2021年北京丰台区圣云中学八年级上期末数学试卷
展开一、选择题(共10小题;共50分)
1. 下列说法正确的是
A. 4 的算术平方根是 16
B. −16 的算术平方根是 −4
C. 因为 −52=25,所以 25 的算术平方根是 −5
D. 1 的算术平方根是 1
2. 下列事件中是必然事件是
A. 明天太阳从西边升起
B. 篮球队员在罚球线投篮一次,未投中
C. 实心铁球投入水中会沉入水底
D. 抛出一枚硬币,落地后正面向上
3. 下列说法错误的是
A. 有两个内角分别是 70∘ 与 40∘ 的三角形是等腰三角形
B. 一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C. 有两个内角不等的三角形不是等腰三角形
D. 有两个不同顶点的外角相等的三角形是等腰三角形
4. 分式 ∣x∣−3x+3 的值为零,则 x 的值为
A. 3B. −3C. ±3D. 任意实数
5. 如果把分式 xyx−y 中的 x,y 都扩大 3 倍,那么分式的值
A. 扩大 3 倍B. 不变C. 缩小 3 倍D. 扩大 9 倍
6. 知识改变世界,科技改变生活,导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末,小强一家到 B,C 两处景区游玩,他们从家 A 处出发,向正北行驶 160 km 到达 B 处,若在 A 处测得景区 C 在北偏西 34∘ 方向上,且 ∠ACB=32∠BAC,则在 B 处测得景区 C 应位于
A. 北偏西 68∘B. 南偏西 85∘C. 北偏西 85∘D. 南偏西 68∘
7. 以下列各组数为边长,不能构成直角三角形的是
A. 3,4,5B. 5,12,13C. 6,7,8D. 1,2,3
8. 如图,已知 ∠1=∠2,AC=AD,有下列条件:
① AB=AE;② BC=ED;③ ∠C=∠D;④ ∠B=∠E.其中能使 △ABC≌△AED 的条件有 .
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个
9. 如图,已知钝角 △ABC,老师按如下步骤尺规作图:
步骤 1:以 C 为圆心,CA 的长为半径画弧①;
步骤 2:以 B 为圆心,BA 的长为半径画弧②,交弧①于点 D;
步骤 3:连接 AD,交 BC 延长线于点 H.
小明说:图中的 BH⊥AD 且平分 AD.
小丽说:图中 AC 平分 ∠BAD.
小强说:图中点 C 为 BH 的中点.
你认为
A. 小明说的对B. 小丽说的对
C. 小强说的对D. 他们说的都不对
10. 如图,圆柱形玻璃杯,高为 12 cm,底面周长为 18 cm,在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
A. 15B. 97C. 12D. 18
二、填空题(共6小题;共30分)
11. 代数式 a 叫做二次根式.
12. 一口袋内装有编号分别为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球(除编号外都相同),从中随机摸出一个球,则摸出编号为偶数的球的概率是 .
13. 如图,CA=DA,DB=BC,那么判定 △ADB≌△ACB 的理由是 .
14. 写出一个比 3 大且比 4 小的无理数: .
15. 如图,在 Rt△ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90∘,将 △ABC 折叠,使点 A 与 BC 的中点 D 重合,折痕为 MN,则线段 BN 的长为 .
16. 在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 A,B,C 均在格点上,点 P,Q 分别为线段 AB,AC 上的动点.
(1)如图,当点 P,Q 分别为 AB,AC 中点时,PC+PQ 的值为 ;
(2)当 PC+PQ 取得最小值时,在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段 PC,PQ,简要说明点 P 和点 Q 的位置是如何找到的 .
三、解答题(共12小题;共156分)
17. 如图,在 3×3 的正方形格纸中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中 △ABC 是一个格点三角形.在每张图中画出一个与 △ABC 成轴对称的格点三角形,并将所画三角形涂上阴影.
18. 计算:
(1)245÷32135;
(2)3a2÷3a2×122a3a>0.
