第一章复习提升-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略集合中元素的意义导致错误
1.()方程组x+y=5,3x-4y=-6的解构成的集合是 (　　)
A.{x=2,y=3} B.{2,3}
C.{(2,3)} D.(2,3)
2.()已知集合M={(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0},N={-3,1},则M与N的关系是 (　　)
A.M=N B.M⊆N
C.M⊇N D.M,N无公共元素
3.()已知集合M={x|y=x2+2x+4},N={y|y=2x2+2x+3},则M∩N=　　　　　　　　. 
易错点2　忽略集合中元素的互异性导致错误
4.()已知集合P={x|-1≤x≤1},M={-a,a}.若P∪M=P,则实数a的取值范围是 (　　)
A.{a|-1≤a≤1} B.{a|-1 C.{a|-1 5.(2021河北张家口尚义第一中学高一期中,)已知集合A={a+1,a-1,a2-3},若1∈A,则实数a的值为　　　　. 
6.()设集合A={(x-1)2,7x-3,5},B={25,6x+1,5x+9},若A∩B={25},则A∪B=　　　　. 

易错点3　忽略对空集情况的讨论导致错误
7.(多选)()已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 A.{m|-3≤m≤4} B.{m|m>2}
C.{m|2 8.()已知集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx+1=0},且B⫋A,则实数m的值为　　　　. 
9.(2020山东淄博第一中学高一上期中,)已知集合A={x|x2+x-2=0},集合B={x|x2+ax+a+3=0},若A∩B=B,求实数a的取值集合.













10.(2021贵州遵义航天高级中学高一上月考,)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围;
(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.






易错点4　忽略对端点值的取舍导致解题错误
11.(2019北京人大附中高一期中,)已知集合A={x|x>1},B={x|x>a},若A⊆B,则实数a的取值范围是　　　　. 
12.()已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围.







易错点5　不能正确区分条件与结论导致错误
13.(2021安徽马鞍山高一上质检,)命题p:-1≤x<2的一个必要不充分条件是 (　　)
A.-1≤x≤2
B.-1≤x<2
C.0≤x<2
D.0≤x<3
14.(2021天津实验中学高一上月考,)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 (　　)
A.a<0 B.a>0
C.a<-1 D.a>1
易错点6　忽略命题中的隐含条件导致错误
15.()若命题p:∃x∈R,x>1,则¬p:　　　　. 

思想方法练
一、补集思想在集合问题中的应用
1.(2021安徽马鞍山第二中学月考,)若集合A⊆{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有 (　　)
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2.()已知集合A={x|x2-2x+9-a=0},B={x|ax2-4x+1=0,a≠0},若集合A,B中至少有一个非空集合,求实数a的取值范围.








二、分类讨论思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用
3.()已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则实数a的取值是 (　　)
A.1 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,1
4.()已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0}, C={x|x2-mx+2=0}.
(1)命题p:“∀x∈B,都有x∈A”,若命题p为真命题,求实数a的值;
(2)若“x∈A”是“x∈C”的必要条件,求实数m的取值范围.




三、数形结合思想在集合问题中的应用
5.(2021福建仙游第一中学高一上月考,)高二(一)班共有学生50人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人,这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人,在物理、化学中只选一门的学生都至少有6人,那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为 (　　)
A.16 B.17 C.18 D.19
6.()已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a





四、转化与化归思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用
7.(2021上海交通大学附属中学高三上期中,)已知x∈R,则“|x-2|<1”是“x<3”的 (　　)
A.既不充分也不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.充分不必要条件
8.(2021湖南邵阳邵东第一中学高一上期中,)已知命题p:∀x∈{x|0≤x≤1},x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+a+2=0,若命题p,q都是真命题,求实数a的取值范围.








