第一章复习提升-2022版数学必修第二册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽略向量的方向致错

1.()已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则λ的值为              (　　)

A.1 B.0 C.-1 D.±1

2.()已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为 (　　)

A.

C.

3.()已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且||,则点P的坐标为　　　　　　　. 

易错点2　对向量夹角理解不清致错

4.()在边长为1的等边△ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a= (　　)

A.- D.3

5.()设a=(1,-2),b=(1,λ),且a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是              (　　)

A.(-∞,-2)∪ 

B.

C. 

D.

6.()已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,当向量a+λb与λa+b的夹角为钝角时,求实数λ的取值范围.

易错点3　忽略三角形边角关系的隐含条件致错

7.()设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,则a的取值范围是　　　　. 

8.()在△ABC中,三边a,b,c互不相等,且a为最长边,若a2<b2+c2,则A的取值范围是　　　　. 

9.(2020江西宜春高二期末,)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且4S=a2+b2-c2.

(1)求角C;

(2)若a=1,c=,求角B.

易错点4　忽略三角形解的个数致错

10.()已知△ABC中,B=30°,AB=2,AC=2,求△ABC的面积.

思想方法练

一、函数与方程思想在向量的运算及解三角形中的应用

1.()在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=3,c=7,C=60°,则b=　　　　. 

2.(2020福建三明高一上期末,)如图,在△OBC中,点A是BC的中点,点D在线段OB上,且OD=2DB,设=a,=b.

(1)若|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为,求(2a+b)·(a-b);

(2)若向量共线,求实数k的值.

3.(2020吉林长春普通高中高三质量检测,)在△ABC中,AB=6,AC=4.

(1)若sin B=,求△ABC的面积;

(2)若点D在BC边上且BD=2DC,AD=BD,求BC的长.

二、数形结合思想在向量的运算及解三角形中的应用

4.()在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=30°,AD为BC边上的高,若,则= (　　)

A.2 B.

5.()海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75°,距离为12 n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求:

(1)A处与D处之间的距离;

(2)灯塔C与D处之间的距离.

三、转化与化归思想在向量的运算及解三角形中的应用

6.(2020安徽合肥第八中学高二下学期期末,)如图,在四边形ABCD中,对角线BD垂直平分AC,垂足为O,若AC=4,则=              (　　)

A.2 B.4 C.8 D.16

7.(2020湖南长沙长郡中学高三上月考,)已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=6,AC=8,(α,β∈R),若sin2∠BAC·(t为实数)有最小值,则t的取值范围是　　　　. 

8.()如图所示,在△ABC中,已知点D在边BC上,且∠DAC=90°,cos∠DAB=,AB=6.

(1)若sin C=,求线段BC的长;

(2)若点E是BC的中点,AE=,求线段AC的长.

答案全解全析

易混易错练

1.C　∵向量a+λb与b+λa的方向相反,

∴(a+λb)∥(b+λa).

易知存在一个实数m,使得a+λb=m(b+λa),即(1-mλ)a=(m-λ)b,∵a与b不共线,∴1-mλ=m-λ=0,可得m=λ=±1.当λ=1时,向量a+b与b+a是相等向量,其方向相同,不符合题意,故舍去.∴λ=-1.

2.A　∵A(1,3),B(4,-1),

∴=(3,-4),||=5,

∴与.故选A.

3.答案　或(-5,8)

解析　设P(x,y),由||,得.

若,则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y).

所以

故P.

若,则同理可得

故P(-5,8).

综上,点P的坐标为或(-5,8).

4.A　如图所示,由题意可得a、b、c这三个向量两两夹角都是,且模都等于1,

故有a·b=b·c=c·a=1×1×cos,∴a·b+b·c+c·a=-,故选A.

5.A　∵a=(1,-2),b=(1,λ),且a与b的夹角为锐角,

∴a·b=1-2λ>0,即λ<,

又当λ=-2时,a与b的夹角为0°,

故实数λ的取值范围是(-∞,-2)∪.故选A.

6.解析　因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,

所以a·b=|a||b|cos 120°=1×2×=-1.