19. 如图,在 △ABC 中,AB=AC,l 是过点 A 的直线,BD⊥直线l 于点 D,CE⊥直线l 于点 E.
(1)若点 B,C 在直线 l 的同侧(如图①所示),且 AD=CE,求证:AB⊥AC;
(2)若点 B,C 在直线 l 的两侧(如图②所示),其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
20. 先化简: a2−b2a2−ab÷a+2ab+b2a ,当 b=−1 时,再从 −2
21. 先化简代数式:x−1x+1+2xx2−1÷1x2−1,然后选取一个使原式有意义的 x 的值代入求值.
22. 解分式方程:3x2−9−2x−3=1x+3.
23. 已知:如图,AD,BC 相交于点 O,OA=OB,∠C=∠D.
求证:AD=BC.
24. 某书店老板去图书批发市场购买某种图书,第一次用 1200 元购书若干本,并按该书定价 7 元出售,很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提髙了 20%,他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本,当按定价售出 200 本时,出现滞销,便以定价的 4 折售完剩余的书.
(1)第一次购书的进价是多少元?
(2)试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其他因素)?若赔钱,赔多少;若赚钱,赚多少?
25. 如图,在 △ABC 中,AB=AC,△ABC 的高 BH,CM 交于点 P.
(1)求证:PB=PC.
(2)若 PB=5,PH=3,求 AB.
26. 小丽是个数学迷.老师上课教的完全平方公式,只是对二项式进行平方.她想知道对三项式、四项式、五项式等进行平方有何规律.通过计算她发现了下述三个等式:
a+b2=a2+2ab+b2;
a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;
a+b+c+d2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd.
(1)请你帮小丽一起算一算五项式:a+b+c+d+e2 是什么.
(2)请你仔细观察上述四个等式,归纳一下展开式中的次数、项数、系数有些什么特征.
27. 如图,在 △ABC 中,BA=BC,D 在边 CB 上,且 DB=DA=AC.
(1)如图①,填空:∠B= ∘,∠C= ∘;
(2)若 M 为线段 BC 上的点,过 M 作直线 MH⊥AD 于点 H,分别交直线 AB,AC 于点 N,E,如图②.
① 求证:△ANE 是等腰三角形;
②试写出线段 BN,CE,CD 之间的数量关系,并加以证明.
28. (1)已知:如图 1,在 △ABC 中,∠A=90∘,D 为 BC 中点,E 为 AB 上一点,F 为 AC 上一点,ED⊥DF,连接 EF,求证:线段 BE,FC,EF 总能构成一个直角三角形;
(2)已知:如图 2,∠A=120∘,D 为 BC 中点,E 为 AB 上一点,F 为 AC 上一点,ED⊥DF,连接 EF,请你找出一个条件,使线段 BE,FC,EF 能构成一个等边三角形,给出证明.
答案
第一部分
1. D
2. C【解析】A是不可能事件,B、D是随机事件.
3. C【解析】有两个内角分别是 70∘ 与 40∘,根据三角形内角和定理,可得第三个角必为 70∘,所以该三角形是等腰三角形,故A中的说法正确;当一个外角的平分线平行于三角形的一边时,根据平行线的性质,可得该三角形的两个内角相等,所以该三角形是等腰三角形,故B中的说法正确;在内角分别为 50∘,50∘,80∘ 的三角形中,50∘ 的角与 80∘ 的角不相等,但该三角形为等腰三角形,故C中的说法不正确;有两个不同顶点的外角相等时,根据“等角的补角相等”,可得该三角形的两个内角相等,所以该三角形是等腰三角形,故D中的说法正确.
4. A
5. A
【解析】3x×3y3x−3y=3×xyx−y,分式的值扩大 3 倍.
6. C【解析】如图,
根据题意可知 ∠A=34∘,
∵∠ACB=32∠BAC,
∴∠ACB=32×34∘=51∘.
由三角形外角的性质可知 ∠1=∠ACB+∠BAC=34∘+51∘=85∘.
