2021年北京丰台区北大附属实验学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区北大附属实验学校九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列函数中，是 y 关于 x 的反比例函数的是
A. xy+1=1B. y=1x−1C. y=−1x2D. y=12x

2. 已知 ⊙O 的半径为 4，点 P 到圆心 O 的距离为 4.5，则点 P 与 ⊙O 的位置关系是
A. 点 P 在圆内B. 点 P 在圆上C. 点 P 在圆外D. 无法确定

3. 把 Rt△ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 ∠A 的正弦值
A. 不变B. 缩小为原来的 13
C. 扩大为原来的 3 倍D. 不能确定

4. Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，其内切圆半径为 1，则 △ABC 的周长为
A. 15B. 14C. 13D. 12

5. 抛物线 y=−2x2+1 的对称轴是
A. 直线 x=12B. 直线 x=−12C. y 轴D. 直线 x=2

6. 二次函数 y=ax2+bb>0 与反比例函数 y=ax 在同一坐标系中的图象可能是
A. B.
C. D.

7. 假定鸟卵孵化后，雏鸟来雌与雄的概率相同，若三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是
A. 16B. 38C. 58D. 23

8. ⊙O 中，∠AOB=84∘，则弦 AB 所对的圆周角的度数为
A. 42∘B. 138∘C. 69∘D. 42∘ 或 138∘

9. 如图是二次函数 y=−x2+2x+4 的图象，使 y≥1 成立的 x 的取值范围是
A. −1≤x≤3B. x≤−1
C. x≥1D. x≤−1 或 x≥3

10. 如图，在 △ABC 中，AC=BC，有一动点 P 从点 A 出发，沿 A→C→B→A 匀速运动，则 CP 的长度 s 与时间 t 之间的函数关系用图象描述大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 函数 y=13−x 的定义域是 ．

12. n∘ 圆心角所对的弧长是圆周长的 ．（填分数）

13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，AC=23，则 AB= ．

14. 若正六边形的边长为 3，则其较长的一条对角线长为 ．

15. 同一温度的华氏度数 y∘F 与摄氏度数 x∘C 之间的函数表达式是 y=95x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为 ∘C．

16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
已知：在 △ABC 中，∠A=90∘．
求作：⊙P，使得点 P 在边 AC 上，且 ⊙P 与 AB，BC 都相切．
小轩的主要作法如下：
如图，
（1）作 ∠ABC 的平分线 BF，与 AC 交于点 P；
（2）以点 P 为圆心，AP 长为半径作 ⊙P．
所以 ⊙P 即为所求．
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P 与 BC 相切的依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：sin30∘−2sin60∘+3tan45∘+cs245∘．

18. 已知二次函数 y=−12x2−x+72．
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为 y=ax+h2+k 的形式；
（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，AB=42，解这个直角三角形．

20. 抛物线的图象如图所示，其中点 A 为顶点．求出点 A，B 的坐标及抛物线的解析式．

21. 分别求下列函数的图象与 x 轴的交点坐标．
（1）y=4−x2；
（2）y=x+32−4．

22. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆顶端离地面的高度．如图，测得 BC∥AD，斜坡 AB 的长为 6 米，坡度 i=1:3，在点 B 处测得旗杆顶端的仰角为 70∘，点 B 到旗杆底部 C 的距离为 4 米．
（参考数据：sin70∘≈0.94，cs70∘≈0.34，tan70∘≈2.75）
（1）求斜坡 AB 的坡角 α 的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度 ED．

23. 某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从 4 名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．

24. 反比例函数 y=kx 在第一象限上有两点 A，B．
（1）如图 1，AM⊥y 轴于 M，BN⊥x 轴于 N，求证：△AMO 的面积与 △BNO 面积相等；
（2）如图 2，若点 A2,m，Bn,2 且 △AOB 的面积为 16，求 k 的值．

25. 如图，在 △ABC 中，∠B=45∘，∠C=75∘，夹边 BC 的长为 6，求 △ABC 的面积．

26. 如图，在平面直角坐标系中，A0,4，B4,4，C6,2．
（1）在图中画出经过 A，B，C 三点的圆弧所在圆的圆心 M；
（2）点 M 的坐标为 ．

27. 图①是一把两条边有公共零刻度的角尺，该角尺两边的夹角可以改变．（图②的 ∠BAC 的该角尺有刻度的一侧示意图，∠BAC 的大小可以改变）将这个角尺摆放在圆上，利用其刻度，可以计算出圆的半径．
（1）当 ∠BAC=90∘ 时．
①按图③的方式摆放角尺——线段 AB 与图中的圆相切，切点为 D，线段 AC 与该圆有一个公共点 E，若 D，E 在角尺上的刻度分别为 3 cm 和 1 cm，求该圆的半径；
②按图④的方式摆放角尺——线段 AB 与图中的圆有一个公共点 D，线段 AC 与该圆有两个公共点 E，F，若 D，E，F 在角尺上的可得分别为 1 cm，2 cm 和 6 cm，求该圆的半径．
（2）当 ∠BAC=60∘ 时，类似图④的方式摆放角尺，如图⑤，若 D，E，F 在角尺上的刻度分别为 1 cm，2 cm 和 6 cm，则图中圆的半径为 cm．

28. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 y 轴交于点 C0,4，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为 −2,0，抛物线的对称轴是直线 x=1．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 15，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．

29. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p，当其自变量的值为 p 时，其函数值等于 p，则称 p 为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差 q 称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度 q 为零．例如，下图中的函数有 0，1 两个不变值，其不变长度 q 等于 1 .
（1）分别判断函数 y=x−1，y=1x，y=x2 有没有不变值?如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数 y=2x2−bx．
①若其不变长度为零，求 b 的值；
②若 1≤b≤3，求其不变长度 q 的取值范围；
（3）记函数 y=x2−2xx≥m 的图象为 G1，将 G1 沿 x=m 翻折后得到的函数图象记为 G2．函数 G 的图象由 G1 和 G2 两部分组成，若其不变长度 q 满足 0≤q≤3，则 m 的取值范围为 ．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. A
4. D
5. C
6. B
7. B【解析】画树状图如图：（C 代表雌鸟，X 代表雄鸟）
由树状图可以看出，共有 8 种等可能的结果，其中三只雏鸟中有两只雌鸟的结果有 3 种，所以三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是 38．
8. D【解析】∵⊙O 中，∠AOB=84∘，
∴ 弦 AB 所对的劣弧的度数为 84∘，
∴ 此弧所对的圆周角为 12∠AOB=12×84∘=42∘，
∵∠AOB=84∘，
∴ 弦 AB 所对的优弧的度数为 360∘−84∘=276∘，
∴ 此弧所对的圆周角为 12×276∘=138∘．
9. A【解析】由图象可知，−1≤x≤3 时，y≥1．
10. D
【解析】如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D．
∵ 在 △ABC 中，AC=BC，
∴ AD=BD．
①点 P 在边 AC 上时，s 随 t 的增大而减小．故 A，B错误．
②当点 P 在边 BC 上时，s 随 t 的增大而增大．
③当点 P 在线段 BD 上时，s 随 t 的增大而减小，点 P 与点 D 重合时，s 最小，但是不等于零．故C错误．
④ 当点 P 在线段 AD 上时，s 随 t 的增大而增大．故D正确．
第二部分
11. x≠3
【解析】由题意得 3−x≠0，
∴x≠3．
12. n360
13. 4
14. 6．
【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，
由正六边形性质可知，△AOB，△COD 为两个边长相等的等边三角形，
∴AD=2AB=6．
15. −40
【解析】根据题意得 95x+32=x，
解得 x=−40．
16. 角平分线上的点到角两边的距离相等；若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线
第三部分
17. 原式=12−2×32+3×1+222=12−3+3+12=1.
18. （1） y=−12x2−x+72=−12x2+2x+1+12+72=−12x+12+4.
（2） 因为 a=−12<0，
所以 开口向下；
由 y=−12x+12+4 知顶点坐标为 −1,4；对称轴为直线 x=−1．
19. BC=AB2−AC2=4，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B=45∘．
20. 由图象知 A 点坐标为 2,−4，B 点坐标为 0,4，设抛物线的解析式为 y=ax−22−4，将 B0,4 代入得 4=a0−22=4，
解得 a=2，
∴ 抛物线的解析式为 y=2x−22−4．
21. （1） 当时 y=0，4−x2=0．
x1=2，x2=−2．
∴ 与 x 轴交于点 −2,0，2,0．
（2） 当时 y=0，x+32−4=0．
x1=−1，x2=−5．
∴ 与 x 轴交于点 −1,0，−5,0．
22. （1） 如图所示，过点 B 作 BF⊥AD 于点 F，
