2021年北京通州区次渠中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京通州区次渠中学九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如果一弧长是其所在圆周长的 118，那么这弧长所对的圆心角为
A. 15 度B. 16 度C. 20 度D. 24 度

2. 如图，PA，PB 分别与半径为 3 的 ⊙O 相切于点 A，B，直线 CD 分别交 PA，PB 于点 C，D，并切 ⊙O 于点 E，当 PO=5 时，△PCD 的周长为
A. 4B. 5C. 8D. 10

3. 如图，在 △ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E，过点 E 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 CD，交 EF 于点 K，则下列说法正确的是
A. DEBC=ADEFB. FKKE=BFFCC. DEFC=AEECD. BDAD=BFFC

4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，∠A=30∘，以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧交 AB 于点 D，分别以点 A，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E，连接 AE，DE，则 ∠EAD 的余弦值是
A. 312B. 36C. 33D. 32

5. 对于反比例函数 y=2x，下列说法不正确的是
A. 点 −2,−1 在它的图象上
B. 它的图象在第一、三象限
C. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大
D. 当 x0 图象上的一点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，则 △AOB 的面积为 ．

11. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=52，AC=56，则 ∠A= ．

12. 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A−3,0，对称轴是直线 x=−1，则 a+b+c= ．

13. 木工周师傅加工一个长方形桌面，测量得到桌面的长为 80 cm，宽为 60 cm，对角线长为 100 cm，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）．

14. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠DAB=130∘，连接 OC，点 P 是半径 OC 上任意一点，连接 DP，BP，则 ∠BPD 可能为 度（写出一个即可）．

15. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BD，∠BDA=45∘，BC=2，若 BD⊥CD 于点 D，则对角线 AC 的最大值为 ．

16. 点 A−4,3，B0,k 在二次函数 y=−x+22+h 的图象上，则 k= ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 如图，△ABC 中，D，E 分别是 BC，AB 边上的点，AD 平分 ∠EDC，试说明 ∠BED>∠B 的道理．

18. 已知二次函数 y=−12x2−x+72 .
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为 y=ax+m2+k 的形式；
（2）写出该二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴，并说明函数值 y 随自变量 x 的变化而变化的情况．

19. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，点 E 在 BC 上，连接 AE，DE，延长 BA 到点 F，若 ∠FAD=2∠E．求证：AB=AD．

20. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的中线，CD=3，AC=5，求 ∠BCD 的正弦和余弦的值．

21. 某校一棵大树发生一定的倾斜，该树与地面的夹角 ∠ABC=75∘，小明测得某时大树的影子顶端在地面 C 处，此时光线与地面的夹角 ∠ACB=30∘；又过了一段时间，测得大树的影子顶端在地面 D 处，此时光线与地面的夹角 ∠ADB=50∘，若 CD=8 米，求该树倾斜前的高度（即 AB 的长度）．（结果保留一位小数，参考数据：sin50∘≈0.77，cs50∘≈0.64，tan50∘≈1.19，sin75∘≈0.97，cs75∘≈0.26，tan75∘≈3.73，3≈1.73）

22. 如图，已知反比例函数 y1=k1x（k1>0）与一次函数 y2=k2x+1k2≠0 相交于 A，B 两点，AC⊥x 轴于点 C，若 △OAC 的面积为 1，且 tan∠AOC=2．
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式．
（2）请直接写出 B 点的坐标，并指出当 x 为何值时，反比例函数 y1 的值大于一次函数 y2 的值?

23. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 是 ∠BAC 的角平分线．
（1）请尺规作图：作 ⊙O，使圆心 O 在 AB 上，且 AD 为 ⊙O 的一条弦．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线 BC 与所作 ⊙O 的位置关系，并说明理由．

24. 如图，在 ⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD．
（1）P 是 CAD 上一点（不与 C，D 重合）．求证：∠CPD=∠COB．
（2）点 Pʹ 在劣弧 CD 上（不与 C，D 重合）时，∠CPʹD 与 ∠COD 有什么数量关系?请证明你的结论．

25. 如果设 fx=x2x2+1，那么 fa 表示当 x=a 时，x2x2+1 的值，即 fa=a2a2+1．
如：f1=1212+1=12．
（1）求 f2+f12 的值；
（2）求 fx+f1x 的值；
（3）计算：f1+f2+f12+f3+f13+⋯+fn+f1n（结果用含有 n 的代数式表示，n 为正整数）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 的顶点为 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）将线段 OA 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到线段 OʹAʹ．
①直接写出点 Oʹ 和 Aʹ 的坐标；
②若抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 与四边形 AOOʹAʹ 有且只有两个公共点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．