故选C.
7. C【解析】A.32+42=52,故能构成直角三角形,故此选项不符合题意;
B.52+122=132,故能构成直角三角形,故此选项不符合题意;
C.62+72≠82,故不能构成直角三角形,故此选项符合题意;
D.12+22=32,故能构成直角三角形,故此选项不符合题意.
8. B
9. A【解析】如图,连接 CD,BD,
∵CA=CD,BA=BD,
∴ 点 C,点 B 都在线段 AD 的垂直平分线上,
∴ 直线 BC 是线段 AD 的垂直平分线,即 BH⊥AD 且平分 AD,
故小明的说法正确;
而 AC 不一定平分 ∠BAD,故小丽的说法错误;
点 C 不一定为 BH 的中点,故小强的说法错误.故选A.
10. A
【解析】沿过 A 的圆柱的高剪开,得出矩形 EFGH,
过 C 作 CQ⊥EF 于 Q,
作 A 关于 EH 的对称点 Aʹ,连接 AʹC 交 EH 于 P,连接 AP,
则 AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,
∵AE=AʹE,AʹP=AP,
∴AP+PC=AʹP+PC=AʹC,
∵CQ=12×18 cm=9 cm,AʹQ=12 cm−4 cm+4 cm=12 cm,
在 Rt△AʹQC 中,由勾股定理得:AʹC=122+92=15 cm.
第二部分
11. a≥0
12. 37
【解析】编号为偶数的球有:2,4,6 一共 3 个,总共有 7 个球,
所以 P=37.
13. SSS
14. π(答案不唯一)
15. 4
16. 352,如图所示,取格点 E,F,连接 EF 交 AB 于点 P,交 AC 于点 Q,此时 PC+PQ 最短.
第三部分
17. 如图所示.
18. (1) 245÷32135=245×2358=23245×58=23136=23×16=19.
(2) 3a2÷3a2×122a3=3a2×132a×122a3=163a2×2a×2a3=164a2=16∣2a∣a>0=a3.
19. (1) ∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90∘,
在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中,
AB=CA,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAEHL,
∴∠BAD=∠ACE,
∵∠CAE+∠ACE=90∘,
∴∠BAD+∠CAE=90∘,
∴∠BAC=180∘−∠BAD+∠CAE=90∘,
∴AB⊥AC.
(2) 成立.
证明:
∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB=∠AEC=90∘,
在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中,
AB=CA,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAEHL,
∴∠BAD=∠ACE,
∵∠CAE+∠ACE=90∘,
∴∠BAD+∠CAE=90∘,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAE=90∘,
∴AB⊥AC.
20. 原式= a+ba−baa−b÷a2+2ab+b2a=1a+b
在 −2①若 a=−1, 分式 a2−b2a2−ab 无意义;
②若 a=0, 分式 2ab+b2a 无意义;
③若 a=1, 分式 1a+b 无意义.
所以 a 在规定的范围内取整数,原式均无意义(或所求值不存在).
21. x−1x+1+2xx2−1÷1x2−1=x2+1x2−1×x2−1=x2+1
当 x=0 时,原式的值为 1.
【解析】说明:只要 x≠±1,且代入求值正确,均可记满分.
22.
3−2x+3=x−3.3−2x−6=x−3.−3x=0.x=0.
经检验,x=0 是原方程的解,
∴ 原方程的解是
x=0.
23. ∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
在 △ABC 和 △BAD 中,
∠ABC=∠BAD,∠C=∠D,AB=BA,
∴△ABC≌△BAD AAS.
∴AD=BC.
24. (1) 设第一次购书的单价为 x 元,根据题意得:
1200x+10=15001+20%x,
解得:
x=5.
经检验,x=5 是原方程的解,
答:第一次购书的进价是 5 元.
