2021年北京丰台区十中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区十中九年级上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上．若 ∠ABD=55∘，则 ∠BCD 的度数为
A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 40∘

2. 如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则 csA 的值为
A. 255B. 2C. 55D. 12

3. 如图，射线 l甲，l乙 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程 s 与时间 t 之间的函数关系，则他们行进的速度关系是
A. 甲比乙快B. 乙比甲快C. 甲、乙同速D. 不能确定

4. 图象经过点 2,3 的反比例函数的解析式是
A. y=32xB. y=23xC. y=6xD. y=16x

5. 挂钟的分针长 10 cm，经过 45 分钟，它的针尖经过的路程是
A. 15π2 cmB. 15π cmC. 75π2 cmD. 75π cm

6. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c−m=0 有两个不相等的实数根，下列结论：① b2−4ac<0；② abc>0；③ a−b+c<0；④ m>−2．其中正确的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

7. 在小孔成像问题中，如图所示，若为 O 到 AB 的距离是 18 cm，O 到 CD 的距离是 6 cm，则像 CD 的长是物体 AB 长的
A. 13B. 12C. 2 倍D. 3 倍

8. 某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：
①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心 O，再任意找出圆 O 的一条直径标记为 AB（如图 1），测量出 AB=4 分米；
②将圆环进行翻折使点 B 落在圆心 O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为 C，D（如图 2）；
③用一细橡胶棒连接 C，D 两点（如图 3）；
④计算出橡胶棒 CD 的长度．
小明计算橡胶棒 CD 的长度为
A. 22 分米B. 23 分米C. 32 分米D. 33 分米

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

10. 如图，AC，AD 是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1） ；（2） ．

11. 二次函数 y=−x2+bx+c 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式 −x2+bx+c<0 的解集为 ．

12. 已知 ⊙O 的半径为 1，其内接 △ABC 的边 AB=2，则 ∠C 的度数为 ．

13. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作已知角的角平分线．
已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC 的角平分线 AP．
小霞的作法如下：
（1）如图，在平面内任取一点 O；
（2）以点 O 为圆心，AO 为半径作圆，交射线 AB 于点 D，交射线 AC 于点 E；
（3）连接 DE，过点 O 作射线 OP 垂直于线段 DE，交 ⊙O 于点 P；
（4）过点 P 作射线 AP．
所以射线 AP 为所求．
老师说：“小霞的作法正确．”
请回答：小霞的作图依据是 ．

14. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A1,0，B3,0 两点，与 y 轴交于点 C0,3，则二次函数的图象的顶点坐标是 ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，P 的坐标为 3,4，则 tanα= ．

16. 如图，在 平行四边形 ABCD 中，E 为线段 AD 上一点，AE=4ED，CE 、 BD 交于点 F，若 DF=4 cm，则 BF 的长为 cm．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：cs30∘⋅tan60∘−4sin30∘+tan45∘．

18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+bk≠0 与反比例函数 y=mxm≠0 交于点 A−32,−2，B1,a．
（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出不等式 kx+b>mx 的解集．

19. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ⊙O 的半径为 6，∠B=60∘，求 AC 的长．

20. 如图，建筑物的高 CD 为 17.32 米，在其楼顶 C，测得旗杆底部 B 的俯角 α 为 60∘，旗杆顶部 A 的仰角 β 为 20∘，请你计算旗杆的高度．（sin20∘≈0.342，tan20∘≈0.364，cs20∘≈0.940，3≈1.732，结果精确到 0.1 米）

21. 如图，李师傅想用长为 80 米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区 ABCD．已知教学楼外墙长 50 米，设矩形 ABCD 的边长 AB 为 x（米），面积为 S（平方米）．
（1）请写出活动区面积 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围；
（2）当 AB 为多少米时，活动区的面积最大?最大面积是多少?

22. 如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，以 AC 为直径的 ⊙O 与 BC 交于 D，DE⊥AB，垂足为点 E，ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ⊙O 的半径为 2，BE=1，求 csA 的值．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2−2ax+1a>0 的对称轴为直线 x=b，点 A−2,m 在直线 y=−x+3 上．
（1）求 m，b 的值；
（2）若点 D3,2 在二次函数 y=ax2−2ax+1a>0 上，求 a 的值；
（3）当二次函数 y=ax2−2ax+1a>0 与直线 y=−x+3 相交于两点时，设左侧的交点为 Px1,y1，若 −3
24. 如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边中点，点 F 为 BC 边中点；点 G，H 为 AB 边三等分点，I，J 为 CD 边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图 2，图 3 所示，那么图 2 中四边形 GKLH 的面积与图 3 中四边形 KPOL 的面积相等吗?
（1）小瑞的探究过程如下：在图 2 中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；
在图 3 中，小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；
设 S△DEP=a，S△AKG=b．
∵EC∥AF．
∴△DEP∽△DAK，且相似比为 1:2，得到 S△DAK=4a．
∵GD∥BI，
∴△AGK∽△ABM，且相似比为 1:3，得到 S△ABM=9b．
又 ∵S△DAG=4a+b=16S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=14S四边形ABCD．
∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．
∴a= b，S四边形ABCD= b，S四边形KPOL= b．
∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则 S四边形KPOL S四边形GKLH（填写“>”“<”或“=”）．
（2）小瑞又按照图 4 的方式连接矩形 ABCD 对边上的点，则 S四边形ANML= S四边形ABCD．

