2021年北京丰台区大成学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区大成学校九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 【测试 2 】如图，AD∥BE∥CF，直线 l1，l2 与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和点 D，E，F．已知 AB=1，BC=3，DE=1.2，则 DF 的长为
A. 3.6B. 4.8C. 5D. 5.2

2. 已知 ⊙O 的半径为 3，圆心 O 到直线 l 的距离为 2，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定

3. 如果两个相似三角形对应边之比是 1:3，那么它们的对应中线之比是
A. 1:3B. 1:4C. 1:6D. 1:9

4. 若二次函数 y=x2+4x−1 配方后为 y=x+h2+k，则 h，k 的值分别为
A. 2，5B. 4，−5C. 2，−5D. −2，−5

5. tan30∘ 的值等于
A. 3B. 32C. 22D. 33

6. 如果反比例函数 y=a−2x（a 是常数）的图象在第一、三象限，那么 a 的取值范围是
A. a<0B. a>0C. a<2D. a>2

7. 已知 E，F，G 为圆上的三点，∠FEG=50∘，则下列四个选项中，P 点可能是圆心的是
A. B.
C. D.

8. 如图，已知 ⊙O 是等腰 Rt△ABC 的外接圆，点 D 是 AC 上一点，BD 交 AC 于点 E．若 BC=4，AD=45，则 AE 的长是
A. 3B. 2C. 1D. 1.2

9. 某地需要开辟一条隧道，隧道 AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点 C，使 C 到 A，B 两点均可直接到达，测量找到 AC 和 BC 的中点 D，E，测得 DE 的长为 1100 m，则隧道 AB 的长度为
A. 3300 mB. 2200 mC. 1100 mD. 550 m

10. 如图①，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 与 x 之间的图象如图②所示，则长方形 ABCD 的面积是
A. 10B. 16C. 20D. 36

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如果开口向下的抛物线 y=ax2+5x+4−a2a≠0 过原点，那么 a 的值是 ．

12. 如图，点 A 是反比例函数 y=−4x 图象上的一个动点，过点 A 作 AB⊥x 轴，AC⊥y 轴，垂足分别为 B，C，则矩形 ABOC 的面积为 ．

13. 给出下列 3 个分式：① b2a，② a+ba2+b2，③ m+2nm2−4n2．其中的最简分式有 （填写出所有符合要求的分式的序号）．

14. 如果一个半径为 2 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 4 厘米的扇形面积相等，那么这个扇形的圆心角度数为 ．

15. 在地面上离旗杆底部 15 米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 α，如果测角仪的高为 1.5 米，那么旗杆的高为 米．（用含 α 的三角函数表示）

16. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），O 是这段弧的圆心，C 是 AB 的中点，连接 AB，OC 交于点 D．若 AB=30 m，OA=25 m，则 CD= m．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：3cs30∘−2sin45∘+tan45∘⋅cs60∘．

18. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AB=46，BC=43，解这个直角三角形．

19. 已知二次函数 y=x2−mx−m−3．
（1）求证：无论 m 为何值，此二次函数的图象与 x 轴都有两个不同的交点；
（2）若函数 y 的最小值为 −2，求此二次函数的解析式，

20. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分 ∠BAD，且 AC2=AB⋅AD，∠ACD=50∘．求 ∠B 的度数．

21. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+1 与双曲线 y=kx 的一个交点为 Am,−3．
（1）求双曲线的表达式；
（2）过动点 Pn,0n<0 且垂直于 x 轴的直线与直线 y=2x+1 和双曲线 y=kx的 交点分别为 B，C，当点 B 位于点 C 上方时，直接写出 n 的取值范围．

22. 已知：如图所示，AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一点，求证：BE=CE．

23. 课本 1.4 有这样一道例题：
问题 4：用一根长 22 cm 的铁丝：
（1）能否围成面积是 30 cm2 的矩形?
（2）能否围成面积是 32 cm2 的矩形?
据此，一位同学提出问题：“用这根长 22 cm 的铁丝能否围成面积最大的矩形?若能围成，求出面积最大值；若不能围成，请说明理由．”请你完成该同学提出的问题．

24. 如图，∠ADE=60∘，∠B=60∘．求证：△ADE∽△ABC．

25. 已知：△ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 O 在边 AB 上，⊙O 过点 B 且分别与边 AB，BC 相交于点 D，E，EF⊥AC，垂足为 F．
（1）求证：直线 EF 是 ⊙O 的切线；
（2）当直线 DF 与 ⊙O 相切时，求 ⊙O 的半径．

