2021年北京房山区北京育才学校房山校区九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区北京育才学校房山校区九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，sinB=0.5，若 AC=6，则 BC 的长为
A. 8B. 12C. 63D. 123

3. 关于反比例函数 y=2x，下列说法不正确的是
A. 函数图象分别位于第一、第三象限
B. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小
C. 若点 Ax1,y1，Bx2,y2 都在函数图象上，且 x1y2
D. 函数图象经过点 1,2

4. 如图，一个三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 46∘，则 ∠ACD 的度数为
A. 46∘B. 23∘C. 44∘D. 67∘

5. 平面直角坐标系中，在第三象限的点是
A. −3,5B. 1,−2C. −2,−3D. 1,1

6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上的一点，射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E，如果 S△EAFS△EBC=116，那么 C△EAFC△CDF 的值是
A. 13B. 14C. 19D. 116

7. 将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线的表达式为
A. y=2x−32+5B. y=2x+32+5
C. y=2x−32−5D. y=2x+32−5

8. 在做抛硬币试验时，甲、乙两个小组画出折线统计图后发现频率的稳定值分别是 50.00% 和 50.02%，则下列说法错误是
A. 乙同学的试验结果是错误的
B. 这两种试验结果都是正确的
C. 增加试验次数可以减小稳定值的差异
D. 同一个试验的稳定值不是唯一的

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，一块长方体大理石板的 A，B，C 三个面上的边长如图所示，如果大理石板的 A 面向下放在地上时地面所受压强为 m 帕，则把石板 B 面向下放在地上地面所受压强是 帕．

10. 墙壁 CD 上 D 处有一盏灯（如图），小明站在 A 处测得他的影长与身长相等，都为 1.5 m，他向墙壁走 1 m 到 B 处时发现影子刚好落在 A 点，则灯泡与地面的距离 CD= m．

11. 如果二次函数的图象与 x 轴没有交点，且与 y 轴的交点的纵坐标为 −3，那么这个二次函数图象的开口方向是 ．

12. 如图，长方体长、 宽、高分别为 4 cm，3 cm，12 cm，则 BD1= cm．

13. n∘ 圆心角所对的弧长是圆周长的 ．（填分数）

14. 如图所示，△ABC 为等边三角形，△APC 旋转后能与 △APʹB 重合，那么，旋转中心是点 ；旋转角是 ，∠PAPʹ= ．

15. 一个扇形的面积是它所在圆面积的 35，则这个扇形的圆心角是 ．

16. 如图所示，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30∘ 得到正方形 ABʹCʹDʹ，图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2cs45∘−2sin60∘+3tan230∘−cs60∘−10．

18. 已知甲袋中有 2 个红球，1 个白球，乙袋中有 1 个红球，1 个白球，从甲、乙两袋中各摸出 1 个球，摸出的两个球都是红球的概率是多少?（这些球只有颜色不同）琪琪给出了下面的解题过程，请判断琪琪的解题过程是否正确，如不正确，请写出正确的解题过程．
琪琪的解法：用树状图列出所有可能的结果如图所示：
从树状图可以看出一共有 4 种等可能的结果，其中两个球都是红球的结果有 1 种，所以摸出的两个球都是红球的概率为 14．

19. 如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点 O 重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数 y=kx 的图象与大正方形的一边交于点 A1,2，且经过小正方形的顶点 B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．

20. 下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：BC 边上的高线．
作法：如图 2，
①分别以 A，B 为圆心，大于 12AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，E；
②作直线 DE，与 AB 交于点 F，以点 F 为圆心，FA 长为半径画圆，交 CB 的延长线于点 G；
③连接 AG．
所以线段 AG 就是所求作的 BC 边上的高线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明．
证明：连接 DA，DB，EA，EB，
∵DA=DB，
∴ 点 D 在线段 AB 的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∵ = ，
∴ 点 E 在线段 AB 的垂直平分线上．
∴DE 是线段 AB 的垂直平分线．
∴FA=FB．
∴AB 是 ⊙F 的直径．
∴∠AGB=90∘（ ）（填推理的依据）．
∴AG⊥BC．
即 AG 就是 BC 边上的高线．

21. 如图，D 是等边 △ABC 的边 AB 上的一点，且 AD:DB=1:2，现将 △ACB 折叠，使点 C 与点 D 重合，折痕为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上．
（1）求证：△ADE∽△BFD；
（2）求 CE:CF 的值．

22. 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2−2mx+m2−3 与 y 轴交于点 A，过 A 作 AB∥x 轴与直线 x=4 交于点 B．
（1）抛物线的对称轴为 x= （用含 m 的代数式表示）；
（2）当抛物线经过点 A，B 时，求抛物线的表达式．

23. 一块三角形材料如图所示，∠A=30∘，∠C=90∘，AB=12 米，用这块材料剪出一个矩形 CDEF，其中，点 D，E，F 分别在 AC，AB，BC 上．设边 AE 的长为 x 米，矩形 CDEF 的面积为 S 平方米．
（1）请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；
（2）当 E 在何处时，矩形 CDEF 的面积最大，最大值是多少?

