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    2021年北京丰台区圣云中学八年级上期末数学试卷
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    2021年北京丰台区圣云中学八年级上期末数学试卷

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    这是一份2021年北京丰台区圣云中学八年级上期末数学试卷,共15页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(共10小题;共50分)
    1. 下列说法正确的是
    A. 4 的算术平方根是 16
    B. −16 的算术平方根是 −4
    C. 因为 −52=25,所以 25 的算术平方根是 −5
    D. 1 的算术平方根是 1

    2. 下列事件中是必然事件是
    A. 明天太阳从西边升起
    B. 篮球队员在罚球线投篮一次,未投中
    C. 实心铁球投入水中会沉入水底
    D. 抛出一枚硬币,落地后正面向上

    3. 下列说法错误的是
    A. 有两个内角分别是 70∘ 与 40∘ 的三角形是等腰三角形
    B. 一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
    C. 有两个内角不等的三角形不是等腰三角形
    D. 有两个不同顶点的外角相等的三角形是等腰三角形

    4. 分式 ∣x∣−3x+3 的值为零,则 x 的值为
    A. 3B. −3C. ±3D. 任意实数

    5. 如果把分式 xyx−y 中的 x,y 都扩大 3 倍,那么分式的值
    A. 扩大 3 倍B. 不变C. 缩小 3 倍D. 扩大 9 倍

    6. 知识改变世界,科技改变生活,导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末,小强一家到 B,C 两处景区游玩,他们从家 A 处出发,向正北行驶 160 km 到达 B 处,若在 A 处测得景区 C 在北偏西 34∘ 方向上,且 ∠ACB=32∠BAC,则在 B 处测得景区 C 应位于
    A. 北偏西 68∘B. 南偏西 85∘C. 北偏西 85∘D. 南偏西 68∘

    7. 以下列各组数为边长,不能构成直角三角形的是
    A. 3,4,5B. 5,12,13C. 6,7,8D. 1,2,3

    8. 如图,已知 ∠1=∠2,AC=AD,有下列条件:
    ① AB=AE;② BC=ED;③ ∠C=∠D;④ ∠B=∠E.其中能使 △ABC≌△AED 的条件有 .
    A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

    9. 如图,已知钝角 △ABC,老师按如下步骤尺规作图:
    步骤 1:以 C 为圆心,CA 的长为半径画弧①;
    步骤 2:以 B 为圆心,BA 的长为半径画弧②,交弧①于点 D;
    步骤 3:连接 AD,交 BC 延长线于点 H.
    小明说:图中的 BH⊥AD 且平分 AD.
    小丽说:图中 AC 平分 ∠BAD.
    小强说:图中点 C 为 BH 的中点.
    你认为
    A. 小明说的对B. 小丽说的对
    C. 小强说的对D. 他们说的都不对

    10. 如图,圆柱形玻璃杯,高为 12 cm,底面周长为 18 cm,在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
    A. 15B. 97C. 12D. 18

    二、填空题(共6小题;共30分)
    11. 代数式 a 叫做二次根式.

    12. 一口袋内装有编号分别为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球(除编号外都相同),从中随机摸出一个球,则摸出编号为偶数的球的概率是 .

    13. 如图,CA=DA,DB=BC,那么判定 △ADB≌△ACB 的理由是 .

    14. 写出一个比 3 大且比 4 小的无理数: .

    15. 如图,在 Rt△ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90∘,将 △ABC 折叠,使点 A 与 BC 的中点 D 重合,折痕为 MN,则线段 BN 的长为 .

    16. 在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 A,B,C 均在格点上,点 P,Q 分别为线段 AB,AC 上的动点.
    (1)如图,当点 P,Q 分别为 AB,AC 中点时,PC+PQ 的值为 ;
    (2)当 PC+PQ 取得最小值时,在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段 PC,PQ,简要说明点 P 和点 Q 的位置是如何找到的 .

    三、解答题(共12小题;共156分)
    17. 如图,在 3×3 的正方形格纸中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中 △ABC 是一个格点三角形.在每张图中画出一个与 △ABC 成轴对称的格点三角形,并将所画三角形涂上阴影.

    18. 计算:
    (1)245÷32135;
    (2)3a2÷3a2×122a3a>0.

