2021年北京丰台区芳星园中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区芳星园中学九年级上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在平面直角坐标系中，已知点 A−4,3 与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标为
A. −4,−3B. 4,3C. 4,−3D. −4,3

2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 函数 y=2x2−1+1 的图象的顶点坐标是
A. 1,1B. −1,1C. 0,1D. 0,−1

4. 下列四个选项中的表述，一定正确的是
A. 经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B. 经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D. 经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线

5. 下列说法中错误的是
A. 在函数 y=−x2 中，当 x=0 时，y 有最大值 0
B. 在函数 y=2x2 中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大
C. 抛物线 y=2x2，y=−x2，y=−12x2 中，抛物线 y=2x2 的开口最小，抛物线 y=−x2 的开口最大
D. 不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2 的顶点都是坐标原点

6. 已知 ∠BAC=45∘，一动点 O 在射线 AB 上运动（点 O 与点 A 不重合），设 OA=x，如果半径为 1 的 ⊙O 与射线 AC 有公共点，那么 x 的取值范围是
A. 02

7. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图，则下列说法：
① c=0；
②该抛物线的对称轴是直线 x=−1；
③当 x=1 时，y=2a；
④ am2+bm+a>0m≠−1．
其中正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 已知反比例函数 y=kx 的图象经过点 2,3，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是
A. −6,1B. 1,6C. 2,−3D. 3,−2

二、填空题（共8小题；共42分）
9. 在数字 10110011000110000122 中，“1”出现的频数是 ．

10. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图，图象过点 −1,0，对称轴为直线 x=2，下列结论：① 4a+b=0；② 9a+c>3b；③ 8a+7b+2c>0；④当 x>−1 时，y 的值随 x 值的增大而增大．其中正确的结论有 （填序号）．

11. 如果反比例函数 y=k−3x 的图象位于第二、四象限，那么满足条件的正整数 k 的值是 ．

12. 一个扇形的面积是它所在圆面积的 35，则这个扇形的圆心角是 ．

13. 二次函数 y=ax2+bx+c 的部分对应值如下表：
x⋯−3−20135⋯y⋯70−8−9−57⋯
则当 x=2 时对应的函数值 y= ．

14. 切线的性质定理：圆的切线 于过切点的半径．
几何语言：如图，∵ 与 相切于 ，
∴ ⊥ （或 ∠OAC=90∘ 或 ∠OAD=90∘）．
注：常用辅助线 —— 有切线，连半径（连接圆心和切点），得垂直．

15. 方程 3x2−8=7x 化为一般形式是 ，a= ，b= ，c= ，方程的根 x1= ，x2= ．

16. 在正方形 ABCD 中， AB=12 ， AE=14AB ，点 P 在 BC 上运动（不与 B ， C 重合），过点 P 作 PQ⊥EP ，交 CD 于点 Q ，则 CQ 的最大值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 用因式分解法解下列方程：
（1）3x−12x+7=0；
（2）x+12=4x−22．

18. 高致病性禽流感是比SARS传染速度更快的传染病．为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点 3 km 范围内为扑杀区；离疫点 3 km∼5 km 范围内为免疫区，对扑杀区与免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路 AB 通过禽流感病区，如图，在扑杀区内公路 CD 长为 4 km．
（1）请用直尺和圆规找出疫点 O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求这条公路在免疫区内有多少千米?

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−ax+a−1=0．
（1）求证：无论 a 为何值，方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于 2，求 a 的取值范围．

20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x⋯−3−2−101⋯y⋯0−3−4−30⋯
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当 −4
21. 甲、乙两名同学分别从《武汉日夜》、《大红包》、《吉祥如意》三部电影中随机选择一部观看.
（1）《武汉日夜》、《大红包》、《吉祥如意》三部电影分别用 A，B，C 表示，请将图中的树状图补充完整：
（2）甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率为 ．
（3）求至少有一人选择《武汉日夜》的概率.

22. 甲、乙两地相距 400 km，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间 yh 表示为汽车的平均速度 xkm/h 的函数．
（1）写出时间 yh 与平均速度 xkm/h 之间的函数表达式；
（2）若汽车的平均速度不超过 80km/h，则汽车从甲地到乙地所用的时间至少需要多少小时?

