2021年北京通州区次渠中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京通州区次渠中学九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如果一弧长是其所在圆周长的 118，那么这弧长所对的圆心角为
A. 15 度B. 16 度C. 20 度D. 24 度

2. 如图，PA，PB 分别与半径为 3 的 ⊙O 相切于点 A，B，直线 CD 分别交 PA，PB 于点 C，D，并切 ⊙O 于点 E，当 PO=5 时，△PCD 的周长为
A. 4B. 5C. 8D. 10

3. 如图，在 △ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，过点 E 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 CD，交 EF 于点 K，则下列说法正确的是
A. DEBC=ADEFB. FKKE=BFFCC. DEFC=AEECD. BDAD=BFFC

4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，∠A=30∘，以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧交 AB 于点 D，分别以点 A，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E，连接 AE，DE，则 ∠EAD 的余弦值是
A. 312B. 36C. 33D. 32

5. 对于反比例函数 y=2x，下列说法不正确的是
A. 点 −2,−1 在它的图象上
B. 它的图象在第一、三象限
C. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大
D. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小

6. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，作弦 CD⊥AB，∠OCD 的平分线交 ⊙O 于点 P，当点 C 在下半圆上移动时（不与点 A，B 重合），下列关于点 P 描述正确的是
A. 到 CD 的距离保持不变B. 到 D 点距离保持不变
C. 等分 BDD. 位置不变

7. 如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是
A. 60 m2B. 63 m2C. 64 m2D. 66 m2

8. 下列说法正确的是
A. 面积相等的两个三角形一定全等B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 矩形的对角线互相平分且相等D. 对角线互相垂直的四边形是菱形

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 抛物线 y=x−12+2 的对称轴是 ．

10. 如图，在平面直角坐标系内，点 A 是反比例函数 y=2xx>0 图象上的一点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，则 △AOB 的面积为 ．

11. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=52，AC=56，则 ∠A= ．

12. 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A−3,0，对称轴是直线 x=−1，则 a+b+c= ．

13. 木工周师傅加工一个长方形桌面，测量得到桌面的长为 80 cm，宽为 60 cm，对角线长为 100 cm，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）．

14. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠DAB=130∘，连接 OC，点 P 是半径 OC 上任意一点，连接 DP，BP，则 ∠BPD 可能为 度（写出一个即可）．

15. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BD，∠BDA=45∘，BC=2，若 BD⊥CD 于点 D，则对角线 AC 的最大值为 ．

16. 点 A−4,3，B0,k 在二次函数 y=−x+22+h 的图象上，则 k= ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 如图，△ABC 中，D，E 分别是 BC，AB 边上的点，AD 平分 ∠EDC，试说明 ∠BED>∠B 的道理．

18. 已知二次函数 y=−12x2−x+72 .
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为 y=ax+m2+k 的形式；
（2）写出该二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴，并说明函数值 y 随自变量 x 的变化而变化的情况．

19. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，点 E 在 BC 上，连接 AE，DE，延长 BA 到点 F，若 ∠FAD=2∠E．求证：AB=AD．

20. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的中线，CD=3，AC=5，求 ∠BCD 的正弦和余弦的值．

21. 某校一棵大树发生一定的倾斜，该树与地面的夹角 ∠ABC=75∘，小明测得某时大树的影子顶端在地面 C 处，此时光线与地面的夹角 ∠ACB=30∘；又过了一段时间，测得大树的影子顶端在地面 D 处，此时光线与地面的夹角 ∠ADB=50∘，若 CD=8 米，求该树倾斜前的高度（即 AB 的长度）．（结果保留一位小数，参考数据：sin50∘≈0.77，cs50∘≈0.64，tan50∘≈1.19，sin75∘≈0.97，cs75∘≈0.26，tan75∘≈3.73，3≈1.73）

22. 如图，已知反比例函数 y1=k1x（k1>0）与一次函数 y2=k2x+1k2≠0 相交于 A，B 两点，AC⊥x 轴于点 C，若 △OAC 的面积为 1，且 tan∠AOC=2．
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式．
（2）请直接写出 B 点的坐标，并指出当 x 为何值时，反比例函数 y1 的值大于一次函数 y2 的值?

23. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 是 ∠BAC 的角平分线．
（1）请尺规作图：作 ⊙O，使圆心 O 在 AB 上，且 AD 为 ⊙O 的一条弦．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线 BC 与所作 ⊙O 的位置关系，并说明理由．

24. 如图，在 ⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD．
（1）P 是 CAD 上一点（不与 C，D 重合）．求证：∠CPD=∠COB．
（2）点 Pʹ 在劣弧 CD 上（不与 C，D 重合）时，∠CPʹD 与 ∠COD 有什么数量关系?请证明你的结论．