i=tan∠BAF=BFAF=13=33，
∴∠BAF=30∘，
即 α=30∘．
（2） ∵∠BAF=30∘，AB=6，
∴CD=BF=12AB=3，
在 Rt△BCE 中，
∵∠EBC=70∘，BC=4，
∴EC=BCtan∠EBC=4tan70∘≈11，
则 ED=EC+CD=11+3=14（米）．
答：旗杆顶端离地面的高度 ED 约为 14 米．
23. 列表如下：
男男女女男−−−男,男女,男女,男男男,男−−−女,男女,男女男,女男,女−−−女,女女男,女男,女女,女−−−
所有等可能的情况有 12 种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有 8 种，则 P （ 选出的两名主持人
“恰好为一男一女”） =812=23 .
24. （1） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，
代入 y=kx 中，得 x1⋅y1=x2⋅y2=k，
∴S△AOM=12x1⋅y1=k2，S△BON=12x2⋅y2=k2，
∴S△AOM=S△BON．
（2） 由题意 m=n=k2，
∴A2,k2，Bk2,2，
作 AE⊥x 轴于 E，BF⊥x 轴于 F，
∵S△AOB+S△BOF=S梯形AEFB+S△AOE，S△BOF=S△AOE，
∴S△AOB=S梯形AEFB=12⋅2+k2⋅k2−2=16，
解得 k=12或−12（舍弃），
∴k=12．
25. 如图，作 CD⊥AB 于点 D，
在 Rt△BCD 中，CD=BC⋅sinB=6×22=32，
BD=BC⋅csB=6×22=32，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B=45∘，
在 Rt△ACD 中，∠ACD=75∘−45∘=30∘，
∴tan30∘=ADCD，
∴AD=32×33=6，
∴S△ABC=12×32+6×32=9+33．
26. （1） 如答图，点 M 即为所求．
（2） 2,0
27. （1） ①如图③，设圆心为 O，连接 OD，OE，作 OF⊥AC 于 F．
∵AB 是 ⊙O 的切线，
∴∠ADO=90∘，
∵∠A=∠AFO=90∘，
∴ 四边形 ADOF 是矩形．
设 ⊙O 的半径为 r，则 OD=AF=r，OF=AD=3，EF=r−1，
在 Rt△OEF 中，
∵OE2=OF2+EF2，
∴32+r−12=r2，
∴r=5 cm．
②如图④，作 OG⊥AB 于 G，OH⊥AC 于 H．
设 OH=AG=x，OD=EO=r，则 GD=x−1，
∵EH=HF=2，
∴OG=AH=4．
在 Rt△OGD 中，42+x−12=r2；
在 Rt△OEH 中，22+x2=r2，解得 x=132 cm，r=1852 cm．
（2） 31
【解析】如图⑤，作 OG⊥AB 于 G，OH⊥EF 于 H，延长 HO 交 AB 的延长线于 I．
由题意：AH=4，AI=8，HI=43，
设 OG=x，则 IG=3x，IO=2x，GD=8−1−3x=7−3x，OH=43−2x，
∵OD=OE，
∴x2+7−3x2=43−2x2+22，解得 x=32，
∴OD2=322+7−3×322=31，
∴r=31 cm．
28. （1） 把 C0,4 代入 y=ax2+bx+c，得 c=4．
由抛物线的对称轴 x=−b2a=1，得 b=−2a．
∵ 抛物线过点 A−2,0，
∴ 0=4a−2b+c，
∴ c=4,b=−2a,0=4a−2b+c,
解得 a=−12,b=1,c=4,
∴ 抛物线的解析式为 y=−12x2+x+4．
（2） 连接 BF，CF，OF，作 FG⊥x 轴于点 G，FH⊥y 轴于点 H．
设点 F 的坐标为 t,−12t2+t+4，
∴ FG=−12t2+t+4，FH=t．
∵ A−2,0，抛物线的对称轴是直线 x=1，
∴ B4,0．
∴ S△OBF=12OB⋅FG=−t2+2t+8，S△OCF=12OC⋅FH=2t，S△AOC=12OC⋅OA=4．
∵ S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OCF，
∴ S四边形ABFC=−t2+4t+12=15，
解得 t1=1，t2=3，
∴ y1=−12×1+1+4=92，y2=−12×9+3+4=52．
∴ 存在点 F11,92，F23,52 使四边形 ABFC 的面积为 15．
29. （1） 函数 y=x−1 没有不变值；
函数 y=1x 有 −1 和 1 两个不变值，其不变长度为 2；
函数 y=x2 有 0 和 1 两个不变值，其不变长度为 1．
（2） ① ∵ 函数 y=2x2−bx 的不变长度为零，
∴ 方程 2x2−bx=x 有两个相等的实数根．
∴b=−1．
②解方程 2x2−bx=x，得 x1=0，x2=b+12．
∵1≤b≤3，
∴1≤x2≤2．
∴ 函数 y=2x2−bx 的不变长度 q 的取值范围为 1≤q≤2．
（3） 1≤m≤3 或 m<−18