2021年北京密云区高岭中学九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京密云区高岭中学九年级上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为 x=−1，则 a 的值为
A. −4B. −2C. 2D. 4

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 BC=1，AC=2，则 csA 的值为
A. 55B. 255C. 12D. 2

3. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则 S△ADES△ABC 的值为
A. 12B. 23C. 45D. 49

4. 如图 1，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=120∘，点 O 是 BC 的中点，点 D 沿 B→A→C 方向从 B 运动到 C．设点 D 经过的路径长为 x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的
A. BDB. ODC. ADD. CD

5. 如图，点 A 与点 B 关于点 O 中心对称，则下列说法错误的是
A. O 为 AB 中点
B. 点 A，B，O 共线
C. 点 A 绕 O 旋转 90∘ 与点 B 重合
D. 点 A 绕 O 旋转 180∘ 与点 B 重合

6. 有两个事件，事件 A:367 人中至少有 2 人生日相同；事件 B: 抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是
A. 事件 A，B 都是随机事件
B. 事件 A，B 都是必然事件
C. 事件 A 是随机事件，事件 B 是必然事件
D. 事件 A 是必然事件，事件 B 是随机事件

7. 过 ⊙O 内一点 M 的最长弦为 10 cm，最短弦长为 8 cm，则 OM 的长为
A. 9 cmB. 6 cmC. 3 cmD. 41 cm

8. 如图， P 是 ⊙O 外一点， PA ， PB 分别交 ⊙O 于 C ， D 两点，已知弧 AB ，弧 CD 的度数别为 88∘ ， 32∘ ，则 ∠P 的度数为 ( )
A. 26∘B. 28∘C. 30∘D. 32∘

9. 若二次函数 y=ax2+4x+a−1 的最小值是 2，则 a 的值为
A. 4B. −1C. 3D. 4 或 −1

10. 抛物线 y=ax2+bx+ca>0 顶点的纵坐标为 −5．若 ∣ax2+bx+c∣=m 有且只有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是
A. 05 或 m<0
C. m>5 或 m=0D. m≥5 或 m=0

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 抛物线 y=x2−2x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ．

13. 已知，AB 是 ⊙O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使 AC=3BC，CD 与 ⊙O 相切于 D 点，若 CD=3，则 ⊙O 半径的长为 ．

14. 如图，已知 A23,2，B23,1，将 △AOB 绕着点 O 逆时针旋转 90∘，得到 △AʹOBʹ，则图中阴影部分的面积为 ．

15. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线．
已知：⊙O 和点 P 求过点 P 的 ⊙O 的切线．
小涵的主要作法如下：
如图，（1）连接 OP，作线段 OP 的中点 A；
（2）以 A 为圆心，OA 长为半径作圆，交 ⊙O 于点 B，C；
（3）作直线 PB 和 PC．
所以 PB 和 PC 就是所求的切线．
老师说：“小涵的作法正确的．”
请回答：小涵的作图依据是 ．

16. 如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框 AB 在地面上的影长 DE=1.8 m，窗户下檐距地面的距离 BC=1 m，EC=1.2 m，则窗户的高 AB= m．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：4cs45∘+tan60∘−8−−12．

18. 解方程：x2−6x−1=0．

19. 如图，△ABC 中，D 为 BC 上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，求 CD 的长．

20. 已知：抛物线 y=x2+2m−1x+m2−1 经过坐标原点，且当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出 y<0 时，对应的 x 的取值范围；
（3）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作 AB⊥x 轴于点 B，DC⊥x 轴于点 C．当 BC=1 时，直接写出矩形 ABCD 的周长．

21. 列方程或方程组解应用题：
某公司在 2013 年的盈利额为 200 万元，预计 2015 年的盈利额达到 242 万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少?

22. 如图，在方格网中已知格点 △ABC 和点 O．
（1）画 △AʹBʹCʹ 和 △ABC 关于点 O 成中心对称；
（2）请在方格网中标出所有使以 A，O，Cʹ，D 为顶点的四边形是平行四边形的 D 点．

23. 石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束，三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续，若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：
（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；
（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．

24. 如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．
（1）求证：DF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 sinC=33，半径 OA=3，求 AE 的长．

25. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：ABAC=BDDC．
证明：过 C 作 CE∥DA，交 BA 的延长线于 E，如图 1，
∴∠1=∠E，∠2=∠3. ⋯⋯①
∵AD 是角平分线，
∴∠1=∠2．
∴∠3=∠E. ⋯⋯②
又 ∵AD∥CE，
∴ABAE=BDDC, ⋯⋯③
∴ABAC=BDDC．
（1）上述证明过程中，步骤 ①②③ 处的理由是什么?（写出两条即可）
（2）用三角形内角平分线定理解答，已知，△ABC 中，AD 是角平分线，AB=7 cm，AC=4 cm，BC=6 cm，如图 2，求 BD 的长；
（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究 △ABD 和 △ACD 面积的比来证明三角形内角平分线定理．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−8mx+16m−1m>0 与 x 轴的交点分别为 Ax1,0，Bx2,0．
（1）求证：抛物线总与 x 轴有两个不同的交点；
（2）若 AB=2，求此抛物线的解析式．
（3）已知 x 轴上两点 C2,0，D5,0，若抛物线 y=mx2−8mx+16m−1m>0 与线段 CD 有交点，请写出 m 的取值范围．

27. 已知，在等边 △ABC 中，AB=23，D，E 分别是 AB，BC 的中点（如图 1）．若将 △BDE 绕点 B 逆时针旋转，得到 △BD1E1，设旋转角为 α0∘<α<180∘，记射线 CE1 与 AD1 的交点为 P．
（1）判断 △BDE 的形状；
（2）在图 2 中补全图形．
①猜想在旋转过程中，线段 CE1 与 AD1 的数量关系并证明；
②求 ∠APC 的度数；
（3）点 P 到 BC 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）

