2021年北京丰台区东铁匠营一中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区东铁匠营一中九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 抛物线 y=−x2 开口方向是
A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右

2. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠BCD=130∘，则 ∠BAD 的度数是
A. 30∘B. 50∘C. 65∘D. 100∘

3. 在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 将抛物线 y=x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度，所得到的抛物线为
A. y=x+32+5B. y=x−32+5
C. y=x+52+3D. y=x−52+3

5. 如图所示，点 O 是等边三角形 PQR 的中心，Pʹ，Qʹ，Rʹ 分别是 OP，OQ，OR 的中点，则 △PʹQʹRʹ 与 △PQR 是位似三角形，此时 △PʹQʹRʹ 与 △PQR 的位似比与位似中心分别是
A. 2 ，点 PB. 12 ，点 PC. 2 ，点 OD. 12 ，点 O

6. 如图，点 At,3 在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 α，tanα=32，则 t 的值是
A. 1B. 1.5C. 2D. 3

7. 对于任意实数 k，关于 x 的方程 12x2−k+5x+k2+2k+25=0 的根的情况为
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定

8. 抛物线 y=x2−1 如图所示，将该抛物线在 x 轴下方的部分记作 C1，将 C1 沿 x 轴翻折记作 C2，C1 和 C2 构成的图形记作 C3．关于图形 C3，给出如下四个结论，其中错误的是
A. 图形 C3 恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B. 图形 C3 上任意一点到原点的距离都不超过 1
C. 图形 C3 的周长大于 2π
D. 图形 C3 所围成的区域的面积大于 2 且小于 π

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 如图，点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，AB 垂直于 x 轴，若 S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为 ．

10. 如图所示图案由三个叶片组成，该图案绕点 O 旋转 120∘ 后可以和自身重合，若每个叶片的面积为 4 cm2，∠AOB 为 120∘，则图中阴影部分的面积之和为 cm2．

11. 如图所示，△PMN 中，点 A，B 分别在 MP 和 NP 的延长线上，APAM=BPBN=38，则 MNBA= ．

12. 如图，在直角坐标系中，点 A 、 B 、 C 的坐标分别为 0,3 、 4,3 、 0,−1，则 △ABC 外接圆的圆心坐标为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 解方程：x2−4x−5=0

14. 计算
（1）2sin30∘−12+tan60∘．
（2）sin260∘+∣tan45∘−2∣−2cs45∘．

15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点 A，B，C 都在格点上，将 △ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90∘ 得到 △ABʹCʹ．
（1）在正方形网格中，画出 △ABʹCʹ；
（2）计算线段 AB 在变换到 ABʹ 的过程中扫过区域的面积．

16. 20 世纪 20 年代起，苏州河沿岸集中了大量工厂和棚户简屋，工业污水和生活污水未经处理直接排入河中，使苏州河的水质不断恶化，最终变成一条臭河．90 年代起，上海市政府加大监管力度，投放大量财力用于苏州河的治理，并对沿岸工厂的污水排放量实行监控．通过实践表明，若每天有 1000 吨污水排入苏州河，则每吨需要 500 元来进行污水处理，并且每减少 10 吨污水排放，每吨的污水处理费可以减少 4 元，为了使每天的污水处理费用为 30 万元，则沿岸的工厂每天的污水排放量是多少吨?

17. 如果关于 x 的函数 y=ax2+a+2x+a+1 的图象与 x 轴只有一个公共点，求实数 a 的值．

18. 如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 A，B 两个凉亭之间的距离，现测得 AC=30 m，BC=70 m，∠CAB=120∘，请计算 A，B 两个凉亭之间的距离．

19. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB 为 ⊙O 的直径，AB=10，AC=6．连接 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点．
（1）求证：∠CAD=∠CBA；
（2）求 OE 的长．

20. 抛物线 y=x2+bx+c（b，c 均为常数）与 x 轴交于点 A1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,3．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若 P 是抛物线上一点，且点 P 到抛物线的对称轴的距离为 3，请直接写出点 P 的坐标．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作 ⊙O 的切线 AP，AP 与 OD 的延长线交于点 P，连接 PC，BC．
（1）猜想：线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：PC 是 ⊙O 的切线．

22. 如图，在正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中顶点 E，F，G 分别在 AB，BC，FD 上．
（1）求证：△EBF∽△FCD；
（2）连接 DH，如果 BC=12，BF=3，求 tan∠HDG 的值．

23. 如图，函数 y=kx 的图象过点 A1,2．
（1）求该函数的解析式；
（2）过点 A 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足为 B 和 C，求四边形 ABOC 的面积；
（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向 x 轴和 y 轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．

24. 问题：如图 1，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠EAF=45∘，试判断 BE，EF，FD 之间的数量关系．
（1）【发现证明】
小聪把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 至 △ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图 1证明上述结论．
（2）【类比引申】
如图 2，四边形 ABCD 中，∠BAD≠90∘，AB=AD，∠B+∠D=180∘，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，则当 ∠EAF 与 ∠BAD 满足 关系时，仍有 EF=BE+FD．
（3）【探究应用】
如图 3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD．已知 AB=AD=80 米，∠B=60∘，∠ADC=120∘，∠BAD=150∘，道路 BC，CD 上分别有景点 E，F，且 AE⊥AD，DF=403−1 米，现要在 E，F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF 的长．（结果取整数，参考数据：2=1.41，3=1.73）