五、特殊化思想在集合问题中的应用
9.()定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A,B,C分别用圆表示,则下列图中阴影部分表示集合C-(A-B)的为 (　　)

10.(2020安徽六安第一中学高一上月考,)设I为全集,S1,S2,S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面结论正确的是 (　　)
A.(∁IS1)∩(S2∪S3)=⌀
B.S1⊆[(∁IS1)∩(∁IS3)]
C.[(∁IS1)∩(∁IS2)]=∁I(S1∪S2)
D.S1⊆[(∁IS2)∪(∁IS3)]
答案全解全析
易混易错练
1.C　解方程组x+y=5,3x-4y=-6得x=2,y=3,
∴方程组x+y=5,3x-4y=-6的解构成的集合为{(2,3)}.
故选C.
2.D　易得M={(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0}={(-3,1)}是点集,而N={-3,1}是数集,所以两个集合没有公共元素,故选D.
3.答案　yy≥52
解析　易得M=R,
N=yy=2x+122+52
=yy≥52,
所以M∩N=yy≥52.
4.D　由P∪M=P得M⊆P,所以a∈P,-a∈P,即-1≤-a≤1,且-1≤a≤1,解得-1≤a≤1,又因为-a≠a,所以a≠0.故选D.
5.答案　0或-2
解析　若a+1=1,则a=0,此时A={1,-1,-3},符合题意;若a-1=1,则a=2,此时A={3,1,1},不满足集合中元素的互异性,舍去;若a2-3=1,则a=-2或a=2(舍去),当a=-2时,A={-1,-3,1},符合题意.
综上,a=0或a=-2.
6.答案　{25,-31,5,-23,-11}
解析　由A∩B={25}得25∈A,
所以(x-1)2=25或7x-3=25,
解得x=6或x=-4或x=4.
当x=6时,A={25,39,5},B={25,37,39},A∩B={25,39},不满足题意,故x=6舍去;
当x=-4时,A={25,-31,5},B={25,-23,-11},A∩B={25},满足题意,此时A∪B={25,-31,5,-23,-11};
当x=4时,A={9,25,5},B={25,25,29},B中元素不满足集合中元素的互异性,故x=4舍去.
综上,A∪B={25,-31,5,-23,-11}.
7.ACD　∵A∪B=A,∴B⊆A.
①若B不为空集,则m+1<2m-1,解得m>2.
∵A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 ∴m+1≥-2,且2m-1≤7,解得-3≤m≤4.
此时2 ②若B为空集,则m+1≥2m-1,解得m≤2,符合题意.
综上,实数m满足m≤4即可,故选ACD.
8.答案　-14或0或1
解析　A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.因为B⫋A,所以当B=⌀时,mx+1=0无解,得m=0;当B≠⌀时,若B={-1},则m=1,若B={4},则m=-14.
综上所述,m的值为-14或0或1.
9.解析　集合A={x|x2+x-2=0}={-2,1}.
由A∩B=B,得B⊆A.
当B=⌀时,Δ=a2-4(a+3)<0,即-2 当B≠⌀时,由B⊆A,得B={-2}或B={1}或B={-2,1}.
若B={-2},则a2-4(a+3)=0,4-2a+a+3=0,
即a=-2或a=6,a=7,无解,舍去;
若B={1},则a2-4(a+3)=0,1+a+a+3=0,
即a=-2或a=6,a=-2,所以a=-2;
若B={-2,1},则a2-4(a+3)>0,-a=-1,a+3=-2,
即a<-2或a>6,a=1,a=-5,无解,舍去.
综上,实数a的取值集合为{a|-2≤a<6}.
10.解析　(1)∵A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},
∴A∩B=⌀时,分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论:
若B=⌀,则m+1>2m-1,解得m<2;
若B≠⌀,则m+1>5,m+1≤2m-1或2m-1<-2,m+1≤2m-1,解得m>4.
综上,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.
(2)若A∪B=A,则B⊆A.
当B=⌀时,有m+1>2m-1,解得m<2;
当B≠⌀时,有m+1≥-2,2m-1≤5,m+1≤2m-1,
解得2≤m≤3.
综上,实数m的取值范围是{m|m≤3}.
11.答案　{a|a≤1}
解析　如图,在数轴上表示出A,B,
因为A⊆B,所以a≤1.