28. 已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 y1，y2，都有点 x,y1，x,y2 关于点 x,x 对称，则称这两个函数为关于 y=x 的对称函数，例如，y1=12x 和 y2=32x 为关于 y=x 的对称函数．
（1）判断：① y1=3x 和 y2=−x；② y1=x+1 和 y2=x−1；③ y1=x2+1 和 y2=x2−1，其中为关于 y=x 的对称函数的是 （填序号）．
（2）若 y1=3x+2 和 y2=kx+bk≠0 为关于 y=x 的对称函数．
①求 k，b 的值．
②对于任意的实数 x，满足 x>m 时，y1>y2 恒成立，则 m 满足的条件为 ．
（3）若 y1=ax2+bx+ca≠0 和 y2=x2+n 为关于 y=x 的对称函数，且对于任意的实数 x，都有 y1
29. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门．如图为该“测温门”截面示意图．身髙 1.6 米的小聪做了如下实验：当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 30∘；当他在地面 N 处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 53∘．如果测得小聪的有效测温区间 MN 的长度是 0.98 米，求测温门顶部 A 处距地面的高度约为多少米?（注：额头到地面的距离以身高计，sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，ct53∘≈0.75，3≈1.73．）
答案
第一部分
1. C【解析】把 x=−1 代入方程 x2+3x+a=0 得 1−3+a=0，解得 a=2．
2. B【解析】如图所示：
∵∠C=90∘，BC=1，AC=2，
∴AB=5，
∴csA=25=255．
3. D【解析】∵AD=6，DB=3，
∴AB=9，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=232=49．
4. B【解析】当点 D 在 AB 上，则线段 BD 表示为 y=x，线段 AD 表示为 y=AB−x，为一次函数，不符合图象；
同理当点 D 在 AC 上，也为一次函数，不符合图象．
如图，作 OE⊥AB．
∵ 点 O 是 BC 中点，设 AB=AC=a，∠BAC=120∘．
∴AO=a2，BO=32a，OE=34a，BE=34a，
设 BD=x，OD=y，AB=AC=a，
∴DE=34a−x，
在 Rt△ODE 中，DE2+OE2=OD2，
∴y2=34a−x2+34a2，
整理得：y2=x2−32ax+34a2，
当 0由此得出这条线段可能是图 1 中的 OD．
5. C
6. D
7. C【解析】由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．
直径 ED⊥AB 于点 M，则 ED=10，AB=8，
由垂径定理知：点 M 为 AB 中点，
∴AM=4，
∵ 半径 OA=5，
∴OM2=OA2−AM2=25−16=9，
∴OM=3 cm
8. B【解析】因为 AB 和 CD 所对的圆心角分别为 88∘ 和 32∘ ，
所以 ∠A=12×32∘=16∘ ， ∠ADB=12×88∘=44∘ ，
因为 ∠P+∠A=∠ADB ，
所以 ∠P=∠ADB−∠P=44∘−16∘=28∘ ．
9. A
10. C
【解析】将此抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴往上翻折，得到一个新的函数图象，图象的顶点的纵坐标为 5．y=∣ax2+bx+c∣ 的图象是 x 轴上方的部分（包含与 x 轴的两个交点），如图所示．
（1）当 m=0 时，∣ax2+bx+c∣=m 有两个不相等的实数根；
（2）在 x 轴上方时，只有 m>5 时，作平行于 x 轴的直线才会与新图象有两个交点，即 m>5 时，∣ax2+bx+c∣=m 有且仅有两个不相等的实数根．
∴m=0 或 m>5．
故选C．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. y=x2−8x+20
【解析】y=x2−2x+3=x−12+2，其顶点坐标为 1,2，
向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后的顶点坐标为 4,4，得到的抛物线的解析式是 y=x−42+4=x2−8x+20．
13. 1
【解析】如图，连接 DO，
∵CD 是 ⊙O 切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90∘，
∵AB 是 ⊙O 的一条直径，AC=3BC，
∴AB=2BC=OC=2OD，
∴∠C=30∘，
∴OD=33CD，
∵CD=3，
∴OD=BC=1．
14. 34π
【解析】∵ 点 A 的坐标为 23,2，
∴OA=4，
∵ 点 B 的坐标为 23,1，
∴OB=13，
由旋转的性质可知，S△AʹOBʹ=S△AOB，
∴阴影部分的面积=S扇形AʹOA−S扇形BʹOB=90π×16360−90π×13360=34π.
15. 直径所对的圆周角是直角
【解析】∵OP 是 ⊙A 的直径，
∴∠PBO=∠PCO=90∘，
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
∵OB，OC 是 ⊙O 的半径，
∴PB，PC 是 ⊙O 的切线；
则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角．
16. 1.5
第三部分
17. 原式=22+3−22−1=3−1.
18.
x2−6x−1=0,
移项得：
x2−6x=1,
配方得：
x2−6x+9=10,
即
x−32=10,
开方得：
x−3=±10,
则
x1=3+10,x2=3−10.
19. ∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴BABC=BDBA，
∵AB=6，BD=4，
∴6BC=46，
∴BC=9，
∴CD=BC−BD=9−4=5．
20. （1） 由 y=x2+2m−1x+m2−1 经过坐标原点，
得 m2−1=0，解得 m=1 或 m=−1．
当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，
得 m=−1．
抛物线的解析式 y=x2−3x．
（2） 由图 1，
得位于 x 轴下方的部分，
y<0 时，对应的 x 的取值范围 0 （3） 如图 2，
由 AD∥x 轴，得 A，D 关于对称轴直线 x=1.5 对称，B，C 关于对称轴直线 x=1.5 对称，且 BC=1，得 1.5−0.5=1，即 B1,0．