26. 数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图 1，将长为 12 cm 的铅笔 AB 斜靠在垂直于水平桌面 AE 的直尺 FO 的边沿上，一端 A 固定在桌面上，图 2 是示意图．
活动一
如图 3，将铅笔 AB 绕端点 A 顺时针旋转，AB 与 OF 交于点 D，当旋转至水平位置时，铅笔 AB 的中点 C 与点 O 重合．
数学思考
（1）设 CD=x cm，点 B 到 OF 的距离 GB=y cm．
①用含 x 的代数式表示：AD 的长是 cm，BD 的长是 cm；
② y 与 x 的函数关系式是 ，自变量 x 的取值范围是 ．
（2）活动二
①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格．

②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点 x,y．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
（3）数学思考
请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

27. 如图，以 △ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心，经过 A，C 两点且与 BC 边交于点 E．点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若 AB=BF．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的切线；
（2）若 CF=4，DF=10，求 ⊙O 的半径 r 及 sinB．

28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=−x2+3x+m，其中 m 为常数．
（1）当抛物线经过点 3,5 时，求该抛物线的解析式；
（2）当抛物线与直线 y=x+3m 只有一个交点时，求该抛物线的解析式；
（3）当 0≤x≤4 时，试通过 m 的取值范围讨论抛物线与直线 y=x+2 的公共点的个数的情况．