    19. 如图,在 △ABC 中,AB=AC,l 是过点 A 的直线,BD⊥直线l 于点 D,CE⊥直线l 于点 E.
    (1)若点 B,C 在直线 l 的同侧(如图①所示),且 AD=CE,求证:AB⊥AC;
    (2)若点 B,C 在直线 l 的两侧(如图②所示),其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

    20. 先化简: a2−b2a2−ab÷a+2ab+b2a ,当 b=−1 时,再从 −2
    21. 先化简代数式:x−1x+1+2xx2−1÷1x2−1,然后选取一个使原式有意义的 x 的值代入求值.

    22. 解分式方程:3x2−9−2x−3=1x+3.

    23. 已知:如图,AD,BC 相交于点 O,OA=OB,∠C=∠D.
    求证:AD=BC.

    24. 某书店老板去图书批发市场购买某种图书,第一次用 1200 元购书若干本,并按该书定价 7 元出售,很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提髙了 20%,他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本,当按定价售出 200 本时,出现滞销,便以定价的 4 折售完剩余的书.
    (1)第一次购书的进价是多少元?
    (2)试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其他因素)?若赔钱,赔多少;若赚钱,赚多少?

    25. 如图,在 △ABC 中,AB=AC,△ABC 的高 BH,CM 交于点 P.
    (1)求证:PB=PC.
    (2)若 PB=5,PH=3,求 AB.

    26. 小丽是个数学迷.老师上课教的完全平方公式,只是对二项式进行平方.她想知道对三项式、四项式、五项式等进行平方有何规律.通过计算她发现了下述三个等式:
    a+b2=a2+2ab+b2;
    a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;
    a+b+c+d2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd.
    (1)请你帮小丽一起算一算五项式:a+b+c+d+e2 是什么.
    (2)请你仔细观察上述四个等式,归纳一下展开式中的次数、项数、系数有些什么特征.

    27. 如图,在 △ABC 中,BA=BC,D 在边 CB 上,且 DB=DA=AC.
    (1)如图①,填空:∠B= ∘,∠C= ∘;
    (2)若 M 为线段 BC 上的点,过 M 作直线 MH⊥AD 于点 H,分别交直线 AB,AC 于点 N,E,如图②.
    ① 求证:△ANE 是等腰三角形;
    ②试写出线段 BN,CE,CD 之间的数量关系,并加以证明.

    28. (1)已知:如图 1,在 △ABC 中,∠A=90∘,D 为 BC 中点,E 为 AB 上一点,F 为 AC 上一点,ED⊥DF,连接 EF,求证:线段 BE,FC,EF 总能构成一个直角三角形;
    (2)已知:如图 2,∠A=120∘,D 为 BC 中点,E 为 AB 上一点,F 为 AC 上一点,ED⊥DF,连接 EF,请你找出一个条件,使线段 BE,FC,EF 能构成一个等边三角形,给出证明.
    答案
    第一部分
    1. D
    2. C【解析】A是不可能事件,B、D是随机事件.
    3. C【解析】有两个内角分别是 70∘ 与 40∘,根据三角形内角和定理,可得第三个角必为 70∘,所以该三角形是等腰三角形,故A中的说法正确;当一个外角的平分线平行于三角形的一边时,根据平行线的性质,可得该三角形的两个内角相等,所以该三角形是等腰三角形,故B中的说法正确;在内角分别为 50∘,50∘,80∘ 的三角形中,50∘ 的角与 80∘ 的角不相等,但该三角形为等腰三角形,故C中的说法不正确;有两个不同顶点的外角相等时,根据“等角的补角相等”,可得该三角形的两个内角相等,所以该三角形是等腰三角形,故D中的说法正确.
    4. A
    5. A
    【解析】3x×3y3x−3y=3×xyx−y,分式的值扩大 3 倍.
    6. C【解析】如图,
    根据题意可知 ∠A=34∘,
    ∵∠ACB=32∠BAC,
    ∴∠ACB=32×34∘=51∘.
    由三角形外角的性质可知 ∠1=∠ACB+∠BAC=34∘+51∘=85∘.
    故选C.
    7. C【解析】A.32+42=52,故能构成直角三角形,故此选项不符合题意;
    B.52+122=132,故能构成直角三角形,故此选项不符合题意;
    C.62+72≠82,故不能构成直角三角形,故此选项符合题意;
    D.12+22=32,故能构成直角三角形,故此选项不符合题意.
    8. B
    9. A【解析】如图,连接 CD,BD,
    ∵CA=CD,BA=BD,
    ∴ 点 C,点 B 都在线段 AD 的垂直平分线上,
    ∴ 直线 BC 是线段 AD 的垂直平分线,即 BH⊥AD 且平分 AD,
    故小明的说法正确;
    而 AC 不一定平分 ∠BAD,故小丽的说法错误;
    点 C 不一定为 BH 的中点,故小强的说法错误.故选A.
    10. A
    【解析】沿过 A 的圆柱的高剪开,得出矩形 EFGH,
    过 C 作 CQ⊥EF 于 Q,
    作 A 关于 EH 的对称点 Aʹ,连接 AʹC 交 EH 于 P,连接 AP,