当 x=1 时，y=1−3=−2，即 A1,−2．
矩形 ABCD 的周长为 2AB+BC=2×2+1=6．
21. 设该公司这两年盈利额的年平均增长率是 x，
由题意得，
200×1+x2=242.
解得：
x=0.1.
答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是 10%．
22. （1） 画 △AʹBʹCʹ 和 △ABC 关于点 O 成中心对称的图形如图：
（2） 根据题意画图如图：
23. （1） 一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率 =13．
（2） 画树状图为：
共有 27 种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数为 9，
所以甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率 =927=13．
24. （1） 连接 OD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠OBD=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 BE，AD．
∵AB 是直径，
∴∠AEB=∠ADB=90∘，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，BD=DC，
∵sinC=33，
∴sin∠ABC=ADAB=33，
∵AB=2OA=6，
∴AD=23，
∴BD=AB2−AD2=26，
∴BC=2BD=46，
在 Rt△BEC 中，
∵sinC=BEBC=33，
∴BE=33BC=33×46=42，
在 Rt△ABE 中，AE=AB2−BE2=62−422=2．
答：AE 的长是 2．
25. （1） 步骤①②③处的理由是：
①平行线的性质定理；
②等量代换；
③平行线分线段成比例定理．
（2） ∵AD 是角平分线，
∴BDDC=ABAC，
又 AB=7 cm，AC=4 cm，BC=6 cm，
∴BD6−BD=74，
∴BD=4211cm．
（3） 过 D 作 DE 垂直 AB 于点 E，作 DF 垂直 AC 于点 F，过 A 作 AH 垂直 BC 于点 H，如图 3．
∵AD 平分 ∠BAC，
∴DE=DF，
S△ABD=12AB×DE=12BD×AH, ⋯⋯①
S△ACD=12AC×DF=12CD×AH, ⋯⋯②
用 ①÷②，可得 BDDC=ABAC．
【解析】∵△ABD 和 △ACD 的高相等，
可得：△ABD和△ACD面积的比=12BD×h12DC×h=BDDC=12AB×h12AC×h=ABAC，
可得：BDDC=ABAC．
26. （1） Δ=64m2−4m⋅16m−1=4m，
∵m>0，
∴Δ>0，
∴ 抛物线总与 x 轴有两个不同的交点．
（2） 根据题意，x1，x2 为方程 mx2−8mx+16m−1=0 的两根，
∴x1+x2=−−8mm=8，x1⋅x2=16m−1m，
∵x1−x2=2，
∴x1+x22−4x1⋅x2=4，
∴82−4⋅16m−1m=4，
∴m=1，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−8x+15．
（3） 抛物线的对称轴为直线 x=−−8m2m=4，
∵ 抛物线开口向上，
∴ 当 x=2，y≥0 时，抛物线与线段 CD 有交点，
∴4m−16m+16m−1≥0，
∴m≥14．
27. （1） ∵D，E 分别是 AB，BC 的中点，
∴BE=12BC，BD=12BA，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B=60∘，BA=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE 为等边三角形．
（2） 补全的图形如图所示．
① CE1=AD1．
证明：∵△BDE 绕点 B 逆时针旋转，得到 △BD1E1，
∴△BD1E1 为等边三角形，
∴BD1=BE1，∠D1BE1=60∘，
而 ∠ABC=60∘，
∴∠ABD1=∠CBE1，
∴△ABD1 可由 △CBE1 绕点 B 逆时针旋转得到，
∴CE1=AD1．
② ∵△ABD1 可由 △CBE1 绕点 B 逆时针旋转得到，
∴∠BAD1=∠BCE1，
∴∠APC=∠ABC=60∘．
（3） 2
【解析】∵∠APC=∠D1BE1=60∘，
∴ 点 P，D1，B，E1 共圆，
∴ 当 BP⊥BC 时，点 P 到 BC 所在直线的距离的最大值，此时点 E1 在 AB 上，
在 Rt△PBC 中，PB=33AB=33×23=2，
∴ 点 P 到 BC 所在直线的距离的最大值为 2．
28. （1） ①②
【解析】① y1=3x 和 y2=−x，y1+y22=3x−x2=x，y1=3x 和 y2=−x 为关于 y=x 对称函数；
② y1=x+1 和 y2=x−1，y1+y22=x+1+x−12=x，y1=x+1 和 y2=x−1 关于 y=x 对称；
③ y1=x2+1 和 y2=x2−1，y1+y22=x2+1+x2−12=x2≠x，y1=x2+1 和 y2=x2−1 不关于 y=x 对称．
（2） m≥−1
【解析】① y1=3x+2 和 y2=kx+bk≠0 为关于 y=x 的对称函数，得 3x+2+kx+b2=x．
化简，得 3+kx+2+b=2x．3+k=2，2+b=0．
解得 k=−1，b=−2．
② x>m 时，y1>y2 恒成立，得 3x+2>−x−2．解得 x>−1，
m≥−1．
（3） 由 y1=ax2+bx+ca≠0 和 y2=x2+n 为关于 y=x 的对称函数，得 ax2+bx+c+x2+n2=x．
解得 a=−1，b=2，c=−n．
对于任意的实数 x，都有 y1−x2+2x−n．
化简，得 x2+n>x，
即 x2−x+n>0，结合图象可知，只需要 Δ=−12−4n<0，
解得 n>14．
29. 设直线 BC 交 AD 于点 E，AE=x 米，
∠ABE=30∘，∠ACE=53∘，∠AEC=90∘，
ED=CN=BM=1.6 米，BC=MN=0.98 米．
由题意得：在 Rt△AEC 中，∠AEC=90∘，
∵ct∠ACE=CEAE，
∴CE=AE⋅ct∠ACE=xct53∘．
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90∘，
∵ct∠ABE=BEAE，
∴BE=AE⋅ct∠ABE=xct30∘．
∵BE=BC+CE，
∴xct30∘=xct53∘+0.98．
∴x=0.98ct30∘−ct53∘≈−0.75=1．
∴AD≈1+1.6=2.6 米．
答：测温门 AD 的顶部 A 处距地面的高度约为 2.6 米．