2022-2023学年湘教版（2019）必修二第一章 平面向量及其应用 单元测试卷（含答案）

湘教版（2019）必修二第一章 平面向量及其应用 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知在中，，，，动点M位于线段BC上，则的最小值为(   )

A.0 B. C. D.

2、在中，，，则当函数取得最小值时，(   )

A. B. C.4 D.2

3、已知向量，，，且，则实数k的值为(   )

A. B.0 C.3 D.

4、已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则平行四边形ABCD的面积为(   )

A. B.9 C. D.11

5、非零向量a，b满足：，，则与b夹角的大小为(   )

A.135° B.120° C.60° D.45°

6、已知,,,则(   )

A. B. C.8 D.16

7、已知,,, 若, 则(   )

A. B. C. D.

8、已知正方形ABCD内接于半径为1的圆O，P是圆O上的一点（异于A，B，C，D），则的值为(   )

A.2 B.-2 C.4 D.-4

9、已知中，点D，E分别在边AB，BC上，且，.记，，则(   )

A. B. C. D.

10、已知点,,向量,,则与的夹角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

11、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若，其中x，，则的最大值是________.

12、如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为__________.

13、已知O是的外心，且，，，若，则________.

14、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则的面积为______________.

15、已知向量，，且与方向相反，则_________.

16、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则的周长为________.

三、解答题

17、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间?(，)

18、已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足.

（1）求角B的大小；

（2）若，设的面积为S，满足，求b的值.

19、如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离海里处有一个小岛C.

（1）求小岛A到小岛C的距离；

（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.

20、已知的三个内角的对边分别为，且

（1）若，判断的形状并说明理由；

（2）若是锐角三角形，求的取值范围

参考答案

1、答案：C

解析：在中，易知，所以，且，所以，所以当时，有最小值为.故选C.

2、答案：A

解析：因为函数，所以当时，函数取得最小值，此时，由余弦定理，得.

3、答案：C

解析：.又，，即，解得.故选C.

4、答案：D

解析：本题考查三角形面积的向量表达式.由四边形ABCD为平行四边形知，平行四边形ABCD的面积等于面积的2倍.因为，，所以，因此平行四边形ABCD的面积为11.故选D.

5、答案：A

解析：非零向量a，b满足，，由可得，，解得，，，故选A.

6、答案：A

解析:由已知,又,

,或(舍去,).

.

故选:A

7、答案： B

解析：因为, 所以，, , 所以 或, 又, 所以, 所以, 所以, 故选：B.

8、答案：A

解析：如图，以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则，，，.设，所以，，，，所以，，所以.故选A.

9、答案：A

解析：由题意可得，.故选A.

10、答案：A

解析:由题意,得,,则与的夹角的余弦值为.

11、答案：2

解析：建立如图所示的坐标系，

则，，即，设，则，

，，。

，，当时，有最大值2.

12、答案：

解析：因为BD的垂直平分线过点A，所以，则，所以.又因为在中，，，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因为，所以为锐角，所以，则，所以.

13、答案：

解析：本题考查平面向量的坐标运算.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，所以线段AB的垂直平分线的方程为，线段AC的垂直平分线的方程为，联立，得，因为，所以，则，解得，所以.

14、答案：

解析：由正弦定理知可化为

.

，.

，，则A为锐角，

，则，

.

15、答案：

解析：由题意知与平行，得，，当时，，，，与方向相反；当时，，，

，与方向相同.所以，因此.

16、答案：

解析：由及余弦定理，

得，所以①，又由正弦定理，

得与，得②，

③，由①②③联立解得，，，

故的周长为.

17、答案：缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船

解析：设缉私船追上走私船所需时间为t小时，则有，.
如图.

在中，，，，
由余弦定理得，，故.
根据正弦定理可得:，，
易知CB方向与正北方向垂直，从而.
在中，根据正弦定理可得:，
，，，
则有，小时分钟.
所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.

18、

（1）答案：

解析：由，得，

根据正弦定理，得.

因为，

所以，

所以.

因为，所以，所以，则.

（2）答案：

解析：由，得.

又由正弦定理得，

所以，解得.

19、

（1）答案：小岛A到小岛C的最短距离是海里

解析：在中，，，，

根据余弦定理得：

，

.

所以小岛A到小岛C的最短距离是海里.

（2）答案：小岛A到小岛C的最短距离是海里；游船应该沿北偏东60°的方向航行

解析：根据正弦定理得：，解得，

在中，，为锐角，，

.由得游船应该沿北偏东的方向航行，

答：小岛A到小岛C的最短距离是海里；游船应该沿北偏东60°的方向航行.

20、答案：（1）等边三角形（2）

解析：（1）由数量积的定义得，.

由余弦定理得

即

是等边三角形.

由正弦定理及得，即

因为，所以或

当时，是等腰三角形，此时，所以是等边三角形；

当，即时，是直角三角形，这与矛盾.

故是等边三角形.

（2）不妨设，由得，

于是

又因为是锐角三角形、所以，

即，因此

由余弦定理得，

令，则，函数在上单调递增.

所以，因此

故的取值范围是