    则 AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,
    ∵AE=AʹE,AʹP=AP,
    ∴AP+PC=AʹP+PC=AʹC,
    ∵CQ=12×18 cm=9 cm,AʹQ=12 cm−4 cm+4 cm=12 cm,
    在 Rt△AʹQC 中,由勾股定理得:AʹC=122+92=15 cm.
    第二部分
    11. a≥0
    12. 37
    【解析】编号为偶数的球有:2,4,6 一共 3 个,总共有 7 个球,
    所以 P=37.
    13. SSS
    14. π(答案不唯一)
    15. 4
    16. 352,如图所示,取格点 E,F,连接 EF 交 AB 于点 P,交 AC 于点 Q,此时 PC+PQ 最短.
    第三部分
    17. 如图所示.
    18. (1) 245÷32135=245×2358=23245×58=23136=23×16=19.
    (2) 3a2÷3a2×122a3=3a2×132a×122a3=163a2×2a×2a3=164a2=16∣2a∣a>0=a3.
    19. (1) ∵BD⊥DE,CE⊥DE,
    ∴∠ADB=∠AEC=90∘,
    在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中,
    AB=CA,AD=CE,
    ∴Rt△ABD≌Rt△CAEHL,
    ∴∠BAD=∠ACE,
    ∵∠CAE+∠ACE=90∘,
    ∴∠BAD+∠CAE=90∘,
    ∴∠BAC=180∘−∠BAD+∠CAE=90∘,
    ∴AB⊥AC.
    (2) 成立.
    证明:
    ∵BD⊥DE,CE⊥DE,
    ∴∠ADB=∠AEC=90∘,
    在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中,
    AB=CA,AD=CE,
    ∴Rt△ABD≌Rt△CAEHL,
    ∴∠BAD=∠ACE,
    ∵∠CAE+∠ACE=90∘,
    ∴∠BAD+∠CAE=90∘,
    ∴∠BAC=∠BAD+∠CAE=90∘,
    ∴AB⊥AC.
    20. 原式= a+ba−baa−b÷a2+2ab+b2a=1a+b
    在 −2①若 a=−1, 分式 a2−b2a2−ab 无意义;
    ②若 a=0, 分式 2ab+b2a 无意义;
    ③若 a=1, 分式 1a+b 无意义.
    所以 a 在规定的范围内取整数,原式均无意义(或所求值不存在).
    21. x−1x+1+2xx2−1÷1x2−1=x2+1x2−1×x2−1=x2+1
    当 x=0 时,原式的值为 1.
    【解析】说明:只要 x≠±1,且代入求值正确,均可记满分.
    22.
    3−2x+3=x−3.3−2x−6=x−3.−3x=0.x=0.
    经检验,x=0 是原方程的解,
    ∴ 原方程的解是
    x=0.
    23. ∵OA=OB,
    ∴∠OAB=∠OBA.
    在 △ABC 和 △BAD 中,
    ∠ABC=∠BAD,∠C=∠D,AB=BA,
    ∴△ABC≌△BAD AAS.
    ∴AD=BC.
    24. (1) 设第一次购书的单价为 x 元,根据题意得:
    1200x+10=15001+20%x,
    解得:
    x=5.
    经检验,x=5 是原方程的解,
    答:第一次购书的进价是 5 元.
    (2) 第一次购书为 1200÷5=240(本),
    第二次购书为 240+10=250(本),
    第一次赚钱为 240×7−5=480(元),
    第二次赚钱为 200×7−5×1.2+50×7×0.4−5×1.2=40(元),
    所以两次共赚钱 480+40=520(元),
    答:该老板两次售书总体上是赚钱了,共赚了 520 元.