25. 如果设 fx=x2x2+1，那么 fa 表示当 x=a 时，x2x2+1 的值，即 fa=a2a2+1．
如：f1=1212+1=12．
（1）求 f2+f12 的值；
（2）求 fx+f1x 的值；
（3）计算：f1+f2+f12+f3+f13+⋯+fn+f1n（结果用含有 n 的代数式表示，n 为正整数）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 的顶点为 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）将线段 OA 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到线段 OʹAʹ．
①直接写出点 Oʹ 和 Aʹ 的坐标；
②若抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 与四边形 AOOʹAʹ 有且只有两个公共点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．

27. 平面直角坐标系中，对于点 Am,n 和点 Bm,nʹ，给出如下定义：
若 nʹ=n,m≥1−n,m<1，则称点 B 为点 A 的可变点，例如：点 1,4 的可变点的坐标是 1,4，点 −1,4 的可变点的坐标是 −1,−4．
（1）①点 3,1 的可变点的坐标是 ；
②在点 A−1,2，B2,−4 中有一个点是函数 y=2x 图象上某一个点的可变点，这个点是 ；（填“A”或“B”）
（2）若点 A 在函数 y=x+2−4≤x≤3 的图象上，求其可变点 B 的纵坐标 nʹ 的取值范围；
（3）若点 A 在函数 y=−x+4−1≤x≤a,a>−1 的图象上，其可变点 B 的纵坐标 nʹ 的取值范围是 −5≤nʹ≤3，直接写出 a 的取值范围．

