人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.3 统计模型4.3.1 一元线性回归模型学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.3 统计模型4.3.1 一元线性回归模型学案，共18页。学案主要包含了思路导引，补偿训练等内容，欢迎下载使用。

必备知识·自主学习
1．相关关系
(1)两个变量的关系
(2)散点图：将样本中n对数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．
(3)线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关．
(4)正相关与负相关
正相关与负相关是对所有具有相关关系的两个变量而言的，对吗？
提示：不对，正相关与负相关是针对线性相关关系而言的．
2．回归直线方程及其性质
(1)最小二乘法
一般地，已知变量x与y的n对成对数据 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi，yi)) ，i＝1，2，3，…，n，任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值i＝bxi＋a，如果一次函数＝x＋能使残差平方和即取得最小值，则＝x＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线).因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法．
(2)回归直线方程的系数计算公式
(3)回归直线方程的性质
①回归直线方程一定过点．
②一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是>0．
③回归系数的实际意义：当x增大一个单位时，增大个单位．
(1)求回归直线方程的目的是什么？
提示：回归直线方程确定之后，就可用于预测．
(2)正相关、负相关与的符号有何关系？
提示：y与x正相关的充要条件是>0，y与x负相关的充要条件是<0.
3．相关系数
(1)相关系数：统计学里一般用
＝来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数).
(2)相关系数的性质
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) 的大小有何实际意义？
提示： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) 越小，两个变量之间的线性相关性越弱，得到的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实情况； eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) 越大，两个变量之间的线性相关性越强，得出的回归直线方程越有价值．
1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)回归直线方程一定过样本中的某一个点．( × )
提示：回归直线方程一定过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(x)，\x\t(y))) ，可能过样本中的某个或某些点，也可能不过样本中的任意一个点．
(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．( × )
提示：相关系数|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱．
(3)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程．( × )
提示：选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程不一定是同一个方程．
2．根据一组数据判断是否线性相关时，应选哪个图( )
A．扇形图 B．频率分布直方图
C．散点图 D．频率分布折线图
【解析】选C.判断两个变量是否有线性相关关系时，应先画出散点图．若这些点大体分布在一条直线附近，则数据具有线性相关关系．
3．(教材二次开发：例题改编)若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为________kg.
【解析】把x＝80代入回归方程可得其预测值＝5×80＋250＝650(kg).
答案：650
关键能力·合作学习
类型一 相关关系与线性相关关系的判断(数据分析)
角度1 相关关系的判断
【典例】(多选题)下列关系中，属于相关关系的是( )
A．正方形的边长与面积之间的关系
B．生活习惯与健康状况的关系
C．人的身高与年龄之间的关系
D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
【思路导引】紧扣相关关系的概念加以判断．
【解析】选BD.在A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在B中，生活习惯与健康状况不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在C中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
下列两个变量间的关系不是函数关系的是( )
A．圆的半径与周长
B．角的度数与它的正切值
C．粮食亩产量为常数时，土地面积与粮食总产量
D．日照时间与水稻的单位产量
【解析】选D.函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系．因为A项C＝2πr，B项y＝tan α，C项y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系；D项是相关关系．
角度2 线性相关关系的判断
【典例】某市天然气消耗量y(单位：百万立方米)与使用天然气户数x(单位：万户)的历史记录的资料如表所示：
判断变量x，y之间是否具有线性相关关系．
【思路导引】根据散点图判断．
【解析】画出散点图如图所示，
由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故天然气消耗量y(百万立方米)与使用天然气户数x(万户)具有线性相关关系．
1．函数关系与相关关系
函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种不确定的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．两个变量是否相关的两种判断方法
(1)实际经验法：借助积累的经验进行分析判断；
(2)散点图法：绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
1．下列说法正确的是( )
A．相关关系是函数关系
B．函数关系是相关关系
C．线性相关关系是一次函数关系
D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
【解析】选D.函数关系和相关关系互不包含，所以A，B，C三项不正确；根据定义，相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系．
2．试从各散点图中点的分布状况，直观上判断两个量之间有线性相关关系的是
( )
【解析】选C.在A中，点的分布毫无规律，横轴、纵轴表示的两个量之间的相关程度很小．在B中，所有的点严格地分布在一条直线上，横轴、纵轴表示的两个量之间有确定的关系——函数关系．在C中，点的分布基本上集中在一个带状区域内，横轴、纵轴表示的两个变量之间有线性相关关系．在D中，点的分布基本上集中在由某条曲线两侧组成的带状区域内，因此横轴、纵轴表示的两个变量也有相关关系，只是它是非线性相关关系．
类型二 回归直线方程及其应用(数据分析、数学运算)
角度1 求回归直线方程并预测
【典例】某种产品的广告费用支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？
【思路导引】
(1)按表中的数据在平面直角坐标系中描点即得散点图；
(2)由公式求出， ，写出回归直线方程；
(3)利用回归方程分析．
【解析】(1)散点图如图所示：
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
所以 eq \x\t(x) ＝ eq \f(25,5) ＝5， eq \x\t(y) ＝ eq \f(250,5) ＝50， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) ＝145， eq \i\su(i＝1,5,x) iyi＝1 380.