    25. (1) ∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠ACB.
    ∵BH,CM 为 △ABC 的高,
    ∴∠BMC=∠CHB=90∘.
    ∴∠ABC+∠BCM=90∘,∠ACB+∠CBH=90∘.
    ∴∠BCM=∠CBH.
    ∴PB=PC.
    (2) ∵PB=PC,PB=5,
    ∴PC=5.
    ∵PH=3,∠CHB=90∘,
    ∴CH=4.
    设 AB=x,则 AH=x−4.
    在 Rt△ABH 中,
    ∵AH2+BH2=AB2,
    ∴x−42+5+32=x2.
    ∴x=10,即 AB=10.
    26. (1) a2+b2+c2+d2+e2+2ab+2ac+2ad+2ae+2bc+2bd+2be+2cd+2ce+2de.
    (2) a12+a22+⋯−an2+2a1a2+2a1a3+⋯+2a1an+2a2a3+2a2a4+⋯+2a2an+⋯+2an−1an,
    各项次数均为 2,平方项系数均为 1,交叉项系数均为 2,
    项数为 nn+12,n 是原多项式的项数.
    27. (1) 36;72
    【解析】∵BA=BC,
    ∴∠BCA=∠BAC .
    ∵DA=DB,
    ∴∠BAD=∠B .
    ∵AD=AC,
    ∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B .
    ∴∠DAC=∠B .
    ∵∠DAC+∠ADC+∠C=180∘,
    ∴2∠B+2∠B+∠B=180∘ .
    ∴∠B=36∘,∠C=2∠B=72∘ .
    (2) ①在 △ADB 中,
    ∵DB=DA,∠B=36∘,
    ∴∠BAD=36∘ .
    在 △ACD 中,
    ∵AD=AC,
    ∴∠ACD=∠ADC=72∘ .
    ∴∠CAD=36∘ .
    ∴∠BAD=∠CAD=36∘ .
    ∵MH⊥AD,
    ∴∠AHN=∠AHE=90∘ .
    ∴∠AEN=∠ANE=54∘ .
    即 △ANE 是等腰三角形.
    ② CD=BN+CE.
    证明:由①知 AN=AE,
    又 BA=BC,DB=AC,
    ∴BN=AB−AN=BC−AE,CE=AE−AC=AE−BD .
    ∴BN+CE=BC−BD=CD .
    即 CD=BN+CE.
    28. (1) 延长 FD 到 G 使 GD=DF,连接 BG,EG.
    ∵D 为 BC 中点,
    ∴BD=DC.
    ∵∠FDC=∠BDG,
    ∴△BDG≌△CDF.
    ∴BG=FC,∠C=∠GBD.
    ∵ED⊥DF,
    ∴EG=EF.
    ∵∠A=90∘,
    ∴∠ABC+∠C=90∘,
    ∴∠ABC+∠GBD=90∘,即 ∠EBG=90∘,
    ∴ 线段 BE,BG,EG 总能构成一个直角三角形;
    ∵BG=FC,EG=EF,
    ∴ 线段 BE,FC,EF 总能构成一个直角三角形.
    (2) 当线段 FC=BE 时,线段 BE,FC,EF 能构成一个等边三角形,
    证明:延长 FD 到 G 使 GD=DF,连接 BG,EG.
    ∵D 为 BC 中点,
    ∴BD=DC.
    ∵∠FDC=∠BDG,
    ∴△BDG≌△CDF.
    ∴BG=FC,∠C=∠GBD.
    ∵ED⊥DF,
    ∴EG=EF.
    ∵∠A=120∘,
    ∴∠ABC+∠C=60∘,
    ∴∠ABC+∠GBD=60∘,即 ∠EBG=60∘,
    ∴ 当线段 BG=BE(或 BE=EG,BG=GE)时,BE,BG,EG 能构成一个等边三角形;
    ∵EG=EF,BG=FC,
    ∴ 当线段 FC=BE(或 BE=EF,EF=FC)时,线段 BE,FC,EF 能构成一个等边三角形.
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