25. 点 P 的“d 值”定义如下：若点 Q 为圆上任意一点，线段 PQ 长度的最大值与最小值之差即为点 P 的“d 值”，记为 dP．特别的，当点 P，Q 重合时，线段 PQ 的长度为 0．当 ⊙O 的半径为 2 时：
（1）若点 C−12,0，D3,4，则 dc= ，dp= ；
（2）若在直线 y=2x+2 上存在点 P，使得 dP=2，求出点 P 的横坐标；
（3）直线 y=−33x+bb>0 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B．若线段 AB 上存在点 P，使得 2≤dP<3，请你直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】如图，连接 AD，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘．
∵∠ABD=55∘，
∴∠DAB=90∘−55∘=35∘，
∴∠BCD=∠DAB=35∘．
2. C【解析】如图，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，
则点 D 为格点，AD=2，
由勾股定理知：AB2=32+12=10，
∴AB=10，
∴Rt△ADB 中，csA=ADAB=210=55．
3. A
4. C【解析】设反比例函数解析式为 y=kx，
∵ 图象经过点 2,3，
∴3=k2，k=6，
∴ 反比例函数解析式为 y=6x．
5. B
【解析】因为分针经过 60 分钟，转过 360∘，
所以经过 45 分钟转过 270∘，
则分针的针尖经过的路程是 nπr180=270×π×10180=15πcm．
6. C【解析】①由图可知：Δ>0，
∴b2−4ac>0，故①错误；
②由图可知：a>0，c<0，−b2a>0，
∴b<0，
∴abc>0，故②正确；
③由图可知：x=−1，y>0，
∴y=a−b+c>0，故③正确；
④由图可知：对于全体实数 x，都有 y≥−2，
∴ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c−m=0 有两个不相等的实数根，即直线 y=m 与抛物线有两个交点，
∴m>−2 即可，故④正确．
7. A【解析】如图，作 OE⊥AB 于 E，EO 的延长线交 CD 于 F．
∵AB∥CD，
∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，
∴CDAB=OFOE=618=13（相似三角形的对应高的比等于相似比），
∴CD=13AB，
故选：A．
8. B【解析】方法一：
如图，补全图形，连接 BO 交 CD 于点 F，
由折叠知 OF=12OB=1 分米，OB⊥CD，
由垂径定理可知：CD=2CF，
∴CF=OC2−OF2=3 分米，
∴DC=2CF=23 分米．
故选B．
方法二：
连接 OC，作 OE⊥CD，如图 3，
∵AB=4 分米，
∴OC=2 分米，
∵ 将圆环进行翻折使点 B 落在圆心 O 的位置，
∴OE=12OC=1 分米，
在 Rt△OCE 中，CE=OC2−OE2=3 分米，
∴CD=23 分米．
故选B．
第二部分
9. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
10. ∠BAC=∠BCA，∠DAF=∠ADE（答案不唯一）
【解析】由分析可知，两个关于图中角度的正确结论：
（1）∠BAC=∠BCA；
（2）∠DAF=∠ADE．（答案不唯一）
11. x<−1 或 x>5
【解析】抛物线的对称轴为直线 x=2，
而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 5,0，
所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 −1,0，
所以不等式 −x2+bx+c<0 的解集为 x<−1 或 x>5．
12. 45∘ 或 135∘
【解析】如图，连接 OA，OB，过 O 作 OD⊥AB 于 D．
在 Rt△OAD 中，AD=22，OA=1，
∴sin∠AOD=ADAO=22，
∴∠AOD=45∘，∠AOB=90∘．
点 C 的位置有两种情况：
①当点 C 在如图位置时，∠C=12∠AOB=45∘；
②当点 C 在 E 点位置时，∠E=180∘−45∘=135∘．
13. （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义
14. 2,−1
【解析】设解析式为：y=ax−x1x−x2a≠0，即 y=ax−1x−3
把点 C0,3，代入得 a=1．则 y=x−1x−3=x2−4x+3．
∴ 图象的顶点坐标是 2,−1．
15. 43
【解析】提示：过 P 作 PA⊥x 轴，垂足为 A．
16. 20
第三部分
17. 原式=32×3−4×12+1=32−2+1=12.
18. （1） ∵ 点 A−32,−2 在函数 y=mx 上，
∴m=−32×−2=3，
∴y=3x，
∵ 点 B1,a 在 y=3x 上，
∴a=3，
∵ 直线 y=kx+b 经过 A−32,−2，B1,3，
∴−32k+b=−2,k+b=3,
解得 k=2,b=1,
∴ 直线解析式为 y=2x+1．
（2） 观察图象可知，不等式 kx+b>mx 的解集为：−321．
