数学必修 第二册8.1 基本立体图形授课ppt课件

第八章　8.1　第1课时

A级——基础过关练

1．(2020年拉萨期末)下列几何体中是棱柱的有(　　)

A．1个　　 B．2个　　

C．3个　　 D．4个

【答案】C　【解析】根据棱柱的定义可知只有①③⑤是棱柱．故选C．

2．(多选)下列命题中错误的是(　　)

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱

C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

【答案】ACD　【解析】在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义知B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D错误．故选ACD．

3．如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是(　　)

A．三棱锥

B．四棱锥

C．三棱柱

D．组合体

【答案】B　【解析】余下部分是四棱锥A′-BCC′B′.

4．下列三种叙述，正确的有(　　)

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

A．0个　　 B．1个　　

C．2个　　 D．3个

【答案】A　【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③错．故选A．

5．下列图形中，不能折成三棱柱的是(　　)

【答案】C　【解析】C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱．

6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．

【答案】4　8　【解析】四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．

7．对如图所示的几何体描述正确的是________(写出正确结论的序号)．

①这是一个六面体；

②这是一个四棱台；

③这是一个四棱柱；

④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；

⑤此几何体可由四棱柱截去一个小三棱柱而得到．

【答案】①③④⑤　【解析】在①中，∵这个几何体有六个面，∴这是个六面体，故①正确；在②中，∵这个几何体的侧棱延长后不能交于同一点，所以这不是个四棱台，故②错误；在③中，如果把这个几何体的正面或背面作为底面就会发现这是一个四棱柱，故③正确；在④中，如图1所示，此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到，故④正确；在⑤中，如图2所示，此几何体可由四棱柱截去一个小三棱柱而得到，故⑤正确．故选①③④⑤.

图1　　　　　　图2

8．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.

【答案】　【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.

9．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.

(1)折起后形成的几何体是什么几何体？

(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？

(3)每个面的三角形面积为多少？

解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．

(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．

(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a·a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.

10．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，则该图形是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，则该图形是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．

(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.

B级——能力提升练

11．下列命题中，真命题是(　　)

A．顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥

B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

C．顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥

D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥

【答案】D　【解析】对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D，顶点在底面上的投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题．故选D．

12．如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③当E在AA1上时，AE＋BF是定值．

其中，正确的说法是(　　)

A．①②　　 B．①　　

C．①②③　　 D．①③

【答案】D　【解析】显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE-DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确．所以四个命题中①③正确．故选D．

13．从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：

①矩形的4个顶点；②每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；③每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；④有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论为________．

【答案】①②③④　【解析】如图所示，四边形ABCD为矩形，故①满足条件；四面体D-A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故②满足条件；四面体D-B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故③满足条件；四面体C-B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故④满足条件．故正确为①②③④.

14．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12,6,8，则长方体的体对角线长为________．

【答案】　【解析】设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则∴abc＝24.分别除以bc，ac，ab，得a＝4，b＝3，c＝2.∴体对角线长为＝.

15．如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．

解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．

∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，

∴∠AVA1＝90°.

又VA＝VA1＝4，

∴AA1＝4.

∴△AEF周长的最小值为4.

16．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．

解：如图1所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．

图1　　　　　　　　　图2

如图2所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．

C级——探索创新练

17．正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是________．

【答案】　【解析】将所给的正六棱柱按图1部分展开，则AD1＝＝，AD1′＝＝，∵AD1＜AD1′.∴从A点沿正侧面到上底面到D1的路程最短，最短路程为.

图1　　　　　　　　图2