2021年北京大兴区北京师范大学大兴附属中学(东校区)北师大大兴附中东校区九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京大兴区北京师范大学大兴附属中学(东校区)北师大大兴附中东校区九年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 12020 的倒数是
A. −12020B. 12020C. 2020D. −2020

2. 去年深圳市在高新技术成果交易会共吸引来自各国 546000 参观人次，其中 546000 用科学记数法表示为
A. 546×103B. 54.6×104C. 5.46×105D. 0.546×106

3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 AC=2，BC=1，则 tanA 的值是
A. 12B. 55C. 2D. 52

4. 如图，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，若 ∠C=34∘，则 ∠AOB 为
A. 34∘B. 56∘C. 60∘D. 68∘

5. 二次函数 y=x2 的图象平移后经过点 2,0，则下列平移方法正确的是
A. 向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位
B. 向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位
C. 向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位
D. 向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位

6. 如图所示，△ABC 中，DE∥BC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果 S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是
A. DE:BC=1:2B. DE:BC=1:3
C. DE:BC=1:4D. DE:BC=1:2

7. 如图，在 △ABC 中，D 为 AC 边上一点，∠DBC=∠A，BC=6，AC=3，则 CD 的长为
A. 1B. 32C. 2D. 52

8. 下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序

①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）；
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）；
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）；
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．
A. ①②③④B. ③④②①C. ①④②③D. ③②④①

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 分解因式 2x2−18= ．

10. 已知 ⊙O1 与 ⊙O2 相切，O1O2=8，⊙O1 的半径为 5，那么 ⊙O2 的半径等于 ．

11. 如图，点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，AB 垂直于 x 轴，若 S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为 ．

12. 如图，正方形 ABCD 边长为 2 cm，动点 P 从 A 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为 2013 cm 时，线段 PA 的长为 cm；当点 P 第 n 次（n 为正整数）到达点 D 时，点 P 的运动路程为 cm（用含 n 的代数式表示）．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 计算：3tan30∘+cs230∘−2sin60∘．

14. 通过配方，确定抛物线 y=−2x2+4x+6 的开口方向、对称轴和顶点坐标．

15. 解不等式组：5x−3≥2x,3x−12<4.

16. 某同学在计算 34+142+1 时，把 3 写成 4−1 后，发现可以连续运用平方差公式计算：
34+142+1=4−14+142+1=42−1⋅42+1=162−1=255.
请借鉴该同学的经验，计算：1+121+122⋅1+1241+128+1215．

17. 某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度．如示意图，由距 CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 β，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 α．测得 A，B 之间的距离为 4 米，tanα≈1.6，tanβ≈1.2．求建筑物 CD 的高度．

18. 当 k 分别取 −1，1，2 时，函数 y=k−1x2−4x+5−k 都有最大值吗?请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．

19. 如图，在 △ABC 中，BC=6，sinA=35，∠B=30∘，求 AC 和 AB 的长．

20. 亲爱的同学，下面我们来做一个猜颜色的游戏：一个不透明的小盒中，装有 A,B,C 三张除颜色以外完全相同的卡片，卡片 A 两面均为红，卡片 B 两面均为绿，卡片 C 一面为红，一面为绿．
（1）从小盒中任意抽出一张卡片放到桌面上，朝上一面恰好是绿色，请你猜猜，抽出哪张卡片的概率为 0 ?
（2）若要你猜（1）中抽出的卡片朝下一面是什么颜色，猜哪种颜色正确率可能高一些?请你列出表格，用概率的知识予以说明．

21. 在平面直角坐标系中，等腰 Rt△OAB 斜边 OB 在 y 轴上，且 OB=4．
（1）画出 △OAB 绕原点 O 顺时针旋转 90∘ 后得到的三角形 △OAʹBʹ；
（2）求点 A 在旋转过程中经过的路径长．