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为 A−1,−1，与 x 轴交点 M1,0．C 为 x 轴上一点，且 ∠CAO=90∘，线段 AC 的延长线交抛物线于 B 点，另有点 F−1,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线 AC 的解析式及 B 点坐标；
（3）过点 B 做 x 轴的垂线，交 x 轴于 Q 点，交过点 D0,−2 且垂直于 y 轴的直线于 E 点，若 P 是 △BEF 的边 EF 上的任意一点，是否存在 BP⊥EF ?若存在，求 P 点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】∵a=−1<0，
∴ 抛物线的开口向下．
2. B
3. B【解析】矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．
4. D
5. D
【解析】位似比为 OPʹOP=12，位似中心为点 O．
6. C
7. B【解析】由题可得 Δ=−k+52−4×12×k2+2k+25=−k2+6k−25=−k−32=−16，
∵ 无论 k 为何值，−k−32≤0，
∴Δ=−k−32−16<0，
∴ 方程没有实数根．
故选B．
8. C【解析】如图所示，
图形 C3 恰好经过 1,0，−1,0，0,1，0,−1，4 个整点，故A正确，不符合题意；
由图象可知，图形 C3 上任意一点到原点的距离都不超过 1，故B正确，不符合题意；
图形 C3 的周长小于圆 O 的周长，所以图形 C3 的周长小于 2π，故C错误，符合题意；
图形 C3 所围成的区域的面积小于圆 O 的面积，大于正方形 ABCD 的面积，所以图形 C3 所围成的区域的面积大于 2 且小于 π，故D正确，不符合题意．
第二部分
9. y=−8x
10. 4
【解析】由旋转的性质可知阴影部分能补成一个叶片．
11. 53
【解析】∵APAM=BPBN=38，
∴MPPA=NPBP=53，
∵∠MPN=∠APB，
∴△PMN∼△PAB，
∴MNAB=PAPM=53．
12. 2,1
【解析】提示：三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点．
第三部分
13. ∵ a=1，b=−4，c=−5．
∴ △=b2−4ac=−42−4×1×−5=36>0．
x=−b±b2−4ac2a=−−4±−42−4×1×−52×1=4±62．
所以，方程的解为 x1=5，x2=−1．
【解析】解法二：
配方得，x2−4x+4−4−5=0．
即 x−22=9．
即 x−2=±3．
所以，方程的解为 x1=5，x2=−1．
解法三：
x−5x+1=0．
x−5=0 或 x+1=0．
所以，方程的解为 x1=5，x2=−1．
14. （1） 原式= 2×12−23+3，
= 1−3．
（2） 原式= 322+∣1−2∣−2×22，
= −14．
15. （1） 如图所示：△ABʹCʹ 即为所求；
（2） ∵ AB=42+32=5，
∴ 线段 AB 在变换到 ABʹ 的过程中扫过区域的面积为 90π×52360=254π．
16. 设每天的污水排放量是 10x 吨，每吨处理费用减少 4x 元．
由题意，得 1000−10x500−4x=300000．解得 x=20或25．
答：沿岸的工厂每天的污水排放量是 200 或 250 吨．
17. （1）当 a=0 时，函数 y=2x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点，
所以 a=0 满足题意．
（2）当 a≠0 时，函数 y=ax2+a+2x+a+1 是关于 x 的二次函数．
∵ 它的图象与 x 轴只有一个公共点，
∴ 关于 x 的方程 ax2+a+2x+a+1=0 有两个相等的实数根．
∴Δ=a+22−4aa+1=0．
整理，得 3a2−4=0，
解得 a=±233．
综上 ,a=0 或 a=±233．
18.
如图所示，过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D．
∵∠CAB=120∘，
∴∠CAD=60∘．
∵cs∠CAD=ADAC，
∴AD=AC⋅cs∠CAD=30×cs60∘=15m，
∴CD=AC2−AD2=302−152=153m，
∴BD=BC2−CD2=702−1532=65m，
∴AB=BD−AD=65−15=50m．
答：A 、 B 两个凉亭之间的距离为 50 m．
19. （1） ∵OC 为半径，点 E 是 AD 的中点，
∴AC=CD．
∴∠CAD=∠CBA．
（2） ∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘．
∵ 点 E 是 AD 的中点，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC=90∘．
∴∠ACE=∠ACB．
又 ∠CAD=∠CBA，
∴△ACE∽△BAC．
∴CEAC=ACAB．
∴CE6=610．
∴CE=3.6．
又 OC=12AB=5，
∴OE=5−3.6=1.4．
20. （1） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 C0,3，
∴c=3．
∴y=x2+bx+3．
∵ 抛物线与 x 轴交于点 A1,0，
∴b=−4，
∴ 抛物线对应的函数表达式为 y=x2−4x+3．
（2） 点 P 的坐标为 5,8 或 −1,8．
21. （1） 猜想：OD∥BC，CD=12BC．证明如下：
∵OD⊥AC，
∴AD=DC．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴OA=OB．
∴OD 是 △ABC 的中位线，
∴OD∥BC，CD=12BC．
（2）
如图，连接 OC，设 OP 与 ⊙O 交于点 E．
∵OD⊥AC，OD 经过圆心 O，
∴AE=CE，即 ∠AOE=∠COE．
在 △OAP 和 △OCP 中，
∵OA=OC，OP=OP，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP．
∵PA 是 ⊙O 的切线，
∴∠OAP=90∘．
∴∠OCP=90∘，即 OC⊥PC，
∴PC 是 ⊙O 的切线．
22. （1） ∵ 正方形 ABCD，正方形 EFGH，
∴∠B=∠C=90∘，∠EFG=90∘，
BC=CD，GH=EF=FG．
又 ∵ 点 F 在 BC 上，点 G 在 FD 上，
∴∠DFC+∠EFB=90∘，∠DFC+∠FDC=90∘，
∴∠EFB=∠FDC．
∴△EBF∽△FCD．
（2） ∵BF=3，BC=CD=12，
∴CF=9，DF=CF2+CD2=15．
由（1）得，BEBF=CFCD，
∴BE=BF×CFCD=3×912=94．
∴GH=FG=EF=BE2+BF2=154，
∴DG=DF−FG=454．
∴tan∠HDG=GHDG=13．
23. （1） ∵ 函数 y=kx 的图象过点 A1,2，
∴ 将点 A 的坐标代入反比例函数解析式，得 2=k1，解得 k=2．
∴ 反比例函数的解析式为 y=2x．
（2） ∵ 点 A 是反比例函数上一点，
∴ 矩形 ABOC 的面积 S=AC⋅AB=xy=k=2．
（3） 设图象上任一点的坐标 x,y，
∴ 过这点分别向 x 轴和 y 轴作垂线，矩形面积为 xy=k=2，
∴ 矩形的面积为定值．
24. （1） ∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE．
∵∠EAF=45∘，即 ∠DAF+∠BAE=∠EAF=45∘，
∴∠GAF=∠FAE，
在 △GAF 和 △FAE 中，
AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
（2） ∠BAD=2∠EAF
【解析】理由如下：延长 CB 至 M，使 BM=DF，连接 AM．
∵∠ABC+∠D=180∘，∠ABC+∠ABM=180∘，
∴∠D=∠ABM．
在 △ABM 和 △ADF 中，
AB=AD,∠ABM=∠D,BM=DF,
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM．
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在 △FAE 和 △MAE 中，
AE=AE,∠FAE=∠MAE,AF=AM,
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即 EF=BE+DF．
（3） 如图，把 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 150∘ 至 △ADG，连接 AF．过 A 作 AH⊥DG 于点 H．
∵∠BAD=150∘，∠DAE=90∘，
∴∠BAE=60∘．
∵∠B=60∘，
∴△ABE 是等边三角形，
∴BE=AB=80 米．
根据旋转的性质得到 ∠ADG=∠B=60∘．
∵∠ADF=120∘，
∴∠GDF=180∘，即点 G 在 CD 的延长线上．
易得 △ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE．
∵AD=80，∠DAH=30∘，
∴DH=40，AH=403，
∴HF=HA=403，
∴∠HAF=45∘．
∵∠EAG=150∘，
∴∠GAF=∠FAE=75∘．
在 △GAF 和 △FAE 中，
AG=AE,∠GAF=∠FAE,AF=AF,
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF=80+403−1≈109（米），即这条道路 EF 的长约为 109 米．
25. （1） 设抛物线解析式为 y=ax+12−1，将 1,0 代入得 0=a1+12−1，
解得 a=14，
∴ 抛物线的解析式为 y=14x+12−1．
（2） ∵A−1,−1，
∴∠COA=45∘．
∵∠CAO=90∘，
∴△CAO 是等腰直角三角 形，
∴AC=AO，
∴C−2,0．
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A，C 点代入得出 −k+b=−1,−2k+b=0,
解得 k=−1,b=−2,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−x−2．
将 y=14x+12−1 和 y=−x−2 联立得 y=14x+12−1,y=−x−2,
解得 x1=−1,y1=−1,x2=−5,y2=3,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−x−2，B 点坐标为 −5,3．
（3） 过点 B 作 BP⊥EF 于点 P．
由题意可得出 E−5,−2，设直线 EF 的解析式为 y=dx+c．
则 −d+c=0,−5d+c=−2,
解得 d=12,c=12,
∴ 直线 EF 的解析式为 y=12x+12．
∵ 直线 BP⊥EF，
∴ 设直线 BP 的解析式为 y=−2x+e．
将 B−5,3 代入得出 3=−2×−5+e,
解得 e=−7，
∴ 直线 BP 的解析式为 y=−2x−7，
∴ 将 y=−2x−7 和 y=12x+12 联立得 y=−2x−7,y=12x+12,
解得 x=−3,y=−1,
∴P−3,−1，故存在 P 点使得 BP⊥EF，此时 P−3,−1．