29. 如图，已知在 ⊙O 中，AB 是 ⊙O 的直径，AC=8，BC=6．
（1）求 ⊙O 的面积；
（2）若 D 为 ⊙O 上一点，且 △ABD 为等腰三角形，求 CD 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF，即 13=1.2EF，
∴EF=3.6，
∴DF=EF+DE=3.6+1.2=4.8．
故选：B．
2. A
3. A
4. C【解析】∵y=x2+4x−1=x2+4x+4−4−1=x+22−5，
即二次函数 y=x2+4x−1 配方后为 y=x+22−5，
∴h=2，k=−5．
5. D
6. D
7. C【解析】若 P 点为圆心，则 ∠FPG=2∠FEG=100∘．
观察C、D易知C符合题意．
8. C
9. B
10. C
【解析】∵ 动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程，x=4 时，y 开始不变，说明 BC=4，x=9 时，接着变化，说明 CD=9−4=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=5，BC=4，
∴ 长方形 ABCD 的面积是：4×5=20．
故选C．
第二部分
11. −2
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+5x+4−a2a≠0 过原点，且开口向下，
∴a<0,4−a2=0,
解得：a=−2．
12. 4
13. ①②
14. 90
15. 1.5+15tanα
【解析】如图，在 Rt△ABC 中，tanα=ACBC=AC15．
∴AC=15tanα 米，又 CE=BD=1.5 米，
∴ 旗杆的高 AE=1.5+15tanα 米．
16. 5
第三部分
17. 原式=3×32−2×22+1×12=1.
18. 在 △ABC 中，
∵∠C=90∘，AB=46，BC=43，
∴sinA=4346=22．
∴∠A=45∘，
∴∠B=90∘−∠A=45∘．
∴∠A=∠B=45∘，
∴AC=BC=43．
19. （1） 令 x2−mx−m−3=0，
则 Δ=m2−4−m−3=m2+4m+12=m+22+8>0．
∴ 无论 m 为何值，此二次函数的图象与 x 轴都有两个不同的交点．
（2） ∵ 函数 y 的最小值为 −2，
∴4×1×−m−3−−m24×1=−2．
解得 m1=m2=−2．
∴ 此二次函数的解析式为 y=x2+2x−1．
20. 由 AC2=AB⋅AD，得 AB:AC=AC:AD
又 ∠BAC=∠CAD，得 △ABC∽△ACD，
所以 ∠B=∠ACD=50∘．
21. （1） 当 y=2x+1=−3 时，x=−2，
∴ 点 A 的坐标为 −2,−3，将点 A−2,−3 代入 y=kx 中，−3=k−2，解得：k=6，
∴ 双曲线的表达式为 y=6x．
（2） n 的取值范围为 −222. 连接 BC，
∵AB=AC，DB=DC，
∴ 点 A，D 在线段 BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．
∴AD 是线段 BC 的垂直平分线．
∵ 点 E 在 AD 上，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）．
23. 能围成；
理由如下：
设当矩形的一边长为 x cm 时，面积为 y cm2．
由题意得：y=x⋅222−x=−x2+11x=−x−1122+1214，
∵ x−1122≥0，
∴ −x−1122≤0，
∴ −x−1122+1214≤1214．
∴ 当 x=112 时，y 有最大值，最大值为 1214，此时 222−x=112．
答：当矩形的长和宽均为 112 cm 时，围成的面积最大，最大面积是 1214 cm2．
24. ∵∠ADE=60∘，∠B=60∘，
∴∠ADE=∠B，
又 ∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
25. （1） 连接 OE．
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60∘．
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠ABC=60∘，
∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF．
∵⊙O 与 BC 边相交于点 E，
∴E 点在圆上．
∴EF 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 DF，DE．
∵DF 是 ⊙O 的切线，
∴∠ADF=∠BDF=90∘．
设 ⊙O 的半径为 r，
则 BD=2r．
∵AB=4，
∴AD=4−2r．
∵BD=2r，∠B=60∘，
∴DE=3r．
∵∠BDE=30∘，∠BDF=90∘，
∴∠EDF=60∘．
∵DF 、 EF 分别是 ⊙O 的切线，
∴DF=EF=DE=3r．
在 Rt△ADF 中，
∵∠A=60∘，
∴tan∠DFA=ADDF=4−2r3r=33．
解得 r=43．
∴⊙O 的半径是 43．
26. （1） 6+x；6−x；y=36−6x6+x；0≤x≤6
【解析】①如图中，由题意 AC=OA=12AB=6 cm，
∵ CD=x cm，
∴ AD=6+x cm，BD=12−6+x=6−x cm．
②作 BG⊥OF 于 G．
∵ OA⊥OF，BG⊥OF，
∴ BG∥OA，
∴ BGOA=BDAD，
∴ y6=6−x6+x，
∴ y=36−6x6+x 0≤x≤6．
（2） ①当 x=3 时，y=2，当 x=0 时，y=6．
②点 0,6，点 3,2 如图所示．
③函数图象如图所示．
（3） 性质 1：函数值 y 的取值范围为 0≤y≤6．
性质 2：函数图象在第一象限，y 随 x 的增大而减小．
27. （1） 连接 AO，DO．
∵ 点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，
∴∠EOD=90∘．
∵ AB=BF，OA=OD=r，
∴ ∠BAF=∠BFA=∠OFD，∠OAD=∠ADO，
∴ ∠BAF+∠DAO=∠OFD+∠ADO=90∘ 即 ∠BAO=90∘，
∴AB 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵ OF=CF−OC=4−r，OD=r，DF=10，
∴ 在 Rt△OFD 中，OF2+OD2=DF2 即 r2+4−r2=102，
∴ r1=3，r2=1（舍去），
∴ 半径 r=3，
∴ OA=3，OF=CF−OC=4−3=1，BO=BF+FO=AB+1．
在 Rt△ABO 中，AB2+AO2=BO2，
∴ AB2+32=AB+12，
∴ AB=4，BO=5，
∴ sinB=AOBO=35．
28. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+3x+m 经过点 3,5，
∴−9+9+m=5，
∴m=5，
∴y=−x2+3x+5．
（2） ∵ 抛物线与直线 y=x+3m 只有一个交点，
∴y=−x2+3x+m,y=x+3m 只有一组解，
∴−x2+3x+m=x+3m，
∴x2−2x+2m=0，
∴Δ=4−4×2m=0，
∴m=12，
∴ 该抛物线的解析式为：y=−x2+3x+12．
（3） 当抛物线 y=−x2+3x+m 与直线 y=x+2 有一个公共点时，−x2+3x+m=x+2，
∴x2−2x+2−m=0，
∴Δ=4−4×2−m=0，
∴m=1，
此时交点的横坐标为 x=1，在 0≤x≤4 的范围内，
∵ 直线 y=x+2 与 y 轴的交点为 0,2，
∴ 当 1当 m=1 时，有一个公共点，
当 m<1 时，没有公共点，
当直线经过 4,−16+12+m 时，
有 4+2=−16+12+m，
∴m=10，
∴ 当 2 ∴ 当 m>10 时，没有公共点，
综上所述：当 1当 m=1 或 2当 m<1 或 m>10 时，没有公共点．
29. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴⊙O 的面积 =π×52=25π．
（2） 作直径 DD′⊥AB，BH⊥CD 于 H，如图，则 AD=BD，
∴AD=BD，∠ACD=∠BCD=45∘，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴△ADB 为等腰直角三角形，
∴DB=22AB=52，
易得 △BCH 为等腰直角三角形，
∴CH=BH=22BC=32，
在 Rt△BDH 中，DH=522−322=42，
∴CD=CH+DH=32+42=72，
∵DD′ 是 ⊙O 的直径，
∴∠DCD′=90∘，
∴CD′=102−722=2，
综上所述，CD 的长为 2 或 72．