22. 如图，AB 为 ⊙O 直径，C 、 D 为 ⊙O 上不同于 A 、 B 的两点，∠ABD=2∠BAC．过点 C 作 CE⊥DB，垂足为 E，直线 AB 与 CE 相交于 F 点．
（1）求证：CF 为 ⊙O 的切线；
（2）若 ⊙O 的半径为 52cm，弦 BD 的长为 3 cm，求 CF 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 0,2 且平行于 x 轴的直线，与直线 y=x−1 交于点 A，点 A 关于直线 x=1 的对称点为 B，抛物线 C1:y=x2+bx+c 经过点 A，B．
（1）求点 A，B 的坐标；
（2）求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线 C2:y=ax2a≠0 与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．

24. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，B，F，G 在同一条直线上，且 AE∥CF∥DG，AB:BC:CD=1:2:3．
（1）试写出图中的相似三角形，并指出它们的相似比；
（2）若 CF=12，求 AE，DG 的长．

25. （1）如图①，若 BC=6，AC=4，∠C=60∘，求 △ABC 的面积 S△ABC；
（2）如图②，若 BC=a，AC=b，∠C=α，求 △ABC 的面积 S△ABC；
（3）如图③，四边形 ABCD，若 AC=m，BD=n，对角线 AC，BD 交于 O 点，它们所成的锐角为 β．求四边形 ABCD 的面积 S四边形ABCD．
答案
第一部分
1. C【解析】12020 的倒数是 2020．
2. C
3. A
4. D
5. C
【解析】A．平移后的解析式为 y=x+22−2，当 x=2 时，y=14，本选项不符合题意．
B．平移后的解析式为 y=x+12+2，当 x=2 时，y=11，本选项不符合题意．
C．平移后的解析式为 y=x−12−1，当 x=2 时，y=0，函数图象经过 2,0，本选项符合题意．
D．平移后的解析式为 y=x−22+1，当 x=2 时，y=1，本选项不符合题意．
6. D
7. C【解析】∵△BCD∽△ACB，
∴CDBC=BCAC．
8. D【解析】①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程随时间的增加而匀速增长．②向锥形瓶中匀速注水，水面高度的增长随注水时间的增加而变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中，温度计的读数一开始增长较快，后来增长变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低；故顺序为③②④①．
第二部分
9. 2x−3x+3
10. 3 或 13
11. y=−8x
12. 5，8n−2
【解析】由题意可得正方形的周长为 8 cm，
因为 2013÷8=251⋯⋯5，
所以当点 P 的运动路程为 2013 cm 时，点 P 位于 DC 的中点处，如图，
勾股定理可得 AP=5．
当点 P 第一次到达 D 点，路程为 6 cm；第二次达到 D 点，路程为 14 cm；第三次达到 D 点，路程为 22 cm，依次类推，点 P 第 n 次达到 D 点的运动路程为 8n−2cm．
第三部分
13. 原式=3×33+322−2×32=3+34−3=34.
14. y=−2x−12+8．
开口向下，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为 1,8．
15. 由 ① 得：
x≥1.
由 ② 得：
x<3.
不等式组的解集：
1≤x<3.
16. 1+121+1221+1241+128+1215=21−121+121+1221+1241+128+1215=21−1221+1221+1241+128+1215=21−1241+1241+128+1215=21−1281+128+1215=21−1216+1215=2−1215+1215=2.
17. 设 DG=x 米．
在 Rt△DGF 中，tanα=DGGF，
∴tanα=xGF．
在 Rt△DGE 中，tanβ=DGGE，
∴tanβ=xGE．
∴GF=xtanα，GE=xtanβ．
∴EF=xtanβ−xtanα．
∴4=x1.2−x1.6．
解得 x=19.2．
∴CD=DG+GC=19.2+1.2=20.4．
答：建筑物高为 20.4 米．
18. 判断：只有当 k=−1 时，函数有最大值．理由如下：
当 k=−1 时，函数
y=−2x2−4x+6=−2x+12+8
是二次函数，且图象开口向下，此时，ymax=8；
当 k=1 时，函数
y=−4x+4
为一次函数，所以，函数不存在最大值；
当 k=2 时，函数
y=x2−4x+3
为二次函数，且图象开口向上，所以不存在最大值．
19. 如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
在 Rt△BCD 中，sinB=sin30∘=12=CDBC，csB=cs30∘=32=BDBC，
∴CD=12×6=3，BD=32×6=33．
在 Rt△ACD 中，sinA=CDAC=35，
∴AC=5CD3=5．
∴AD=AC2−CD2=52−32=4，
∴AB=AD+BD=4+33．
20. （1） 依题意可知：抽出卡片 A 的概率为 0 ；
（2） 由（1）知，一定不会抽出卡片 A ，只会抽出卡片 B 或 C ，且抽出的卡片朝上的一面是绿色，那么可列下表：
朝上B(绿1)B(绿2)C(绿)朝下B(绿2)B(绿1)C(红)