19. 如图，作直径 AD，连接 CD．
在 ⊙O 中，
∵AD 是直径，
∴∠ACD=90∘．
∵∠B=60∘，
∴∠D=∠B=60∘．
∵⊙O 的半径为 6，
∴AD=12．
在 Rt△ACD 中，∠CAD=30∘，
∴CD=6．
∴AC=63．
20. 根据题意，在 Rt△BCE 中，∠BEC=90∘，tanα=BECE，
∴ CE=BEtan60∘≈（米），
在 Rt△ACE 中，∠AEC=90∘，tanβ=AECE，
∴ AE=CE⋅tan20∘≈10×0.364=3.64（米），
∴ AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96≈21.0（米），
答：旗杆的高约为 21.0 米．
21. （1） 根据题意知 AB=x m，BC=80−2xm，
∴S=x80−2x=−2x2+80x，
又 ∵x>0，0<80−2x≤50，
解得 15≤x<40，
∴S=−2x2+80x15≤x<40．
（2） ∵S=−2x2+80x=−2x−202+800，
∴ 当 x=20 时，S 最大值为 800，
答：当 AB 为 20 米时，活动区的面积最大，最大面积是 800 平方米．
22. （1） 如图，连接 OD，AD，
∵AC 为圆的直径，
∴∠ADC=90∘，AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴ 点 D 为 BC 的中点，
∵ 点 O 为 AC 的中点，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，∠AED=90∘，
∴∠ODE=90∘，
∴OD⊥DE，则 DE 为圆 O 的切线．
（2） ∵r=2，
∴AB=AC=2r=4，
∵BE=1，
∴AE=AB−BE=3，
∵OD∥AB，
∴△FOD∽△FAE，
∴FOFA=ODAE=23，
设 CF=x，则有 OF=x+2，AF=x+4，
∴x+2x+4=23，解得：x=2，
∴AF=6，
在 Rt△AEF 中，∠AEF=90∘，则 csA=AEAF=12．
23. （1） ∵ 二次函数 y=ax2−2ax+1a>0 的对称轴为直线 x=b，
∴b=−−2a2a=1，
∵ 点 A−2,m 在直线 y=−x+3 上，
∴m=2+3=5．
（2） ∵ 点 D3,2 在二次函数 y=ax2−2ax+1a>0 上，
∴2=a×32−2a×3+1，
∴a=13．
（3） ∵ 当 x=−3 时，y=−x+3=6，
∴ 当 −3,6 在 y=ax2−2ax+1a>0 上时，6=a×−32−2a×−3+1，
∴a=13，
又 ∵ 当 x=−1 时，y=−x+3=4，
∴ 当 −1,4 在 y=ax2−2ax+1a>0 上时，4=a×−12−2a×−1+1，
∴a=1，
∴1324. （1） 16；32；42；6；17；<
【解析】小瑞的探究过程如下：
在图 2 中，小瑞发现，S四边形GKLH=16S四边形ABCD；
在图 3 中，小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；
设 S△DEP=a，S△AKG=b．
∵EC∥AF．
∴△DEP∽△DAK，且相似比为 1:2，得到 S△DAK=4a．
∵GD∥BI，
∴△AGK∽△ABM，且相似比为 1:3，得到 S△ABM=9b．
又 ∵S△DAG=4a+b=16S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=14S四边形ABCD．
∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．
∴a=32b，S四边形ABCD=42b，S四边形KPOL=6b．
∴S四边形KPOL=17S四边形ABCD，则 S四边形KPOL （2） 15
【解析】如图 4 中，延长 CE 交 BA 的延长线于 T，连接 DN，
设 S△AGL=a，S△AEN=b．
∵GL∥PH，
∴△AGL∽△AHP，相似比为 1:2，得到 S△AHP=4a，
∵AT∥CD，
∴∠T=∠ECD，
∵∠AET=∠CED，AE=ED，
∴△AET≌△DEC，
∴AT=CD，
∵AT∥CJ，
∴ANNJ=ATCJ=32，
∴S△ADNS△DNJ=32，
可得 S△DNJ=43b，
∴S△ABF=4a+73b=14S四边形ABCD，S△ADJ=103b=16S四边形ABCD，
∴16a+283b=20b，
∴a=23b，
∴S四边形ANML=1220b−8a−203b=4b，
∴S四边形ABCD=20b，
∴S四边形ANML=15S四边形ABCD．
25. （1） 1；4
【解析】根据题意可得圆内的点的 d 值 = 这个点到圆心距离的 2 倍，圆上或圆外的点的 d 值 = 圆的直径，所以 dc=1，dp=4．
（2） 根据题意，满足 dp=2 的点位于 ⊙O 内部，且在以 O 为圆心半径为 1 的圆上，
∵ 点 P 在直线 y=2x+2 上，
∴ 可以假设 Pa,2a+2，
∵PO=1，
∴a2+2a+22=1，解得 a=−1或−35，
∴ 满足条件的点 P 的横坐标为 −1 或 −35．
（3） 33≤b<3．
【解析】根据题意，满足 2≤dP<3 的点位于点 O 为圆心，外径为 32，内径为 1 的圆环内，
当线段与外环相切时，可得 b=3，
当线段与内环相切时，可得 b=33，所以满足条件的 b 的值：33≤b<3．