课后练习题

课后素养落实(四十二)　离散型随机变量的方差

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为(　　)

A．无法求　　B．0　　　　C．EX　　　　D．2EX

B　[∵EX是一个常数，∴E(X－EX)＝EX－EX＝0．]

2．已知随机变量X的分布列是

则DX等于(　　)

A．0　　B．0.8　　C．2　　D．1

B　[∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，

∴DX＝0.4×(1－2)2＋0.2×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝0.8．]

3．若随机变量X的分布列为

其中p∈(0，1)，则(　　)

A．EX＝p，DX＝p3 B．EX＝p，DX＝p2

C．EX＝q，DX＝q2 D．EX＝1－p，DX＝p－p2

D　[由于p＋q＝1，所以q＝1－p．从而EX＝0×p＋1×q＝q＝1－p，

DX＝[0－(1－p)]2p＋[1－(1－p)]2q＝(1－p)2p＋p2(1－p)＝p－p2．]

4．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的分布列如下：

甲、乙两名工人的技术水平较好的为(　　)

A．一样好　　B．甲　　C．乙　　D．无法比较

C　[工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为：

Eξ＝0×＋1×＋2×＝0.7，Dξ＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81．

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

Eη＝0×＋1×＋2×＝0.7，Dη＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61．

由Eξ＝Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定．]

5．若随机变量ξ的分布列为P( ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于(　　)

A．0　　B．2　　C．4　　D．无法计算

A　[在分布列中概率的和为1，则a＋＝1，a＝．

∵Eξ＝2，∴＋＝2．∴m＝6－2n．

∴Dξ＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2．

∴n＝2时，Dξ取最小值0．]

二、填空题

6．随机变量ξ的分布列如下：

其中a＋c＝2b，若Eξ＝，则Dξ＝________．

　[由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③，以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故Dξ＝．]

7．若X的分布列为

则D等于________．

　[∵EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝，

∴DX＝×＋×＋×＋× ＝，

∴D＝DX＝．]

8．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．

　[X的分布列为

则Eξ＝1×＋3×＋5×＝，Dξ＝．]

三、解答题

9．已知随机变量X的分布列为

求EX，DX，D(2X－3)．

[解]　∵0.2＋0.3＋a＋0.2＝1，∴a＝0.3．

∴EX＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.3＋3×0.2＝1.5．

∴DX＝(0－1.5)2×0.2＋(1－1.5)2×0.3＋(2－1.5)2×0.3＋(3－1.5)2×0.2＝1.05．

∴D(2X－3)＝4DX＝4.2．

10．海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列为：

根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．

[解]　∵EX1＝0，EX2＝0，∴EX1＝EX2．

又∵DX1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋02×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，

DX2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋02×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，

∴DX1<DX2．

∴大钟A的质量较好．

11．已知随机变量ξ的分布列为

若Eξ＝，则Dξ＝(　　)

A．　　B．　　C．　　D．1

A　[由分布列性质，得x＋y＝0.5．

又Eξ＝，得2x＋3y＝，可得

Dξ＝×＋×＋×＝．]

12．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，则(　　)

A．EX＝1　DX＝1 B．EX＝2　 DX＝1

C．EX＝1　DX＝2 D．EX＝2　DX＝2

A　[X的所有可能取值为0，1，3，

X＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，所以P(X＝0)＝＝；

X＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，所以P(X＝1)＝＝；

X＝3表示三位学生全坐对了，只有1种情况，所以P(X＝3)＝＝．

所以X的分布列为

所以EX＝0×＋1×＋3×＝1，DX＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．]

13．(多选题)已知X的分布列如下表所示：

则下列式子中，正确的有(　　)

A．EX＝－ B．DX＝

C．E(2X)＝－ D．D(2X)＝

ABC　[由均值与方差的定义知，

EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－＋＝－，

DX＝×＋×＋×＝，

所以E(2X)＝2EX＝－，D(2X)＝4DX＝．

故ABC正确．]

14．(一题两空)已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则EX＝________，DX＝________．

　　[因为X的取值为0，1，

P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝1－＝，

所以EX＝0×＋1×＝，DX＝×＋×＝．]

15．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

[解]　(1)随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．

P(X＝0)＝××＝，

P(X＝1)＝××＋××＋××＝，

P(X＝2)＝××＋××＋××＝，

P(X＝3)＝××＝．

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．

(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)

＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)

＝×＋×＝．

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．