24. 如图，AB=AC，D 是 AB 上一点，DE⊥BC 于点 E，ED 的延长线交 CA 的延长线于点 F，求证：△ADF 是等要三角形．

25. 有这样一个问题：探究函数 y=6x−22 的图象与性质．
小华根据学习函数的经验，对函数 y=6x−22 的图象与性质进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=6x−22 自变量 x 的取值范围是 ；
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−3−2−101213724567⋯y⋯625382332836683322338m⋯
求 m 的值；
（3）如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．

26. 已知抛物线 y=ax2+bx+3a 与 y 轴交于点 P，将点 P 向右平移 4 个单位得到点 Q，点 Q 也在抛物线上．
（1）抛物线的对称轴是直线 x= ．
（2）用含 a 的代数式表示 b．
（3）已知点 M1,1，N4,4a−1，抛物线与线段 MN 恰有一个公共点，求 a 的取值范围．

27. 已知在等腰直角 △ABC 中，∠BAC=90∘，点 D 从点 B 出发沿射线 BC 方向移动．在 AD 右侧以 AD 为腰作等腰直角 △ADE，∠DAE=90∘．连接 CE．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）点 D 在移动过程中，请猜想 CE，CD，DE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 AC=2，当 CD=1 时，结合图形，请直接写出 DE 的长 ．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M 及以原点为圆心，1 为半径的 ⊙O，给出如下定义：
P 为图形 M 上任意一点，Q 为 ⊙O 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M 到 ⊙O 的“圆距离”，作 dM−O．
（1）记线段 AB 为图形 M，其中 A−1,2，B1,2，求 dM−O；
（2）记函数 y=kx+4k>0 的图象为图形 M，且 dM−O≥1，直接写出 k 的取值范围；
（3）记 △CDE 为图形 M，其中 Ct−23,−2，Dt+23,−2，Et,4 且 dM−O=1，直接写出 t 的值．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. C【解析】反比例函数 y=2x，k=2>0，
A、函数图象分别位于第一、三象限，正确；
B、当 k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，正确；
C、若点 Ax1,y1，Bx2,y2 都在函数图象上，且 x1D、函数图象经过点 1,2，正确；
故选：C．
4. D【解析】如图，连接 OD，
∵ 三角尺 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∵ 点 D 对应的刻度是 46∘，
∴∠BOD=46∘，
∴∠BCD=12∠BOD=23∘，
∴∠ACD=90∘−∠BCD=67∘．
5. C
6. A【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△EAF∽△EBC，△EAF∽△CFD，
∵S△EAFS△EBC=116，
∴AFBC=14，
∴AFFD=13，
∴C△EAFC△CDF=13．
7. C
8. A【解析】A、两试验结果虽然不完全相等，但都是正确的，故错误；
B、两种试验结果都正确，正确；
C、增加试验次数可以减小稳定值的差异，正确；
D、同一个试验的稳定值不是唯一的，正确，故选：A．
第二部分
9. 3m
10. 4.5
【解析】如图：
根据题意得：BG=AF=AE=1.5 m，AB=1 m，
∵BG∥AF∥CD，
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE:EC=AF:CD，AB:AC=BG:CD，
设 DC=x m，则 AC=x−1.5m，
则 x:1.5=x−1.5:1，解得 x=4.5 m．
11. 向下
12. 13
13. n360
14. A，60∘，60∘
15. 216∘
16. 1−33
第三部分
17. 原式=2×22−2×32+3×332−1=1−3+1−1=1−3.
18. 琪琪的解题过程不正确，正确的解题过程如下：
分别用红 1 、红 2 、白表示甲袋中的 3 个球，用树状图列出所有可能出现的结果如图所示：
从树状图可以看出一共有 6 种等可能的结果，其中两个球都是红球的结果有 2 种，
所以摸出的两个球都是红球的概率为 26=13．
19. （1） ∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 A1,2，
∴2=k1，
∴k=2，
∴ 反比例函数的解析式为 y=2x．
（2） ∵ 小正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重合，边分别与坐标轴平行，
