2019-2020学年北京丰台区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京丰台区八上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 若代数式 x−3 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x≠3B. x≥3C. x≤3D. x>3

3. 计算 −a2b3 的结果是
A. −a38b3B. −a36b3C. −a32b3D. a38b3

4. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 0.00000201 kg，将 100 粒芝麻的质量用科学记数法表示约为
A. 20.1×10−3 kgB. 2.01×10−4 kgC. 0.201×10−5 kgD. 2.01×10−6 kg

5. 下列计算正确的是
A. x+x2=x3B. x2⋅x3=x6C. x9÷x3=x3D. x32=x6

6. 如图，AB=AC，点 D，E 分别在 AB，AC 上，补充下列一个条件后，不能判断 △ABE≌△ACD 的是
A. ∠B=∠CB. AD=AE
C. ∠BDC=∠CEBD. BE=CD

7. 如图，在 △ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，EF 是 BC 的垂直平分线，P 是直线 EF 上的任意一点，则 PA+PB 的最小值是
A. 3B. 4C. 5D. 6

8. 如图，每个小方格的边长为 1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点 C 也是图中小方格的顶点，并且 △ABC 是等腰三角形，那么点 C 的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若分式 x−1x 的值为 0，则 x 的值为 ．

10. 点 M3,−4 关于 x 轴的对称点 N 的坐标是 ．

11. 分解因式：m3−4m= ．

12. 等腰三角形的一个角是 50∘，它的底角的大小为 ．

13. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=120∘，AD⊥AC，交 BC 于点 D．若 AD=3，则 BC= ．

14. 如图，从边长为 a+4 的正方形纸片中剪去一个边长为 a 的正方形（a>0 ），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为 ．

15. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘ ，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N ，再分别以点 M，N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作射线 AP 交 BC 于点 D．若 CD=1，AB=4 ，则 △ABD 的面积是 ．

16. 我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．
杨辉三角两腰上的数都是 1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了 a+bnn=1,2,3,4,5,6 的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应着 a+b2=a2+2ab+b2 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着 a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中各项的系数，等等．
（1）当 n=4 时，a+b4 的展开式中第 3 项的系数是 ．
（2）人们发现，当 n 是大于 6 的自然数时，这个规律依然成立，那么 a+b7 的展开式中各项的系数的和为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：∣−4∣−−32+3−2−−20200．

18. 计算：42−36×8．

19. 已知 2a2+3a−6=0，求代数式 3a2a+1−2a+12a−1 的值．

20. 如图，点 B 是线段 AD 上一点，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．
求证：△ABC≌△EDB．

21. 解方程：xx−1−1=2x．

22. 先化简，再求值：1+1x+2÷x2−9x−3，其中 x=3−2．

23. 如图，∠A=∠D=90∘，AB=DC，AC 与 DB 交于点 E，F 是 BC 中点，求证：∠BEF=∠CEF．

24. 已知 a，b，m 都是实数，若 a+b=2，则称 a 与 b 是关于 1 的“平衡数”．
（1）4 与 是关于 1 的“平衡数”，3−2 与 是关于 1 的“平衡数”．
（2）若 m+31−3=−2，判断 m+3 与 2−3 是否是关于 1 的“平衡数”，并说明理由．

25. 2019 年 12 月 18 日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并将在 2020 年 5 月 1 日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道．目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在某小区道路 l 上建一个智能垃圾分类投放点 O，使得道路 l 附近的两栋住宅楼 A，B 到智能垃圾分类投放点 O 的距离相等．
（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点 O 的位置
（2）确定点 O 位置的依据为 ．

26. 据媒体报道，在第 52 届国际速录大赛中我国速录选手获得了 7 枚金牌、 7 枚银牌和 4 枚铜牌，在国际舞台上展示了指尖上的“中国速度”．看到这则新闻后，学生小明和小海很受鼓舞，决定利用业余时间练习打字．经过一段时间的努力，他们的录入速度有了明显的提高．经测试现在小明打 140 个字所用时间与小海打 175 个字所用时间相同，小明平均每分钟比小海少打 15 个字．请求出小明平均每分钟打字的个数．