23. 如图，M 为 ⊙O 内任意一点，AB 为过点 M 且和 OM 垂直的一条弦，CD 为过点 M 的任意一条弦（不与弦 AB 重合）．
（1）求证；AB（2）在过点 M 的所有弦中，有没有最长的弦? （填“有”或“没有”）．有没有最短的弦? （填“有”或“没有”）．如果有，最长的弦与 OM 的位置关系为 ，最短的弦与 OM 的位置关系为 ；
（3）如果过点 M 的所有弦中，最长的弦是 EF，最短的弦是 GH，且 EF=26，GH=24，求 OM 的长．

24. 在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF=BE，连接 AF，BF．
（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；
（2）若 CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF 平分 ∠DAB．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，拋物线 y=ax2+a2x+c 与 y 轴交于点 0,2．
（1）求 c 的值；
（2）当 a=2 时，求抛物线顶点的坐标；
（3）已知点 A−2,0，B1,0，若抛物线 y=ax2+a2x+c 与线段 AB 有两个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数，故点 B4,−3．
2. B【解析】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选B．
3. D
4. C【解析】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．
5. C
6. C
7. C【解析】抛物线与 y 轴交于原点，c=0，故① 正确；
该抛物线的对称轴是：−2+02=−1，直线 x=−1，故② 正确；
当 x=1 时，y=a+b+c，
∵ 对称轴是直线 x=−1，
∴−b2a=−1，b=2a，
又 ∵c=0，
∴y=3a，
故 ③ 错误；
x=m 对应的函数值为 y=am2+bm+c，
x=−1 对应的函数值为 y=a−b+c，
又 x=−1 时函数取得最小值，
∴a−b+c即 a−b ∵b=2da，
∴am2+bm+a>0m≠−1．
故 ④ 正确．
8. B【解析】∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 2,3，
∴k=2×3=6．
A．∵−6×1=−6≠6，
∴ 此点不在反比例函数图象上；
B．∵1×6=6，
∴ 此点在反比例函数图象上；
C．∵2×−3=−6≠6，
∴ 此点不在反比例函数图象上；
D．∵3×−2=−6≠6，
∴ 此点不在反比例函数图象上．
第二部分
9. 8
10. ①③
11. 1，2
12. 216∘
13. −8
14. 垂直，直线 DC，⊙O，点 A，OA，DC
15. 3x2−7x−8=0，3，−7，−8，7+1456，7−1456
16. 4
第三部分
17. （1） x1=13，x2=−72．
（2） x1=1，x2=5．
18. （1） 如图所示，O 点为所求．
（2） 如图，连接 OA，OC，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，
∴ CE=12CD=2 km，AE=12AB，
在 Rt△OCE 中，OE=OC2−CE2=32−22=5 km，
在 Rt△OAE 中，AE=OA2−OE2=52−52=25 km，
∴ AB=2AE=45 km，
因此 AC+BD=AB−CD=45−4km．
答：这条公路在免疫区内有 45−4 千米．
19. （1） Δ=−a2−4×a−1=a−22≥0，
∴ 无论 a 为何值，方程总有两个实数根．
（2） 解方程 x2−ax+a−1=0，
得 x=a±∣a−2∣2，即 x1=a−1，x2=1．
∵ 该方程有一实数根大于 2，
∴a−1>2．
解得 a>3．
即 a 的取值范围为 a>3．
20. （1） 设二次函数的表达式为 y=ax+12−4，
将点 1,0 代入，得 0=a1+12−4，
解得 a=1．
所以二次函数的表达式为 y=x+12−4
（2） 图象如图所示；
（3） −321. （1）
（2） 13
（3） 至少有一人选择《武汉日夜》的结果有 5 种，
∴ 至少有一人选择《武汉日夜》的概率是 59．
22. （1） y=400x．
（2） 方法一：
x≤400y≤80，
∴y≥5．
【解析】方法二：x=80，y=50，
∵x≤80，
∴y≥5．
23. （1） 如图所示，过点 O 作 ON⊥CD，垂足为 N，连接 OB，OD，
则 AB=2BM，CD=2DN，
设 OB=OD=R．
在 Rt△BOM 中，
BM=OB2−OM2=R2−OM2．
在 Rt△DON 中，
DN=OD2−ON2=R2−ON2．
在 Rt△MON 中，
∵OM 是斜边，ON 是直角边，
∴OM>ON，
∴R2−OM2即 BM ∴AB （2） 有；有；在一条直线上；互相垂直
（3） OM=OG2−GM2=EF22−GH22=2622−2422=5.
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD .
∵DF=BE，
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90∘ .
∴ 四边形 BFDE 是矩形.
（2） ∵CF=3，BF=4，∠BFC=90∘ ，
由勾股定理，得 BC=5=AD=DF .
∴∠DFA=∠DAF .
∵AB∥CD ，
∴∠DFA=∠BAF=∠DAF .
∴AF 平分 ∠DAB．
25. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+a2x+c 与 y 轴交于点 0,2，
∴c=2．
（2） 当 a=2 时，抛物线为 y=2x2+4x+2，
∴ 顶点坐标为 −1,0．
（3） 当 a>0 时，
①当 a=2 时，如图 1，
抛物线与线段 AB 只有一个公共点．
②当 a=1+2 时，如图 2，
抛物线与线段 AB 有两个公共点．
结合函数图象可得 2当 a<0 时，抛物线与线段 AB 只有一个公共点或没有公共点．
综上所述，a 的取值范围是 2