湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合导学案

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1．1 集合
1.1.1 集合
第1课时 集合与元素
教材要点
要点一 集合与元素的概念
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个________________，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个________．
要点二 元素与集合的关系
状元随笔 a∈S与a∉S这两种情况有且只有一种成立．
要点三 元素的基本属性
(1)互异性：同一集合中的元素是________________．
(2)确定性：集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．
(3)无序性：集合中的元素________．
状元随笔 (1)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(2)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1 构成的集合是同一个集合．
要点四 常用数集及表示符号
状元随笔
要点五 集合的分类
(1)有限集：元素个数________的集合叫有限集(或有穷集)．
(2)无限集：元素________的集合叫无限集(或无穷集)．
(3)空集： 没有元素的集合叫空集，记作________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
(2)我班喜欢打篮球的同学不能组成一个集合．( )
(3)空集是无限集．( )
(4)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.( )
2．(多选)下列元素与集合的关系判断正确的是( )
A．0∈N B．π∈Q
C．－1∈Z D．2∉R
3．已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x不能取的值是________．
4．若A是不等式4x－5＜3的解集，则1________A，2______A．(用∈或∉填空)
题型1 集合概念的理解
例1 判断下列每组对象能否构成一个集合：
(1)援助湖北抗击新冠疫情的医护人员；
(2)我校2021级所有高个子同学；
(3)不小于3 的自然数；
(4)3的近似值的全体．
方法归纳
判断一组对象能否组成集合的策略
(1)注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)注意集合中元素的互异性、无序性．
跟踪训练1 (多选)下列对象能构成集合的是( )
A．联合国常任理事国
B．充分接近2的实数的全体
C．方程x2＋x－1＝0的实数根
D．全国著名的高等院校
题型2 元素与集合的关系
例2 (1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝2+3，则( )
A．a∈A B．a2∈A
C．1a∈A D．a＋1∈A
(2)给出下列关系：①12∈R；②|－3|∉N；③|－3|∈Q；④0∉N.其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
方法归纳
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练2 (1)给出下列说法：
①R中最小的元素是0；
②若a∈Z，则－a∉Z；
③若a∈Q，b∈N，则a＋b∈Q.
其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是( )
A．a∈M B．a∉M
C．a＝M D．a≠M
题型3 集合特性的应用
例3 设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11-a∈A(a≠1).
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)集合A不可能是单元素集．
变式探究 本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)若a∈A，则1－1a∈A.
方法归纳
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
跟踪训练3 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，
(1)求实数x应满足的条件．
(2)若－2∈A，求实数x.
易错辨析 忽略集合元素的互异性
例4 设a，b∈R，集合A中含有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，ba，b，且A＝B，则a2 021＋b2 021＝________．
解析：易知a≠0，a≠1，则根据两个集合相等可知a＋b＝0，且b＝1或ba＝1.若b＝1，由a＋b＝0得a＝－1，经验证，符合题意；若ba＝1，则a＝b，结合a＋b＝0，可知a＝b＝0，不符合题意．综上可知a＝－1，b＝1.故a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋12 021＝0.
答案：0
易错警示
课堂十分钟
1．下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
2．设M是所有偶数组成的集合，则( )
A．3∈M B．1∈M
C．2∈M D．0∉M
3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
4．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________．
5．已知集合A是由所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，判断－6＋22是不是集合A中的元素．
第一章 集合与逻辑
1．1 集合
1．1.1 集合
第1课时 集合与元素
新知初探·课前预习
要点一
集合或集 元素
要点二
a是集合S的元素 a∈S a不是集合S中的元素 a∉S
要点三
互不相同的 没有顺序
要点四
N N*或N＋ Z Q R
要点五
有限 无限多 ∅
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：显然AC正确；π是无理数，B不正确；2是实数，D不正确．故选AC.
答案：AC
3．解析：由元素的互异性可知x－2≠0且x－2≠1，即x≠2且x≠3.
答案：2，3
4．解析：由4x－5<3得x<2，则1∈A，2∉A.
答案：∈ ∉
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)能构成集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(3)对于任意一个自然数能判断是不是不小于3，所以能构成集合．(4)“3的近似值”没有明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．
跟踪训练1 解析：B、D中的元素不能确定，不能构成集合，故选AC.
答案：AC
例2 解析：(1)a＝2+3<4+4＝4<5，
所以a∈A，a＋1<4+4＋1＝5，
所以a＋1∈A，a2＝(2)2＋22×3＋(3)2＝5＋26>5，所以a2∉A，
1a＝12+3＝3-22+33-2
3-2<5，所以1a∈A.故选ACD.
(2)①正确；②③④不正确．故选A.
答案：(1)ACD (2)A
跟踪训练2 解析：(1)实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．
(2)判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵11<23，∴a∉M.
答案：(1)B (2)B
例3 证明：(1)若a∈A，则11-a∈A.
又因为2∈A，所以11-2＝－1∈A.
因为－1∈A，所以11--1＝12∈A.
因为12∈A，所以11-12＝2∈A.
根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－1，12，结论得证．
(2)若A为单元素集，则a＝11-a，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠11-a，所以集合A不可能是单元素集．
变式探究 证明：(1)因为3∈A，
所以11-3＝－12∈A，
所以11--12＝23∈A，
所以11-23＝3∈A，
根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－12，23，结论得证．
(2)因为a∈A，所以11-a∈A，
所以11-11-a＝1-a-a＝1－1a∈A.
跟踪训练3 解析：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.
(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.
[课堂十分钟]
1．解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B.
答案：B
2．解析：∵0和2是偶数，∴2∈M，0∈M，故选C.
答案：C
3．解析：由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.
答案：A
4．解析：∵x≥2，且a∉A，∴a<2.
答案：a<2
5．解析：因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋22＝3×(－2)＋2×2是形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数，即－6＋22是集合A中的元素．
最新课程标准
学科核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
3．在具体情境中，了解空集的含义．
1.能判断元素与集合的关系．(逻辑推理)
2．记住并会用常见数集的表示符号．(数学抽象)
3．能用列举法和描述法表示集合．(数学抽象)
4．能利用集合的基本属性解题．(逻辑推理)
关系
概念
记法
读法
属于
如果________________，就说a属于S
________
a属于S
不属于
如果________________，就说a不属于S
________
a不属于S
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
________
________
________
________
________
易错原因
纠错心得
忽略了集合中元素的互异性，当a＝1时，在一个集合中出现了两个相同的元素．
含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论．