27. 阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如 x2−4y2−2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2−4y2−2x+4y=x2−4y2−2x+4y=x+2yx−2y−2x−2y=x−2yx+2y−2,
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2−2xy+y2−4．
（2）已知 △ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2−ab−ac+bc=0，判断 △ABC 的形状并说明理由．

28. 如图，在等边三角形 ABC 右侧作射线 CP，∠ACP=α0<α<60∘，点 A 关于射线 CP 的对称点为点 D，BD 交 CP 于点 E，连接 AD，AE．
（1）求 ∠DBC 的大小（用含 α 的代数式表示）．
（2）在 α0∘<α<60∘ 的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化?如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出 ∠AEB 的大小．
（3）用等式表示线段 AE，BD，CE 之间的数量关系，并证明．
答案
第一部分
1. C【解析】A选项：是轴对称图形，不符合题意，故A错误；
B选项：是轴对称图形，不符合题意，故B错误；
C选项：不是轴对称图形，符合题意，故C正确；
D选项：是轴对称图形，不符合题意，故D错误．
2. B【解析】由题意得：x−3≥0，
解得：x≥3．
3. A【解析】−a2b3=−a38b3．
4. B【解析】∵ 一粒芝麻的质量约为 0.00000201 kg，
∴100 粒芝麻的质量约为 0.000201 kg=2.01×10−4 kg．
5. D
【解析】A选项：x+x2≠x3，故A错误；
B选项：x2⋅x3=x5，故B错误；
C选项：x9÷x3=x6，故C错误；
D选项：x32=x6，故D正确．
6. D【解析】已知条件中 AB=AC，∠A 为公共角，
A中 ∠B=∠C，满足两角夹一边，可判定其全等，故A正确．
B中 AD=AE 两边夹一角，也能判定全等，故B正确．
C中 ∠BDC=∠CEB，即 ∠ADB=∠AEC，又 ∠A 为公共角，
∴∠B=∠C，所以可得三角形全等，故C正确．
D中两边及一角，但角并不是夹角，不能判定其全等，故D错误．
7. B【解析】∵EF 是 BC 中垂线，
∴ 点 B 关于直线 EF 的对称点为 C．
当点 P 为 AC 与 EF 的交点时，PA+PB 取得最小值，
最小值为 PA+PC=AC=4．
8. C【解析】
① AB 为腰时，C1，C2 有 2 个，
② AB 为底时 C3 有 1 个，共 3 个．
第二部分
9. 1
【解析】由题意得：x−1x=0，x−1=0，x=1，
∴x 的值为 1．
10. 3,4
【解析】点 M3,−4 关于 x 轴的对称点 N 的坐标点 3,4．
11. mm+2m−2
【解析】m3−4m=mm2−4=mm+2m−2.
12. 50∘ 或 65∘
【解析】当 50∘ 为底角时，顶角为 180∘−50∘×2=80∘，故底角为 50∘．
当 50∘ 为顶角时，底角为 12180∘−50∘=65∘．
13. 9
【解析】∵AB=AC，∠BAC=120∘，
∴∠B=∠C=30∘，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90∘，又 ∠C=30∘，
∴CD=2AD=6，
∵∠BAC=120∘，∠DAC=90∘，
∴∠BAD=30∘，
∴∠DAB=∠B，
∴BD=AD=3，
∴BC=BD+CD=9．
14. 8a+16
【解析】长方形面积为 a+42−a2=a2+8a+16−a2=8a+16．
15. 2
【解析】作 DE⊥AB 于 E，
由基本尺规作图可知，AD 是 △ABC 的角平分线，
因为 ∠C=90∘，DE⊥AB，
所以 DE=DC=1，
所以 △ABD 的面积 =12×AB×DE=2．
16. 6，128
【解析】（1）a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴a+b4 的展开式中第 3 项的系数是 6．
（2）a+b7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+6ab6+b7，
