2021年北京延庆区永宁中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京延庆区永宁中学九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列事件属于必然事件的是
A. 打开电视，正在播放新闻
B. 我们班的同学将会有人成为航天员
C. 实数 a<0, 则 2a<0
D. 新疆的冬天不下雪

2. 将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 已知 y 与 x 成反比例，当 x 增加 20% 时，y 将
A. 减少 20%B. 增加 20%C. 减少 80%D. 约减少 16.7%

4. 如图，点 A 为 ∠α 边上任意一点，作 AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，下列用线段比表示 csα 的值，错误的是
A. BDBCB. BCABC. ADACD. CDAC

5. 如图，AB 为 ⊙O 直径，已知为 ∠DCB=20∘，则 ∠DBA 为
A. 50∘B. 20∘C. 60∘D. 70∘

6. 如图，AB∥EF∥CD，下列结论中错误的是
A. OAOD=OBOCB. ABCD=OBBCC. EFCD=OFODD. ABEF=OAOF

7. 某火车站的显示屏，每隔 4 分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续 1 分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是
A. 16B. 15C. 14D. 13

8. 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30∘ 得到正方形 ABʹCʹDʹ，两图叠成一个"蝶形风筝"（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是 ．
A. 2−33B. 233C. 2−34D. 2

9. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是反比例函数 y=kxk≠0 图象上的点，过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 B，点 C 在 x 轴上，若 △ABC 的面积为 2，则 k 的值为
A. 2B. −4C. 4D. −2

10. 下列选项中，阴影部分面积最小的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在等边 △ABC 中，AB=6，D 是 BC 上一点，且 BC=3BD，△ABD 绕点 A 旋转后得到 △ACE，则 CE 的长度为 ．

12. 在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 tanB 的值为 ．

13. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦 AB 与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留 π）

14. 如图，小明同学站在离墙 BC5 m 的 A 处，发现小强同学在离墙 BC20 m 远且与墙平行的一条公路 l 上骑车，已知墙 BC 长为 24 m，则小明看不见小强的距离为 m．

15. 在 △ABC 中，tanB=34，AB=10，AC=35，则线段 BC 的长为 ．

16. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，以 C 为圆心，R 为半径画圆，若 ⊙C 与边 AB 有两个公共点，则 R 的取值范围是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：4cs30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cs45∘．

18. 马戏团驯兽师让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板柱 AB 的高度为 1.2 米．
（1）若吊环的高度为 2 米，支点 A 为跷跷板 PQ 的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上?为什么?
（2）若吊环高度为 3.6 米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点 A 移到跷跷板 PQ 的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上?

19. 在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标上数字 −1,0,1,2 ，随机的摸出一个小球记录数字然后放回，在随机的摸出一个小球记录数字．求下列事件的概率：
（1）两次都是正数的概率 P(A) ；
（2）两次的数字和等于 0 的概率 P(B) ．

20. 如图，点 A 的坐标为 3,2，点 B 的坐标为 3,0．作如下操作：
① 以点 A 为旋转中心，将 △ABO 顺时针方向旋转 90∘，得到 △AB1O1；
② 以点 O 为位似中心，将 △ABO 放大，得到 △A2B2O，使相似比为 1∶2，且点 A2 在第三象限．
（1）在图中画出 △AB1O1 和 △A2B2O；
（2）请直接写出点 A2 的坐标： ．

21. 如图，正比例函数 y=2x 的图象与反比例函数 y=kx 的图象有一个交点为 P2,m．
（1）求反比例函数 y=kx 函数表达式．
（2）根据图象，直接写出当 −4
22. 如图，AD 是 △ABC 的中线，tanB=15，csC=22，AC=2．求：
（1）BC 的长；
（2）∠ADC 的正弦值．

23. 如图 1，一个圆球放置在 V 型架中．图 2 是它的平面示意图，CA，CB 都是 ⊙O 的切线，切点分别是 A，B，如果 ⊙O 的半径为 23 cm，且 AB=6 cm，求 ∠ACB．

24. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼 AB 高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：
（1）根据测量方案和所得数据，第 组的数据无法算出大楼高度?
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．
参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75．

25. 如图所示，在平面直角坐标系中，以点 M0,3 为圆心，以 23 长为半径作 ⊙M 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，D 两点，连接 AM 并延长交 ⊙M 于 P 点，连接 PC 交 x 轴于点 E．
（1）求点 C，P 的坐标．
（2）求证：BE=2OE．

26. 如图，已知 △ABC 、 △DEF 均为正三角形，D 、 E 分别在 AB 、 BC 上．请找出一个与 △DBE 相似的三角形并证明．

27. 某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点 B（点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定的直线垂直于河岸）．
（1）小明在 B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 AB=1.7 米；
（2）小明站在原地转动 180∘ 后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处，此时小亮测得 BE=9.6 米，小明的眼睛距地面的距离 CB=1.2 米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 BD 是多少米?

28. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，BC=2AB=8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 DE．将 △EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α．
（1）当 α=180∘ 时，AEBD= ；
（2）在图 2 中画出 △EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时的图形，并求出此时线段 BD 的长．

29. 计算．
（1）3tan60∘−sin245∘−3tan45∘+cs60∘．
（2）1−cs30∘sin60∘+tan30∘．
答案
第一部分
1. C
2. D【解析】A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
3. D
4. C
5. D
6. B
7. B【解析】答案： B
8. A【解析】
如图，设 CD，CʹBʹ 交于 E 点，连接 AE．
由旋转的性质可知 △ADE≌△ABʹE．
∵ 旋转角 ∠BABʹ=30∘，
∴ ∠BʹAD=90∘−∠BABʹ=60∘，
∴ ∠DAE=30∘．
在 Rt△ADE 中，设 AE=x，则 DE=12x．
由勾股定理得 12x2+1=x2，解得 x=233．
∴ S△ADE=12×1×33=36．
∴S四边形ADEBʹ=33．
∴S风筝=2−33．
9. B【解析】∵A 在反比例函数 y=kx 图象上，
∴ 设 Aa,ka，
∵AB⊥y 轴，
∴B0,ka，
∴AB=−a，OB=ka，
∵S△ABC=12AB⋅OB=2，
∴12⋅−a⋅ka=2，
∴k=−4．
10. C
【解析】
如图，分别过点 M，N 作 MA⊥x 轴，NB⊥x 轴，则 S阴影=S△OAM+S阴影梯形ABNM−S△OBN=12×2+122+1×1−12×1×2=32．
第二部分
11. 2
【解析】在等边 △ABC 中，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵BC=3BD，
∴BD=2，
∵△ABD 绕点 A 旋转后得到 △ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2．
12. 34
13. 16π
【解析】S阴影=πR2−πr2=πR2−r2=π×42=16π.
14. 120
15. 5 或 11
16. 6013第三部分
17. 原式=4×32−3×3+2×22×22=1−3.
18. （1） 能．
（2） AP=13PQ 处．
19. （1） 画树状图，