于是可得＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,5,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －5\x\t(x)2) ＝ eq \f(1 380－5×5×50,145－52×5) ＝6.5，＝ eq \x\t(y) － eq \x\t(x) ＝50－6.5×5＝17.5.
所以所求的线性回归方程为＝6.5x＋17.5.
(3)根据(2)求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，
即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．
本例条件不变，若已知线性回归方程为＝x＋5，预测当广告费用支出为1百万元时，销售额大约为多少百万元？
【解析】由题意得， eq \x\t(x) ＝ eq \f(25,5) ＝5， eq \x\t(y) ＝ eq \f(250,5) ＝50，代入回归直线方程得50＝5＋5，所以＝9，所以回归直线方程为＝9x＋5，当x＝1时，＝14. 即广告费用支出为1百万元时，销售额大约为14百万元．
角度2 回归直线方程的性质
【典例】某企业的某种产品产量与单位成本数据如表：
(1)试确定回归直线方程；
(2)指出产量每增加1千件时，单位成本下降多少？
(3)产量为6千件时，单位成本是多少？
【思路导引】(1)由公式求出，，写出回归直线方程；
(2)将回归直线方程中的x用x＋1来代替，观察的变化；
(3)将x＝6代入回归直线方程，求得．
【解析】(1)＝21，＝426，＝79，
＝30 268，＝1 481， eq \x\t(x) ＝3.5， eq \x\t(y) ＝71，
＝ eq \f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,6,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －6\x\t(x)2) ＝ eq \f(1 481－6×3.5×71,79－6×3.52) ＝ eq \f(－10,5.5) ≈－1.818，＝ eq \x\t(y) － eq \x\t(x) ≈71＋1.818×3.5＝77.363，所以回归直线方程为＝77.363－1.818x.
(2)产量每增加1千件时，单位成本下降1.818元．
(3)当x＝6千件时，＝66.455元/千件，
所以当产量为6千件时单位成本大约为66.455元/千件．
本例已知条件不变，单位成本为70元/千件时，产量应为多少？
【解析】当＝70元/千件时，x≈4.05千件，所以当单位成本为70元/千件时，产量大约为4.05千件．
角度3 线性相关性强弱的判断
【典例】某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：
x与y之间是否具有线性相关关系？若有，判断相关性的强弱，并求其回归直线方程．
【思路导引】利用散点图判断是否线性相关，利用相关系数判断相关性的强弱．
【解析】散点图如图所示，由图可知x，y有线性相关关系．
eq \x\t(x) ＝5， eq \x\t(y) ＝47.5，＝120，＝9 900，
＝1 080，r＝ eq \f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\t(x) \x\t(y),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\i\su(i＝1,4,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －4\x\t(x)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\i\su(i＝1,4,y) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －4\x\t(y)2))))
＝ eq \f(1 080－4×5×47.5,\r(（120－4×52）（9 900－4×47.52）)) ≈0.982 7.
故x与y之间具有很强的线性相关关系．
由公式得回归系数
＝ eq \f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,4,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －4\x\t(x)2) ＝ eq \f(1 080－4×5×47.5,120－4×52) ＝6.5，
＝ eq \x\t(y) － eq \x\t(x) ＝47.5－6.5×5＝15.
故y对x的回归直线方程为＝6.5x＋15.