∴ 展开式中各项的系数的和为：
1+7+21+35+35+21+7+1=2+14+42+70=128.
第三部分
17. 原式=4−3+19−1=19．
18. 42−36×8=42×8−36×8=416−348=16−123.
19. 原式=6a2+3a−4a2+1=2a2+3a+1.
∵2a2+3a−6=0，
∴2a2+3a=6，
∴原式=6+1=7．
即原代数式的值为 7．
20. 如图．
∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠BDE，
在 △ABC 与 △EDB 中，
AB=DE,∠ABC=∠BDE,BC=BD,
∴△ABC≌△EDBSAS．
21. 方程两边同时乘以 xx−1，得
x2−xx−1=2x−1,
解方程，得
x=2,
经检验，x=2 是原方程的解，
∴ 原方程的解为 x=2．
22. 原式=x+3x+2⋅x−3x+3x−3=1x+2.
当 x=3−2 时，
原式=13−2+2=13=33.
23. 在 △ABE 和 △DCE 中，
∠A=∠D,∠AEB=∠DEC,AB=DC,
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∵F 是 BC 的中点，
∴BF=CF，
在 △BFE 和 △CFE 中，
BE=CE,BF=CF,EF=EF,
∴△BFE≌△CFE，
∴∠BEF=∠CEF．
24. （1） −2；2−1
【解析】设 4 与 x 是关于 1 的“平衡数”，
∴4+x=2，
∴x=−2，
∴4 与 −2 是关于 1 的“平衡数”，
设 3−2 与 y 是关于 1 的“平衡数”，
∴3−2+y=2，
∴y=2−1，
∴3−2 与 2−1 是关于 1 的“平衡数”．
（2） ∵m+31−3=−2，
∴m+3=−21−3=−21+31−3=1+3．
∴m+3+2−3=1+3+2−3=3≠2．
∴m+3 与 2−3 不是关于 1 的“平衡数”．
25. （1）
（2） 与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
26. 设小明平均每分钟打字 x 个，
则小海平均每分钟打字（x+15）个，
∴140x=175x+15，
∴140x+140×15=175x，
∴x=140×1535=60，
经检验 x=60 为方程的解，
故小明平均每分钟打字 60 个数．
27. （1） x2−2xy+y2−4=x−y2−4=x−y−2x−y+2.
（2） a2−ab−ac+bc=0，
a2−ab−ac−bc=0，
aa−b−ca−b=0，
a−ba−c=0，
a−b=0 或 a−c=0，
a=b 或 a=c．
∴△ABC 是等腰三角形.
28. （1） 连接 CD，
∵ 点 A 与点 D 关于射线 CD 对称，
∴CP 垂直平分 AD，
∴CA=CP，
∠ACP=∠DCP=α，
∵△ABC 是等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60∘，
∴CB=CD，∠BCD=∠ACB+∠ACP+∠DCP=60∘+2α，
∴∠DBC=180∘−∠BCD2=60∘−α．
（2） ∠AEB 大小不发生变化，∠AEB=60∘．
【解析】在 △CEA 和 △CED 中，
CA=CD,∠ACE=∠DCE,CE=CE,
△CEA≌△CEDSAS，
∴∠CDE=∠CAE
由（1）知，CB=CD，
∴∠CDE=∠CBE，
∴∠CBE=∠CAE，
∵∠CBE+∠1+∠ACB=180∘，
∠CAE+∠2+∠AEB=180∘
∠1=∠2，
∴∠AEB=∠ACB=60∘．
即 ∠AEB 大小不发生变化，∠AEB=60∘．
（3） 在 BE 上截取 EF=EC，连接 CF．
由（2）∠AEB=60∘，
∵CP 垂直平分 AD，
∴EA=ED，∠AEP=∠DEP，
∵∠AEP+∠DEP=180∘−∠AEB=120∘，
∴∠AEP=∠DEP=60∘，
∠BEC=∠PED=60∘，
∵EF=EC，
∴△CEF 是等边三角形，
∴CE=CF=EF，∠ECF=60∘，
∵△ABC 是等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60∘，
∴∠ACB=∠ECF，
∴∠ACB−∠ACF=∠ECF−∠ACF，即 ∠BCF=∠ACE，
在 △CBF 和 △CAE 中，
CB=CA,∠BCF=∠ACE,CF=CE,
∴△CBF≌△CAE，
∴BF=AE，
∵BD=BF+ED+EF，BF=AE=DE，EF=CE．
∴BD=2AE+CE．