所有可能出现的结果共有 16 种，每种结果出现的可能性都相同，两个数字都是正数的结果有 4 种，所以 P(A)==416=14 ；
（2） 如图，
所有可能出现的结果共有 16 种，每种结果出现的可能性都相同，两个数字和为 0 的结果有 3 种，所以 P(B)=316 ．
20. （1） 如图
（2） −6,−4
21. （1） 将点 P2,m 代入 y=2x，
∴m=4，
∴P2,4，
将点 P2,4 代入 y=kx，
∴k=2×4=8．
∴ 反比例函数为 y=8x．
（2） −8【解析】∵x=−4 时，y=8−4=−2，x=−1 时，y=8−1=−8，
∴ 当 −422. （1） 如图，作 AH⊥BC 于 H．
在 Rt△ACH 中，
∵ csC=22=CHAC，AC=2，
∴CH=1，
∴AH=AC2−CH2=1，
在 Rt△ABH 中，
∵ tanB=AHBH=15，
∴BH=5，
∴BC=BH+CH=6．
（2） ∵AD 是 △ABC 的中线，
∴BD=CD，
∴CD=3，
∴DH=2，
∴AD=AH2+DH2=5．
在 Rt△ADH 中，sin∠ADH=AHAD=55．
∴∠ADC 的正弦值为 55．
23. 如图，连接 OC 交 AB 于点 D．
∵CA，CB 分别是 ⊙O 的切线，
∴CA=CB，OC 平分 ∠ACB，
∴OC⊥AB．
∵AB=6，
∴BD=3．
在 Rt△OBD 中，
∵OB=23，
∴sin∠BOD=BDOB=323=32，
∴∠BOD=60∘．
∵BC 是 ⊙O 的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OCB=30∘，
∴∠ACB=60∘．
24. （1） 二
（2） 第一组：
在 Rt△ABD 中，AB⊥BC，由 ∠ADB=45∘，
得 AB=BD．
设 AB=BD=x，则 BC=12+x，
在 Rt△ABC 中，由 ∠C=37∘，
tan∠C=ABBC，
得 xx+12=34．
解得 x=36．
答：教学大楼的高度是 36 米．
第三组：
在 Rt△ABF 中，AB⊥BP，由 ∠AFB=45∘，
得 AB=BF．
在 Rt△PEF 中，由 EF=9，∠P=37∘，
得 PF=12，
设 AB=BF=x，则 BP=12+x．
在 Rt△PAB 中，由 ∠P=37∘，tan∠P=ABBP，
得 xx+12=34．
解得 x=36．
答：教学大楼的高度是 36 米．
25. （1） 如图所示，连接 PB．
∵PA 是 ⊙M 的直径，
∴∠PBA=90∘．
∵AM=23，OM=3，
∴ 由勾股定理，得 AO=OB=3．
又 ∵MO⊥AB，
∴PB∥MO．
∴PB=2OM=23．
∴P 点坐标为 3,23．
∵ 圆的半径 MC=23，OM=3，
∴OC=MC−OM=3．则点 C 的坐标为 0,−3．
（2） 连接 AC，如图所示．
∵AM=MC=23，AO=3，OC=3，
∴AM=MC=AC=23．
∴△AMC 为等边三角形．
又 ∵AP 为 ⊙M 的直径，得 ∠ACP=90∘．
∴∠OCE=30∘．
∴∠OEC=60∘．
又 ∵OC=3，
∴OE=1，BE=2．
∴BE=2OE．
26. △DBE 与 △ECH 相似．
∵△ABC 和 △DEF 为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=60∘，
∴∠BDE+∠BED=120∘，∠BED+∠CEH=120∘，
∴∠BDE=∠CEH．
在 △DBE 与 △ECH 中，∠BDE=∠CEH，∠B=∠C，
∴△DBE∽△ECH
27. 由题意得，∠BAD=∠BCE．
∵ ∠ABD=∠ABE=90∘，
∴ △BAD∽△BCE．
∴ BDBE=ABCB．
∴ BD9.6=1.71.2．
∴ BD=13.6．
∴ 河流的宽 BD 是 13.6 米．
28. （1） 52
【解析】提示：
AEBD=ACBC=52．
（2） 如图，当 △EDC 在 BC 上方，且 A，D，E 三点共线时，四边形 ABCD 为矩形．
∵A，D，E 三点共线，
∴∠ADC=90∘．
在 Rt△ADC 中，AD2+CD2=AC2．
解得 AD=BC=8．
∵AB=CD=4，AD=BC=8，∠ADC=90∘，
∴ 四边形 ABCD 为矩形．
∴BD=AC=45；
如图，当 △EDC 在 BC 下方，且 A，E，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形．
由勾股定理得 AD=8．
∴AE=6．
∵∠ACF=∠ECD，
∴∠ACE=∠BCD．
∵ACCE=BCCD，
∴△ACE∽△BCD．
∴AEBD=ACBC．
∴BD=1255．
29. （1） 原式=3×3−222−3×1+12=3−12−3+12=0.
（2） 原式=1−3232+33=2−33+33=23−3+33=3−1.