1．线性回归分析的步骤
(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)；
(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系；
(3)计算 eq \x\t(x) ， eq \x\t(y) ，，；
(4)代入公式计算相关系数，确定相关性的强弱；
(5)代入公式计算，，写出回归直线方程＝x＋；
(6)利用回归直线方程进行预测．
2．(1)点( eq \x\t(x) ， eq \x\t(y) )在回归直线上，点( eq \x\t(x) ， eq \x\t(y) )的坐标满足回归直线方程．
(2)回归系数的几何意义是回归直线的斜率，>0时，x与y正相关；<0时，x与y负相关．
(3)回归系数的实际意义是x每增加一个单位时，增加的单位．
1．随着经济水平的提高，智能家居已成为生活中的热点，应用于寻常百姓家中的比例逐年上升．智能家居与传统家居的最大区别在于用电器的开关控制，由过去的人工控制变成智能终端控制．某生活家居馆新推出一套智能家居产品，为了占领市场，举行为期六周的“感恩有你，钜惠给你”低价风暴活动，到第五周末该生活家居馆对前五周销售情况进行统计，得到统计表格如表(y表示第x周确定订购的数量)，且通过散点图发现y与x具有线性相关关系．
(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(2)预测第六周订购智能家居产品的数量能否超过28.
参考公式：＝＝ eq \x\t(y) － eq \x\t(x) .
【解析】(1)依题意： eq \x\t(x) ＝ eq \f(1,5) ×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， eq \x\t(y) ＝ eq \f(1,5) ×(5＋9＋12＋16＋23)＝13，
所以＝
＝
＝ eq \f(16＋4＋3＋20,10) ＝ eq \f(43,10) ＝4.3，则＝13－4.3×3＝0.1，
故所求回归直线方程为＝4.3x＋0.1.
(2)将x＝6，代入＝4.3x＋0.1中，得＝4.3×6＋0.1＝25.9≈26，故预测第六周订购智能家居产品的数量为26，不会超过28.
2．一般来说，一个人的身高越高，他的手就越大，为调查这一问题，对某校10名高一男生的身高x与右手长度y进行测量得到如表数据(单位：cm)：
(1)判断两者有无线性相关关系；
(2)如果具有线性相关关系，判断相关性的强弱并求回归直线方程；
(3)如果一名同学身高为185 cm，估计他的右手长度．
【解析】(1)散点图如图所示．
可见，身高与右手长度之间的总体趋势成一条直线，即它们具有线性相关关系．
(2)设回归直线方程是＝＋x.
根据表中数据可由计算器计算得 eq \x\t(x) ＝174.8， eq \x\t(y) ＝21.7，
＝305 730，＝37 986，＝4 729.5.
＝ eq \f(37 986－10×174.8×21.7,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(305 730－10×174.82))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4 729.5－10×21.72))))
＝ eq \f(54.4,\r(179.6×20.6)) ≈0.9.
故两者有很强的线性相关关系．
＝ eq \f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,10,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －10\x\t(x)2) ＝ eq \f(37 986－10×174.8×21.7,305 730－10×174.82) ≈0.303，
＝ eq \x\t(y) － eq \x\t(x) ≈－31.264.
所以回归直线方程为＝0.303x－31.264.
(3)当x＝185时，＝0.303×185－31.264＝24.791≈24.8(cm)，故该同学的右手长度可估测为24.8 cm.
【补偿训练】
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位： cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得 eq \x\t(x) ＝ eq \f(1,16) ＝9.97，
s＝ eq \r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16, )（xi－\x\t(x)）2) ＝ eq \r(\f(1,16)（\i\su(i＝1,16,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －16\x\t(x)2）) ≈0.212，
eq \r(\i\su(i＝1,16, )（i－8.5）2) ≈18.439， eq \i\su(i＝1,16, ) (xi－ eq \x\t(x) )(i－8.5)
＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.
(1)求(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在( eq \x\t(x) －3s， eq \x\t(x) ＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
(ii)在( eq \x\t(x) －3s， eq \x\t(x) ＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)
附：样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数
eq \r(0.008) ≈0.09.
【解析】(1)≈ eq \f(－2.78,0.212×\r(16)×18.439) ≈－0.18.
因为|r|＜0.25，所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
(2)(i) eq \x\t(x) ＝9.97，s＝0.212，所以合格零件尺寸范围是(9.334，10.606)，
显然第13号零件尺寸不在此范围之内，
所以需要对当天的生产过程进行检查．
(ii)剔除离群值后，剩下的数据平均值为 eq \f(1,15) ×(16×9.97－9.22)＝10.02，
≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
所以剔除离群值后样本方差为 eq \f(1,15) ×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
所以剔除离群值后样本标准差为 eq \r(0.008) ≈0.09.
