高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案，共8页。


授课提示：对应学生用书第111页
[教材提炼]
知识点一 匀速圆周运动的数学模型
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用什么函数模型来刻画它的运动规律？
知识梳理 如图所示，以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t＝0时，盛水筒M位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P(x，y)．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有y＝rsin(ωt＋φ)．①
所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是H＝rsin(ωt＋φ)＋h.②
知识点二 φ、ω、A对y＝Asin(ωx＋φ)的影响
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
能否借助我们熟悉的函数y＝sin x的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响？
知识梳理 (1)φ对函数y＝Asin(x＋φ)图象的影响
(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
知识点三 正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
从正弦函数图象出发，通过怎样变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象？
知识梳理 由函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法的图示如下：
[自主检测]
1．把y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,2)个单位，得到的图象的解析式为( )
A．y＝－cs x
B．y＝sin x＋eq \f(π,2)
C．y＝sin x－eq \f(π,2)
D．y＝cs x
解析：由已知得y＝sin(x＋eq \f(π,2))＝cs x.
答案：D
2．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
答案：D
3．将y＝eq \f(1,2)sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝________.
答案：sin x
4．将函数y＝sin(－2x)的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，所得函数图象的解析式为________．
答案：y＝－cs 2x
授课提示：对应学生用书第112页
探究一 三角函数图象的平移变换
[例1] (1)要得到y＝cs(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cs 2x的图象( )
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向左平移eq \f(1,2)个单位长度
D．向右平移eq \f(1,2)个单位长度
(2)为得到函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(5π,12)个单位长度
B．向右平移eq \f(5π,12)个单位长度
C．向左平移eq \f(5π,6)个单位长度
D．向右平移eq \f(5π,6)个单位长度
[解析] (1)y＝cs 2x→y
＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝cs(2x＋1)，故选C.
(2)因为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6))).
由题意知，要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6)))的图象只需将y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(5π,12)个单位长度．
[答案] (1)C (2)A
三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行．
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位长度．
为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝cs 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度
D．向左平移eq \f(π,3)个单位长度
解析：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))))).故选B.
答案：B
探究二 三角函数图象的伸缩变换
[例2] 说明y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
[解析] 法一：y＝sin x
eq \(――→,\s\up7(图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d5(横坐标不变))
y＝2sin xeq \(――→,\s\up7(图象上各点向右平移个单位长度))
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))eq \(――→,\s\up17(图象上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变))
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(图象上各点向上平移1个单位长度))
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1.
法二：y＝sin xeq \(――→,\s\up7(纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d5(横坐标不变))
y＝2sin xeq \(――→,\s\up7(横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变))
y＝2sin 2xeq \(――→,\s\up7(向右平移个单位长度))
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(向上平移1个单位长度))
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1.
三角函数图象变换的技巧
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
方法一： 先平移后伸缩．
y＝sin xeq \(――→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位长度))
y＝sin(x＋φ)eq \(――→,\s\up7(横坐标变为原来的倍,纵坐标不变))
y＝sin(ωx＋φ)eq \(――→,\s\up7(纵坐标变为原来的A倍),\s\d5(横坐标不变))
y＝Asin(ωx＋φ)．
方法二：先伸缩后平移．
y＝sin xeq \(――→,\s\up7(横坐标变为原来的倍,纵坐标不变))
y＝sin ωxeq \(――→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0平移个单位长度))
y＝sin(ωx＋φ)eq \(――→,\s\up7(纵坐标变为原来的A倍),\s\d5(横坐标不变))
y＝Asin(ωx＋φ).
如何由y＝sin x的图象得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象？
解析：y＝sin x的图象
eq \(――→,\s\up7(将各点的横坐标缩短为原来的倍))y＝sin 2x的图象
eq \(――→,\s\up7(向右平移个单位长度))y＝sin 2
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象
eq \(――→,\s\up7(将各点的纵坐标伸长为原来的3倍))y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．
授课提示：对应学生用书第113页
一、“五点法”作图与平移变换的关系
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：(A＞0，ω＞0)
2.y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)五点的变化关系.
[典例] 先用“五点法”画出函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的简图，说出由y＝sin x如何变换得到该图象．
[解析] “五点法”画函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(T＝\f(2π,3)))内的图象．
令X＝3x－eq \f(π,6)，则x＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＋\f(π,6)))，列表(如表)，描点画图(如图所示).
由函数y＝sin x的图象，先把正弦曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的eq \f(1,3)倍，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的图象，如图所示．
二、三角函数图象平移、伸缩变换中的误区
[典例] 把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得函数的解析式为( )
A．y＝sin(3x＋eq \f(π,12)) B．y＝sin(6x＋eq \f(3π,4))
C．y＝sin(eq \f(3,2)x＋eq \f(π,12)) D．y＝sin(eq \f(3,2)x＋eq \f(3π,4))
[解析] 把函数y＝sin(3x－eq \f(π,4))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，可得y＝sin[3(x＋eq \f(π,3))－eq \f(π,4)]的图象，即函数解析式为y＝sin(3x＋eq \f(3π,4))，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y＝sin(eq \f(3,2)x＋eq \f(3π,4))的图象．
[答案] D
纠错心得 1.在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现y＝sin(3x＋eq \f(π,3)－eq \f(π,4))，得到y＝sin(3x＋eq \f(π,12))．从而误选A.
2．在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍数把握不准，则易出现对x的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现y＝sin(6x＋eq \f(3π,4))等类似的错误答案.
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例了解匀速圆周运动的数学模型.
数学建模
数学抽象
逻辑推理
2.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响.
3.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
x
－eq \f(φ,ω)
－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
y＝sin x
(0,0)
(eq \f(π,2)，1)
(π，0)
(eq \f(3π,2)，－1)
(2π，0)
y＝Asin(ωx＋φ)
(－eq \f(φ,ω)，0)
(－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)，A)
(eq \f(π－φ,ω)，0)
(eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)，－A)
(eq \f(2π－φ,ω)，0)
X
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,18)
eq \f(2π,9)
eq \f(7π,18)
eq \f(5π,9)
eq \f(13π,18)
y
0
2
0
－2
0