27. 平面直角坐标系中，对于点 Am,n 和点 Bm,nʹ，给出如下定义：
若 nʹ=n,m≥1−n,m−1 的图象上，其可变点 B 的纵坐标 nʹ 的取值范围是 −5≤nʹ≤3，直接写出 a 的取值范围．

28. 回答下列问题：
（1）观察猜想
如图（1），在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，点 D 是 BC 的中点．以点 D 为顶点作正方形 DEFG，使点 A，C 分别在 DG 和 DE 上，连接 AE，BG，则线段 BG 和 AE 的数量关系是 ；
（2）拓展探究
将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0∘，小于或等于 360∘），如图 2，则（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
（3）解决问题
若 BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当 AE 为最大值时，直接写出 AF 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】118×360∘=20∘．
故选C．
2. C【解析】连接 OB．
∵PB 是 ⊙O 的切线，
∴∠PBO=90∘，
∴PB=PO2−OB2=4，
∵PA，PB 分别与 ⊙O 相切，
∴PA=PB=4，
∵CD 分别交 PA，PB 于点 C，D，并切 ⊙O 于点 E，
∴DE=DB，CE=CA，
∴△PCD 的周长 =PC+CD+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=8．
3. C【解析】∵DE∥CF，
∴△DEK∽△CFK，
∴DECF=DKCK，
∴EK∥AD，
∴DKKC=AEEC，
∴DECF=AEEC，
故选：C．
4. B
5. C
6. D
7. C【解析】设 AB=x，则 BC=16−x．根据题意，得矩形面积为 S=x16−x=−x−82+64．
8. C【解析】A、面积相等的两个三角形一定全等，错误；
B、平分弦的直径垂直于弦，这条弦不能是直径，此结论错误；
C、矩形的对角线互相平分且相等，此结论正确；
D、对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，此说法错误．
第二部分
9. x=1
10. 1
11. 30∘
12. 0
13. 合格
14. 80
【解析】连接 OB，OD，
因为四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠DAB=130∘，
所以 ∠DCB=180∘−130∘=50∘，
由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100∘，
所以 ∠DCB≤∠BPD≤∠DOB，即 50∘≤∠BPD≤100∘，
所以 ∠BPD 可能为 80∘．
15. 5+1
16. 3
【解析】由二次函数 y=−x+22+h 可知，抛物线的对称轴为直线 x=−2，
∴A−4,3 关于对称轴的对称点为 0,3，
∵B0,k 在二次函效 y=−x+22+h 的图象上，
∴ 点 B 就是点 A 的对称点，
∴k=3．
第三部分
17. ∵ ∠BED，∠ADC 分别是 △AED 和 △ABD 的外角，
∴ ∠BED>∠ADE，ADC>∠B（三角形的一个角大于任何一个和它不相邻的内角）．
又 ∵ AD 平分 ∠EDC，
∴ ∠ADE=∠ADC（角平分线定义），
∴ ∠BED>∠B．
18. （1） y=−12x2+2x−7=−12x+12−8=−12x+12+4.
（2） 该二次函数图象的开口向下，顶点坐标 −1,4，对称轴为线 x=−1；
在对称轴（即直线 x=−1）左侧的部分是函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；
在对称轴（即直线 x=−1）右侧的部分是函数值 y 随自变量 x 的增大而减小．
19. 连接 CA，如图，
∵∠FAD+∠BAD=180∘，∠BAD+∠BCD=180∘，
∴∠FAD=∠BCD，
∵∠FAD=2∠E，
∴∠BCD=2∠E，
而 ∠ACD=∠E，
∴∠ACB=∠ACD=∠E，
∴AB=AD，
∴AB=AD．
20. 35；45．
21. 过 A 作 AH⊥BC 于 H，
在 Rt△ACH，
因为 ∠C=30∘，
所以 tan30∘=AHCH，
所以 CH=AH33=3AH，
在 Rt△ADH 中，
因为 ∠ADH=45∘，
所以 DH=AH，
因为 CD=CH−DH=3AH−AH=8，
所以 AH=83−1=43+1，
在 Rt△AHB 中，
因为 ∠B=75∘，
所以 sin75∘=AHAB，
所以 AB=AH⋅sin75∘=43+1×0.97≈10.6（米）．
答：该树倾斜前的高度是 10.6 米．
22. （1） 在 Rt△OAC 中，设 OC=m，
∵tan∠AOC=ACOC=2，
∴AC=2×OC=2m，
∵S△OAC=12×OC×AC=12×m×2m=1，
∴m2=1，
∴m=±1（负值舍去），
∴A 点的坐标为 1,2，
把 A 点的坐标代入 y1=k1x 中，得 k1=2，
∴ 反比例函数的表达式为 y1=2x，
把 A 点的坐标代入 y2=k2x+1 中，得 k2+1=2，
∴k2=1，
∴ 一次函数的表达式 y2=x+1．
（2） −2,−1，0