∴ 设 B 点的坐标为 m,m，
∵ 反比例函数 y=2x 的图象经过 B 点，
∴m=2m，
∴m2=2，
∴ 小正方形的面积为 4m2=8，
∵ 大正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重合，边分别与坐标轴平行，且 A1,2，
∴ 大正方形在第一象限的顶点坐标为 2,2，
∴ 大正方形的面积为 4×22=16，
∴ 图中阴影部分的面积 = 大正方形的面积为 − 小正方形的面积 =16−8=8．
20. （1） 如图线段 AE 即为所求．
（2） 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；EA；EB；直径所对的圆周角是直角
21. （1） 证 ∠ADE+∠BDF=∠DFB+∠BDF=120∘，
∴∠ADE=∠BFD，
∴△ADE∽△BFD．
（2） 设 ADBF=AEBD=DEDF=k，则 CE:CF=k，
设 CF=x，则 CE=kx，
由 AD:DB=1:2，可设 AD=1，DB=2．
∴AE=3−kx，BF=3−x，
代入得 13−x=3−kx2=k，解得 k=45，即 CECF=45．
22. （1） m
（2） ∵y=x2−2mx+m2−3=x−m2−3，
∴ 抛物线顶点坐标为 m,−3，
∵ 抛物线经过点 A，B，且 AB∥x 轴，
∴ 抛物线对称轴为 x=m=2，
∴ 抛物线的表达式为 y=x2−4x+1．
23. （1） S=−34x2+33x
【解析】∵∠A=30∘，AE=x 米，AB=12 米，
∴DE=12x，BE=12−x，
∴BF=12BE=6−12x，
∴EF=63−32x，
∴S=DE⋅EF=12x63−32x=−34x2+33x．
（2） S=−34x−62+93，
当 x=6 时，此时点 E 在 AB 的中点处，S最大值=93 m2．
24. ∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE⊥BC，
∴∠FEB=∠FEC=90∘．
∴∠B+∠EDB=∠C+∠F=90∘．
∴∠F=∠EDB．
∵∠EDB=∠ADF，
∴∠F=∠ADF．
∴AF=AD．
∴△ADF 是等腰三角形．
25. （1） x≠2
（2） 当 x=7 时，y=625．
∴m=625．
（3） 该函数的图象如下图所示：
（4） 答案不唯一，如：函数图象关于直线 x=2 对称．
26. （1） 2
【解析】∵ 点 P 在 y 轴上，所以点 P 的横坐标是 0，
∵ 点 P 向右平移 4 个单位得到点 Q，所以点 Q 的横坐标是 4，
∵ 点 P 和点 Q 都在抛物线上，且纵坐标相等，0+42=2，
∴ 抛物线的对称轴是直线 x=2．
（2） ∵ 抛物线的对称轴是直线 x=2，
∴−b2a=2，
∴b=−4a．
（3） 由（2）可知，抛物线的表达式为 y=ax2−4ax+3a，
令 y=0，解得：x1=1，x2=3，
∴ 抛物线经过 1,0 和 3,0，
设点 R1,y1，S4,y2 在抛物线上，则 y1=0，y2=3a．故此点 M 在 R 上方．
①当 a>0 时，若使抛物线与线段恰有一个公共点，需满足点 N 与点 S 重合（如图 1）或点 N 在点 S 下方（如图 2 ），即 3a≥4a−1，解得：a≤1，即 0②当 a<0 时，3a>4a−1，故此点 N 在点 S 下方，此时抛物线与线段恰有一个公共点（如图 3）．
综上所述：a 的取值范围是：a<0 或 027. （1） ∵△ABC，△ADE 是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90∘，BA=CA，AD=AE，
∠B=∠ACB=∠ADE=∠AED=45∘，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在 △ABD 与 △ACE 中，
BA=CA,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACESAS．
（2） 结论：CE2+CD2=DE2．
当点 D 在线段 BC 上时，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE=45∘，BD=CE．
∴∠ECD=∠ACE+∠ACB=90∘，
∴△ECD 是直角三角形，
∴CE2+CD2=DE2．
当点 D 在线段 BC 的延长线上时，证明方法类似．
（3） 2 或 10
【解析】①点 D 在线段 BC 上时，如图 1，
∵AB=AC=2，∠BAC=90∘，
∴BC=AB2+AC2=2．
∵CD=1，
∴BD=2−1=1．
∵△ACE≌△ABD，
∴CE=BD=1．
∵∠BCE=90∘，
∴DE=CD2+CE2=12+12=2；
②点 D 在线段 BC 延长线上时，如图 2，
BD=2+1=3
∵△ACE≌△ABD，
∴CE=BD=3，
∵∠BCE=90∘，
∴∠ECD=90∘，
∴DE=CE2+CD2=32+12=10．
综上所述：DE 的长为 2 或 10．
28. （1） ∵A−1,2，B1,2，
∴H0,2，
∴dM−O=1．
（2）
∴0 （3） t1=0，t2=−833，t3=833．