12.解析　易知a+3>a+1,所以B≠⌀,利用数轴表示B⊆A,如图所示,
或
则a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3.所以a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}.
13.A　根据必要不充分条件的定义可知,只需找一个x的取值集合,使{x|-1≤x<2}是此取值集合的一个真子集即可,结合选项可知,{x|-1≤x<2}是{x|-1≤x≤2}的真子集.
故选A.
14.C　∵一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根,
∴Δ=16-12a>0,3a<0,解得a<0.
故满足题意的a的取值集合应是集合{a|a<0}的真子集,结合选项可知选C.
15.答案　∀x∈R,x≤1或x<0
解析　特称命题的否定是全称命题,又x>1中x的取值范围是{x|x>1},其补集为{x|x≤1},所以¬p为∀x∈R,x≤1或x<0.
思想方法练
1.D　由题可知,集合A为非空集合.集合{1,2,3}的非空子集共有23-1=7个,其中不含奇数的集合只有1个,所以至少含有一个奇数的集合共有7-1=6个.故选D.
2.解析　对于集合A,由Δ=4-4(9-a)<0,解得a<8;
对于集合B,由Δ=16-4a<0,解得a>4.
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集,
所以a的取值范围是{a|a≥8或a≤4,且a≠0}.
3.D　集合A有且仅有2个子集,说明集合A中只含有一个元素.对于集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},当a=0时,A={0},满足题意.当a≠0时,Δ=4-4a2=0,即a=±1.若a=1,则A={-1},满足题意;若a=-1,则A={1},满足题意.所以a=0或a=±1,故选D.
4.解析　(1)由题意得A={1,2}.
∵命题p为真命题,∴B⊆A.
又∵B={x|[x-(a-1)](x-1)=0},
∴B有两种情况:
①若B={1},则a-1=1,解得a=2;
②若B={1,2},则a-1=2,解得a=3.
因此,a的值为2或3.
(2)∵“x∈A”是“x∈C”的必要条件,
∴由“x∈C”能推出“x∈A”,从而C⊆A,
因此,集合C有四种情况:
①C=A,此时Δ=m2-8>0,m=1+2,解得m=3;
②C={1},此时Δ=m2-8=0,m=2,此时方程组无实数解,m的值不存在;
③C={2},Δ=m2-8=0,m=4,此时方程组无实数解,m的值不存在;
④C=⌀,此时Δ=m2-8<0,解得-22 综上可知,m的取值范围为{m|m=3或-22 5.C　把50名学生看成一个集合U,
选择物理课程的人组成集合A,
选择化学课程的人组成集合B,
选择生物课程的人组成集合C,
要使同时选择物理和化学这两门课程的学生人数最多,且满足物理、化学、生物这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,
则其他几个选择的人数均为最少,
故只选物理的最少有6人,只选化学的最少有6人,三门课程中只选化学、生物的最少有3人,只选物理、生物的最少有3人,只选生物的最少有4人,以上最少有42人,可作出如下图所示的Venn图,

所以三门课程中只选物理、化学的至多有8人,所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为10+8=18.
故选C.
6.解析　∵a<1,∴2a 利用数轴表示B⊆A,如图所示.

或

由图知要使B⊆A,需a+1≤-1或2a≥1,即a≤-2或a≥12.
又∵a<1,∴实数a的取值范围是aa≤-2或12≤a<1.
7.D　由|x-2|<1可得1 ∵{x|1 ∴“|x-2|<1”是“x<3”的充分不必要条件.
故选D.
8.解析　∵命题p:∀x∈{x|0≤x≤1},x2-a≥0为真命题,
∴a≤x2对任意x∈{x|0≤x≤1}恒成立,
∴a≤(x2)min,即a≤0.
∵命题q:∃x∈R,x2+2ax+a+2=0为真命题,∴方程x2+2ax+a+2=0有实数根,
即Δ=4a2-4(a+2)=4a2-4a-8≥0,
∴a≤-1或a≥2.
∵命题p,q都是真命题,
∴a≤-1.
故实数a的取值范围为a≤-1.
9.A　如图所示,取A={1,2,4,5},B={2,3,5,6},C={4,5,6,7}.

依题意得A-B={1,4},
从而C-(A-B)={5,6,7},结合图形知,选项A正确.
10.C　令S1⫋I,S2=S3=I,则[(∁IS1)∩(S2∪S3)]=[(∁IS1)∩I]≠⌀,因此A错误;令S1=I,则∁IS1=⌀,即[(∁IS1)∩(∁IS3)]=⌀,因此B错误;令S2=S3=I,则[(∁IS2)∪(∁IS3)]=⌀,若S1⊆[(∁IS2)∪(∁IS3)],则S1=⌀,不符合题意,因此D错误;由集合的运算性质易知C正确.故选C.