28. 回答下列问题：
（1）观察猜想
如图（1），在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，点 D 是 BC 的中点．以点 D 为顶点作正方形 DEFG，使点 A，C 分别在 DG 和 DE 上，连接 AE，BG，则线段 BG 和 AE 的数量关系是 ；
（2）拓展探究
将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0∘，小于或等于 360∘），如图 2，则（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
（3）解决问题
若 BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当 AE 为最大值时，直接写出 AF 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】118×360∘=20∘．
故选C．
2. C【解析】连接 OB．
∵PB 是 ⊙O 的切线，
∴∠PBO=90∘，
∴PB=PO2−OB2=4，
∵PA，PB 分别与 ⊙O 相切，
∴PA=PB=4，
∵CD 分别交 PA，PB 于点 C，D，并切 ⊙O 于点 E，
∴DE=DB，CE=CA，
∴△PCD 的周长 =PC+CD+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=8．
3. C【解析】∵DE∥CF，
∴△DEK∽△CFK，
∴DECF=DKCK，
∴EK∥AD，
∴DKKC=AEEC，
∴DECF=AEEC，
故选：C．
4. B
5. C
6. D
7. C【解析】设 AB=x，则 BC=16−x．根据题意，得矩形面积为 S=x16−x=−x−82+64．
8. C【解析】A、面积相等的两个三角形一定全等，错误；
B、平分弦的直径垂直于弦，这条弦不能是直径，此结论错误；
C、矩形的对角线互相平分且相等，此结论正确；
D、对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，此说法错误．
第二部分
9. x=1
10. 1
11. 30∘
12. 0
13. 合格
14. 80
【解析】连接 OB，OD，
因为四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠DAB=130∘，
所以 ∠DCB=180∘−130∘=50∘，
由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100∘，
所以 ∠DCB≤∠BPD≤∠DOB，即 50∘≤∠BPD≤100∘，
所以 ∠BPD 可能为 80∘．
15. 5+1
16. 3
【解析】由二次函数 y=−x+22+h 可知，抛物线的对称轴为直线 x=−2，
∴A−4,3 关于对称轴的对称点为 0,3，
∵B0,k 在二次函效 y=−x+22+h 的图象上，
∴ 点 B 就是点 A 的对称点，
∴k=3．
第三部分
17. ∵ ∠BED，∠ADC 分别是 △AED 和 △ABD 的外角，
∴ ∠BED>∠ADE，ADC>∠B（三角形的一个角大于任何一个和它不相邻的内角）．
又 ∵ AD 平分 ∠EDC，
∴ ∠ADE=∠ADC（角平分线定义），
∴ ∠BED>∠B．
18. （1） y=−12x2+2x−7=−12x+12−8=−12x+12+4.
（2） 该二次函数图象的开口向下，顶点坐标 −1,4，对称轴为线 x=−1；
在对称轴（即直线 x=−1）左侧的部分是函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；
在对称轴（即直线 x=−1）右侧的部分是函数值 y 随自变量 x 的增大而减小．
19. 连接 CA，如图，
∵∠FAD+∠BAD=180∘，∠BAD+∠BCD=180∘，
∴∠FAD=∠BCD，
∵∠FAD=2∠E，
∴∠BCD=2∠E，
而 ∠ACD=∠E，
∴∠ACB=∠ACD=∠E，
∴AB=AD，
∴AB=AD．
20. 35；45．
21. 过 A 作 AH⊥BC 于 H，
在 Rt△ACH，
因为 ∠C=30∘，
所以 tan30∘=AHCH，
所以 CH=AH33=3AH，
在 Rt△ADH 中，
因为 ∠ADH=45∘，
所以 DH=AH，
因为 CD=CH−DH=3AH−AH=8，
所以 AH=83−1=43+1，
在 Rt△AHB 中，
因为 ∠B=75∘，
所以 sin75∘=AHAB，
所以 AB=AH⋅sin75∘=43+1×0.97≈10.6（米）．
答：该树倾斜前的高度是 10.6 米．
22. （1） 在 Rt△OAC 中，设 OC=m，
∵tan∠AOC=ACOC=2，
∴AC=2×OC=2m，
∵S△OAC=12×OC×AC=12×m×2m=1，
∴m2=1，
∴m=±1（负值舍去），
∴A 点的坐标为 1,2，
把 A 点的坐标代入 y1=k1x 中，得 k1=2，
∴ 反比例函数的表达式为 y1=2x，
把 A 点的坐标代入 y2=k2x+1 中，得 k2+1=2，
∴k2=1，
∴ 一次函数的表达式 y2=x+1．
（2） −2,−1，023. （1） 如图，⊙O 为所作．
（2） 直线 BC 与所作 ⊙O 相切．
理由如下：连接 OD，如图．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C=90∘，
∴∠ODB=90∘，
∴OD⊥BC，
∴BC 为 ⊙O 的切线．
24. （1） 连接 OD．
∵AB⊥CD，
∴BC=BD．
∴∠BOC=∠BOD=12∠COD．
又 ∠CPD=12∠COD，
∴∠CPD=∠COB．
（2） 2∠CPʹD+∠COD=360∘．
理由如下：
∵∠CPʹD+∠CPD=12CPD+CPʹD=180∘，
∴∠CPʹD=180∘−∠CPD．
又 ∠CPD=12∠COD，
∴∠CPʹD=180∘−12∠COD，
即 2∠CPʹD+∠COD=360∘．
25. （1） 当 x=2 时，f2=45．
当 x=12 时，f12=15，
∴f2+f12=45+15=1．
（2） fx+f1x=x2x2+1+1x2+1=1．
（3） f1+f2+f12+f3+f13+⋯+fn+f1n=12+1×n−1=n−12．
26. （1） ∵y＝mx2−4mx+4m+3=mx2−4x+4+3=mx−22+3
∴ 抛物线的顶点 A 的坐标为 2,3．
（2） ①由 1 知，A2,3，
∵ 线段 OA 沿 x 轴向右平移 2 个单位长度得到线段 O′A′．
∴Oʹ2,0，Aʹ4,3．
②如图，
∵ 抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 与四边形 AOOʹAʹ 有且只有两个公共点，
∴m＜0．
由图象可知，抛物线是始终和四边形 AOOʹAʹ 的边 OʹAʹ 相交，
∴ 抛物线已经和四边形 AOO′A′ 有两个公共点，
∴ 将 0,0 代入 y=mx2−4mx+4m+3 中，得 m=−34，
∴−3427. （1） ① 3,1；② A
【解析】①由定义可知，3>1，
所以点 3,1 的可变点的坐标是 3,1；
②点 A−1,2 的可变点为 −1,−2，在函数 y=2x 图象上，B2,−4 的可变点为 2,−4，不在函数 y=2x 图象上．故这个点为点 A．
（2） 若点 A 在函数 y=x+2−4≤x≤3 的图象上，设 Ax,x+2，
当 1≤x≤3 时，3≤x+2≤5，即 3≤nʹ≤5，
当 −4≤x<1 时，−3≤−x+2≤2，即 −3≤nʹ≤2．
所以纵坐标 nʹ 的取值范围为 3≤nʹ≤5 或 −3≤nʹ≤2．
（3） 7【解析】依题意，y=−x+4−1≤x≤a,a>−1 图象上的点 A 的可变点 B 必在函数 nʹ=−x+4,x≥1x−4,x<1 的图象上，当 x=1 时，nʹ 取最大值，nʹ=−1+4=3，当 nʹ=−5 时，x−4=−5 或 −x+4=−5，
所以 x=−1 或 x=9，
当 nʹ=−3 时，−x+4=−3，
所以 x=7．
因为 −5≤nʹ≤3，
所以由图象可知，a 的取值范围是：728. （1） BG=AE
（2） 成立．
如图②，
连接 AD．
∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90∘，点 D 是 BC 的中点．
∴∠ADB=90∘，且 BD=AD．
∵∠BDG=∠ADB−∠ADG=90∘−∠ADG=∠ADE，DG=DE．
∴△BDG≌△ADE，
∴BG=AE．
（3） 由（2）知，BG=AE，故当 BG 最大时，AE 也最大．
因为正方形 DEFG 在绕点 D 旋转的过程中，G 点运动的图形是以点 D 为圆心，DG 为半径的圆，故当正方形 DEFG 旋转到 G 点位于 BC 的延长线上（即正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转 270∘）时，BG 最大，如图③．
若 BC=DE=2，则 AD=1，EF=2．
在 Rt△AEF 中，AF2=AE2+EF2=AD+DE2+EF2=1+22+22=13．
∴AF=13．
即在正方形 DEFG 旋转过程中，当 AE 为最大值时，AF=13．