(2) 第一次购书为 1200÷5=240(本),
第二次购书为 240+10=250(本),
第一次赚钱为 240×7−5=480(元),
第二次赚钱为 200×7−5×1.2+50×7×0.4−5×1.2=40(元),
所以两次共赚钱 480+40=520(元),
答:该老板两次售书总体上是赚钱了,共赚了 520 元.
25. (1) ∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BH,CM 为 △ABC 的高,
∴∠BMC=∠CHB=90∘.
∴∠ABC+∠BCM=90∘,∠ACB+∠CBH=90∘.
∴∠BCM=∠CBH.
∴PB=PC.
(2) ∵PB=PC,PB=5,
∴PC=5.
∵PH=3,∠CHB=90∘,
∴CH=4.
设 AB=x,则 AH=x−4.
在 Rt△ABH 中,
∵AH2+BH2=AB2,
∴x−42+5+32=x2.
∴x=10,即 AB=10.
26. (1) a2+b2+c2+d2+e2+2ab+2ac+2ad+2ae+2bc+2bd+2be+2cd+2ce+2de.
(2) a12+a22+⋯−an2+2a1a2+2a1a3+⋯+2a1an+2a2a3+2a2a4+⋯+2a2an+⋯+2an−1an,
各项次数均为 2,平方项系数均为 1,交叉项系数均为 2,
项数为 nn+12,n 是原多项式的项数.
27. (1) 36;72
【解析】∵BA=BC,
∴∠BCA=∠BAC .
∵DA=DB,
∴∠BAD=∠B .
∵AD=AC,
∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B .
∴∠DAC=∠B .
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180∘,
∴2∠B+2∠B+∠B=180∘ .
∴∠B=36∘,∠C=2∠B=72∘ .
(2) ①在 △ADB 中,
∵DB=DA,∠B=36∘,
∴∠BAD=36∘ .
在 △ACD 中,
∵AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC=72∘ .
∴∠CAD=36∘ .
∴∠BAD=∠CAD=36∘ .
∵MH⊥AD,
∴∠AHN=∠AHE=90∘ .
∴∠AEN=∠ANE=54∘ .
即 △ANE 是等腰三角形.
② CD=BN+CE.
证明:由①知 AN=AE,
又 BA=BC,DB=AC,
∴BN=AB−AN=BC−AE,CE=AE−AC=AE−BD .
∴BN+CE=BC−BD=CD .
即 CD=BN+CE.
28. (1) 延长 FD 到 G 使 GD=DF,连接 BG,EG.
∵D 为 BC 中点,
∴BD=DC.
∵∠FDC=∠BDG,
∴△BDG≌△CDF.
∴BG=FC,∠C=∠GBD.
∵ED⊥DF,
∴EG=EF.
∵∠A=90∘,
∴∠ABC+∠C=90∘,
∴∠ABC+∠GBD=90∘,即 ∠EBG=90∘,
∴ 线段 BE,BG,EG 总能构成一个直角三角形;
∵BG=FC,EG=EF,
∴ 线段 BE,FC,EF 总能构成一个直角三角形.
(2) 当线段 FC=BE 时,线段 BE,FC,EF 能构成一个等边三角形,
证明:延长 FD 到 G 使 GD=DF,连接 BG,EG.
∵D 为 BC 中点,
∴BD=DC.
∵∠FDC=∠BDG,
∴△BDG≌△CDF.
∴BG=FC,∠C=∠GBD.
∵ED⊥DF,
∴EG=EF.
∵∠A=120∘,
∴∠ABC+∠C=60∘,
∴∠ABC+∠GBD=60∘,即 ∠EBG=60∘,
∴ 当线段 BG=BE(或 BE=EG,BG=GE)时,BE,BG,EG 能构成一个等边三角形;
∵EG=EF,BG=FC,
∴ 当线段 FC=BE(或 BE=EF,EF=FC)时,线段 BE,FC,EF 能构成一个等边三角形.
2021年北京丰台区芳星园中学九年级上期末数学试卷: 这是一份2021年北京丰台区芳星园中学九年级上期末数学试卷,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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