类型三 非线性回归(数据分析、数学建模、数学运算)
【典例】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．
表中wi＝ eq \r(xi) ， eq \x\t(w) ＝ eq \f(1,8) .
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d eq \r(x) 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预测值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝ eq \x\t(v) － eq \x\t(u) .
非线性回归问题的解题步骤
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
(1)试建立y与x之间的回归方程；
(2)如果一名在校男生身高为168 cm，预测他的体重约为多少？
【解析】(1)根据表中的数据画出散点图，如图：
由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线的周围，于是令z＝ln y，列出表格：
作出散点图，如图：
由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为＝0.663＋0.020x，则有
＝e0.663＋0.020x.
(2)由(1)知，当x＝168时，＝e0.663＋0.020×168≈55.87，所以在校男生身高为168 cm，预测他的体重约为55.87 kg.
课堂检测·素养达标
1．设一个回归方程＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加1.2个单位 B．y平均增加3个单位
C．y平均减少1.2个单位 D．y平均减少3个单位
【解析】选A.由b＝1.2>0，故x增加一个单位时，y平均增加1.2个单位．
2．已知x与y之间的一组数据：
若y与x线性相关，则y与x的回归直线＝x＋必过( )
A．点(2，2) B．点(1.5，0)
C．点(1，2) D．点(1.5，4)
【解析】选D.因为 eq \x\t(x) ＝ eq \f(0＋1＋2＋3,4) ＝1.5， eq \x\t(y) ＝ eq \f(1＋3＋5＋7,4) ＝4，所以回归直线必过点(1.5，4).
3．(教材二次开发：练习改编)已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )
A. ＝1.5x＋2 B．＝－1.5x＋2
C．＝1.5x－2 D．＝－1.5x－2
【解析】选B.设回归方程为＝x＋，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以<0，>0，因此方程可能为＝－1.5x＋2.
4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm，她的体重应该在________kg左右．
【解析】用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，＝0.72×178－58.2＝69.96(kg).
答案：69.96
5．某个男孩的年龄与身高的统计数据如表所示．
(1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系．
【解析】(1)散点图如图所示．
(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系．导思
1.什么是两个变量之间的相关关系？什么是散点图？如何利用散点图来判断两个变量之间的相关关系？
2．如何求回归直线方程？它具有哪些性质？
3．如何求相关系数？它具有哪些性质？
4．如何求非线性回归方程？
分类
函数关系
相关关系
特征
两变量关系具有确定性
两变量关系带有随机性
正相关
负相关
一个变量增大，另一个变量大体上也增大
一个变量增大，另一个变量大体上减少
性质1
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) ≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0．
性质2
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) 越小，两个变量之间的线性相关性越弱， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) 越大，两个变量之间的线性相关性越强．
性质3
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) ＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上．
第i年
1
2
3
4
5
户数x/万户
1
1.2
1.6
1.8
2
天然气消耗量y/百万立方米
6
7
9.8
12
12.1
第i年
6
7
8
9
10
户数x/万户
2.5
3.2
4
4.2
4.5
天然气消耗量y/百万立方米
14.5
20
24
25.4
27.5
x/百万元
2
4
5
6
8
y/百万元
30
40
60
50
70
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
4
5
6
8
25
yi
30
40
60
50
70
250
xiyi
60
160
300
300
560
1 380
x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))
4
16
25
36
64
145
产量x(千件)
2
3
4
3
4
5
单位成本Y(元/千件)
73
72
71
73
69
68
x/百万元
2
4
6
8
y/百万元
30
40
50
70
x
1
2
3
4
5
y
5
9
12
16
23
身高x
168
170
171
172
174
176
178
178
180
181
右手长度y
19.0
20.0
21.0
21.5
21.0
22.0
24.0
23.0
22.5
23.0
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
身高x(cm)
60
70
80
90
100
110
体重y(kg)
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x(cm)
120
130
140
150
160
170
体重y(kg)
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
x
60
70
80
90
100
110
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
x
120
130
140
150
160
170
z
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
年龄x(岁)
1
2
3
4
5
6
身高y(cm)
78
87
98
108
115
120