高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.2 独立性检验学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.2 独立性检验学案，共11页。学案主要包含了补偿训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。
必备知识·自主学习
1．2×2列联表及随机事件的概率
(1)2×2列联表：如果随机事件A与B的样本数据如下表格形式
在这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．
(2)2×2列联表中随机事件的概率：
如上表，记n＝a＋b＋c＋d，则
事件A发生的概率可估计为；
事件B发生的概率可估计为；
事件AB发生的概率可估计为．
事件，A发生的概率估计值分别是多少？
提示：P＝ eq \f(b＋d,n) ，P＝ eq \f(c,n) .
2．独立性检验
(1)定义：在2×2列联表中，定义随机变量
χ2＝ eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ad－bc))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋d))) ，任意给定α(称为显著性水平)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，
①若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称A与B有关)，或说有1－α的把握认为A与B有关；
②若χ26.635.
所以，我们有99%的把握认为父母吸烟对子女是否吸烟有影响．
类型三 独立性检验的综合问题(数据分析、逻辑推理、数学运算)
【典例】(2020·新高考全国Ⅰ卷)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面2×2列联表：
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？
附：χ2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) .
独立性检验综合应用的方法策略
1．独立性检验在实际中有着广泛的应用，是对实际生活中数据进行分析的一种方法，通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用．
2．近几年高考中较少单独考查独立性检验，经常与统计、概率等知识综合．频率分布表、频率分布直方图与独立性检验融合在一起是常见的考查形式，一般需要根据条件列出2×2列联表，计算χ2值，从而解决问题．
(2020·全国Ⅲ卷)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：χ2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ，
【解析】(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为 eq \f(2＋16＋25,100) ＝0.43，等级为2的概率为 eq \f(5＋10＋12,100) ＝0.27，等级为3的概率为 eq \f(6＋7＋8,100) ＝0.21，等级为4的概率为 eq \f(7＋2＋0,100) ＝0.09.
(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为 eq \f(100×20＋300×35＋500×45,100) ＝350.
(3)2×2列联表如下：
χ2的观测值k＝ eq \f(100×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(33×8－37×22))2,70×30×55×45) ≈5.820＞3.841，
因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
课堂检测·素养达标
1．对于分类变量X与Y的随机变量χ2值，下列说法正确的是( )
A．χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．χ2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
【解析】选B.χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．
2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有99%以上的把握认为A与B有关系( )
A．χ2＝2.715 B．χ2＝3.910
C．χ2＝6.165 D．χ2＝7.014
【解析】选D.因为7.014>6.635，查阅χ2表知有99%的把握认为A与B有关系．
3．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有( )
A．①②③ B．②④⑤
C．②③④⑤ D．①②③④⑤
【解析】选B.独立性检验是判断两个随机事件是否有关系的方法，而①③都是求概率问题，不能用独立性检验．
4．下面2×2列联表中
a，b的值分别为________.
【解析】因为a＋21＝73，所以a＝52.
又因为a＋2＝b，所以b＝54.
答案：52，54
5．(教材二次开发：例题改编)调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到数据：出生时间在晚上的男婴为24人，女婴为8人；出生时间在白天的男婴为31人，女婴为26人．
(1)将下面的2×2列联表补充完整；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿性别与出生时间有关系？
【解析】(1)
(2)由所给数据计算得：
χ2＝ eq \f(89×（24×26－31×8）2,55×34×32×57) ≈3.689>2.706.
根据临界值表知P(χ2≥2.706)≈0.1.
因此在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关系．α＝P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
B
eq \x\t(B)
总计
A
8
4
12
eq \x\t(A)
2
16
18
总计
10
20
30
年龄在六十岁以上
年龄在六十岁以下
总计
饮食以蔬菜为主
43
21
64
饮食以肉类为主
27
33
60
总计
70
54
124
平均每周进行长跑训练的天数
不大于2天
3天或4天
不少于5天
人数
30
130
40
热烈参与者
非热烈参与者
总计
男
140
女
55
总计
热烈参与者
非热烈参与者
总计
男
35
105
140
女
5
55
60
总计
40
160
200
能接种
不能接种
总计
18－59岁内
40
20
60
18－59岁外
20
30
50
总计
60
50
110
α＝P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
α＝P(χ2≥k)
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
成绩不及格
成绩及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
视力好
视力差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
父母吸烟
父母不吸烟
总计
子女吸烟
237
83
320
子女不吸烟
678
522
1 200
总计
915
605
1 520
PM2.5
SO2
[0，50]
(50，150]
(150，475]
[0，35]
32
18
4
(35，75]
6
8
12
(75，115]
3
7
10
PM2.5
SO2
[0，150]
(150，475]
[0，75]
(75，115]
α＝P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
α＝P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
人次≤400
人次＞400
空气质量好
33
37
空气质量不好
22
8
晚上
白天
总计
男婴
女婴
总计
晚上
白天
总计
男婴
24
31
55
女婴
8
26
34
总计
32
57
89