可见朝下一面的颜色有绿、绿、红三种可能，即： P （绿） =23 ，P（红） =13 ，
所以猜绿色正确率可能高一些．
21. （1） 画图正确（如图）
（2） ∵ 等腰直角 △ABO，OB=4，
∴OA=22，
∴ 点 A 的路径长为 2π．
22. （1） 连接 OC．
由圆周角定理可得 ∠BOC=2∠BAC．
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠BOC=∠ABD．
∴DE∥OC．
∵CE⊥DE，
∴OC⊥CE．
∵ 点 C 在 ⊙O 上，
∴CF 为 ⊙O 的切线．
（2） 连接 AD．
∵AD 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘．
在 Rt∠ADB 中，
∵OA=52，BD=3，
∴AB=5，BD=3．
∴AD=AB2−BD2=4．
在 Rt△ADB 与 Rt△FCO 中，
∵∠ABD=∠BOC，
∴Rt△ADB∽Rt△FCO．
∴BDAD=OCCF．
∴34=52CF．
∴CF=103．
23. （1） 当 y=2 时，2=x−1，x=3，
∴A3,2，
∵A 、 B 关于 x=1 对称，
∴B−1,2．
（2） 把 3,2，−1,2 代入得
2=9+3b+c,2=1−b+c.
解得
b=−2,c=−1.
∴y=x2−2x−1，
顶点坐标（1,−2）．
（3） 如图，当 C2 过 A 点，B 点时为临界，
代入 A3,2，则 9a=2，a=29，代入 B−1,2，则 a=2，
∴29≤a<2．
24. （1） ∵CF∥DG，
∴△BCF∽△BDG，
∵BC:CD=2:3，
∴BC:BD=2:5，
即 △BCF 与 △BDG 的相似比为 2:5．
同理 △ABE∽△CBF，相似比为 1:2；
△ABE∽△DBG，相似比为 1:5．
（2） ∵△ABE∽△CBF，
∴AECF=ABBC，即 AE12=12，
∴AE=6，
∵△BCF∽△BDG，
∴CFDG=BCBD，即 12DG=25，
∴DG=30，即 AE=6，DG=30．
25. （1） 如图①，过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H．
在 Rt△AHC 中，AHAC=sin60∘，
∴AH=AC⋅sin60∘=4×32=23．
∴S△ABC=12×BC×AH=12×6×23=63．
（2） 如图②，过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H．
在 Rt△AHC 中，AHAC=sinα，
∴AH=AC⋅sinα=bsinα．
∴S△ABC=12×BC×AH=12absinα．
（3） 如图③，分别过点 A，C 作 AH⊥BD，CG⊥BD，垂足为 H，G．
在 Rt△AHO 与 Rt△CGO 中，AH=OAsinβ，CG=OCsinβ；
于是，S△ABD=12×BD×AH=12n×OAsinβ；
S△BCD=12×BD×CG=12n×OCsinβ；
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12n×OAsinβ+12n×OCsinβ=12n×OA+OCsinβ=12mnsinβ.