人教A版 (2019)必修第一册3.4 函数的应用（一）背景图ppt课件

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| 自学导引 |
y＝ax2＋bx＋c　
【预习自测】一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为 (　　)A．y＝20－x(0x，所以0(一)审题；(二)建模；(三)解模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：
解决函数应用问题的步骤
| 课堂互动 |
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
题型1　一次函数、二次函数模型
素养点睛：考查数学运算和数学建模的核心素养解：(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)．因为0＝300k＋b，即b＝－300k，所以n＝k(x－300)．所以利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300])．因为k<0，所以x＝200时，ymax＝－10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150.所以商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．
一次函数、二次函数模型问题的两个注意点(1)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
1．加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，求最佳加工时间．
素养点睛：考查数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养．
(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]递增，在t∈(5，10]递减，所以ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)．②当10分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
2．某市营业区内住宅电话通话费用为前3 min0.20元，以后每分钟0.10元(前3 min不足3 min按3 min计，以后不足1 min按1 min计)．(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6 min内(包括6 min)的话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图象；(2)如果一次通话t min(t>0)，写出话费y(元)关于通话时间t(min)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数)．
解：(1)如下图所示．
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？素养点睛：考查数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养．
题型3　幂函数模型的应用
所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．
幂型函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式．(2)利用函数关系式解决相关问题．(3)回归到应用问题中去，给出答案．
3．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量．
| 素养达成 |
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化(体现了数学建模的核心素养)．4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．
1．(题型1)一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　)A．y＝2tB．y＝120tC．y＝2t(t≥0)D．y＝120t(t≥0)【答案】D【解析】90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0)．
【答案】D【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．
4．(题型3)某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图①)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图②)．(注：利润与投资额的单位均为万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润f(x)，g(x)表示为关于投资额x的函数；(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？

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