因为向量a+λb与λa+b的夹角为钝角,

所以(a+λb)·(λa+b)<0,且两向量不共线.

又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,

所以λ-(λ2+1)+4λ<0,

解得λ<.

当(a+λb)∥(λa+b)时,λ=±1,

所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪∪.

7.答案　(2,8)

解析　由2a+1,a,2a-1为三角形的三边长,可得2a-1>0,即a>,∴最大边长为2a+1,∴2a-1+a>2a+1,解得a>2.

∵三角形为钝角三角形,

∴a2+(2a-1)2<(2a+1)2,

解得0<a<8.

综上,2<a<8.

8.答案　{A|60°<A<90°}

解析　∵a2<b2+c2,∴b2+c2-a2>0,

则cos A=>0,∴A<90°.

又∵a为最长边,∴A>60°.

故A的取值范围是{A|60°<A<90°}.

9.解析　(1)∵S=absin C,∴4×absin C=a2+b2-c2,即sin C==cos C,

又0°<C<180°,∴C=45°.

(2)∵,∴sin A=.∵a<c,∴A<C,∴A=30°,∵A+B+C=180°,∴B=105°.

10.解析　由正弦定理,得sin C=,又AB>AC,

∴C=60°或C=120°.

当C=60°时,A=90°,S△ABC=AB·AC=2;

当C=120°时,A=30°,S△ABC=AB·ACsin A=.

故△ABC的面积为2.

思想方法练

1.答案　8

解析　由余弦定理得32+b2-72=2×3b×cos 60°,即b2-3b-40=0,

解得b=8或b=-5(舍去).故答案为8.

2.解析　(1)因为|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,所以a·b=|a|·|b|cos,所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=-1-3.

(2)由题图得,,所以,

因为=a,=b,所以=2a-b,=2a-b,

所以=a+k=(2k+1)a-kb.

若共线,则存在实数λ,使得=λ(),

即2a-b=λ,

所以(2-2λk-λ)a=b,

因为a与b不共线,所以

解得.

3.解析　(1)由正弦定理得,,

所以sin C=1,所以C=,

所以BC==2,

所以△ABC的面积S=.

(2)设DC=x,则AD=BD=2x,又cos∠ADB=-cos∠ADC,所以由余弦定理可得

解得x=(负值舍去),所以BC=3DC=5.

4.A　由题意得BD=AB·cos∠ABD=2×,∴BD=BC.

∴()=.

又,

∴λ=,μ=.

∴=2.故选A.

5.解析　由题意,画出示意图,如图所示.

(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,则∠B=45°.由正弦定理,得AD==24,即A处与D处之间的距离为24 n mile.

(2)在△ADC中,由余弦定理,得

CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°

=242+(8)2-2×24×8=(8)2,

∴CD=8,即灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.

6.C　因为对角线BD垂直平分AC,垂足为O,所以,⊥,即·=0,

所以,

则···×42=8,

故选C.

7.答案　

解析　如图所示,取AB的中点D,连接OD,

由于O是三角形ABC外接圆的圆心,故OD⊥AB,所以·|·||·cos∠OAB=||·|2=18,同理可得·|·||·cos∠OAC=||·|2=32.

由于(α,β∈R),

所以

即

解得

将上述结果代入sin2∠BAC·并化简,得cos2∠BAC-cos∠BAC+,

由于-1<cos∠BAC<1,cos2∠BAC-cos∠BAC+有最小值,所以结合二次函数的性质可知,

当-1<-<1时,cos2∠BAC-cos∠BAC+有最小值,由-1<-.

故答案为.

8.解析　(1)由条件可得sin∠BAC=sin(90°+∠DAB)=cos∠DAB=.

在△ABC中,,

所以,得BC=4.

(2)由(1)知sin∠BAC=,因为∠BAC为钝角,所以cos∠BAC=-.

由题意得,

所以()2=||·||cos∠BAC=4||2,

所以36+||=68,整理,得||-32=0,

解得||=8(负值舍去),所以线段AC的长为8.