2022届高考大一轮复习知识点精练：指数函数及其性质

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：指数函数及其性质，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下列函数中，是指数函数的
A. y=2⋅3xB. y=3xC. y=3x+1D. y=x3

2. Lgistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 It（t 的单位：天）的 Lgistic 模型：It=K1+e−0.23t−53，其中 K 为最大确诊病例数．当 It*=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t* 约为 ln19≈3
A. 60B. 63C. 66D. 69

3. 若 a=20.5，b=20.6，c=0.62，则 a，b，c 的大小关系是
A. a
4. 函数 y=a|x|+1a>0且a≠1，x∈−k,k，k>0 的图象可能为
A. B.
C. D.

5. 2323，2313，2523 的大小关系是
A. 2313>2323>2523B. 2313>2523>2323
C. 2523>2313>2323D. 2323>2313>2523

6. 已知对于任意实数 a（a>0，且 a≠1），函数 fx=7+ax−1 的图象恒过点 P，则点 P 的坐标是
A. 1,8B. 1,7C. 0,8D. 8,0

7. 已知 0A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

8. 若 a>1，−1A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

9. 已知 fx=∣2x−1∣，若 fa=fb（a≠b），则 a+b 的取值范围是
A. −∞,1B. −∞,0C. 0,+∞D. 1,+∞

10. 已知 fx=2x−1，当 afc>fb，则必有
A. a<0，b<0，c<0B. a<0，b>0，c>0
C. 2−a<2cD. 1<2a+2c<2

11. 基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：It=ert 描述累计感染病例数 It 随时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（ln2≈0.69）
A. 1.2 天B. 1.8 天C. 2.5 天D. 3.5 天

12. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 θ1∘C，空气的温度是 θ0∘C，经过 t 分钟后物体的温度 θ∘C 可由公式 θ=θ0+θ1−θ0e−kt 求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于 0 的常数．现有 80∘C 的物体，放在 20∘C 的空气中冷却，4 分钟以后物体的温度是 40∘C，则 k 约等于（参考数据：ln3≈1.099）
A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3

13. 函数 fx 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称，则 fx=
A. ex+1B. ex−1C. e−x+1D. e−x−1

14. 设函数 fx=2ex，gx=e3x，其中 e 为自然对数的底数，则
A. 对于任意实数 x 恒有 fx≥gx
B. 存在正实数 x 使得 fx>gx
C. 对于任意实数 x 恒有 fx≤gx
D. 存在正实数 x 使得 fx
15. 已知 a=0.72021，b=20210.7，c=lg0.72021，则 a，b，c 的大小关系为
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a

16. 已知 2a=3⋅2b−1，c−b=lg12x2+2x+3，则实数 a，b，c 的大小关系是
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. a>c>b

17. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数 fx=2x+12x−1csx 的大致图象是
A. B.
C. D.

18. 在同一直角坐标系中，函数 y=1ax，y=lgax+12（a>0，且 a≠1）的图象可能是
A. B.
C. D.

19. 已知函数 fx=lnx2+1，且 a=f0.20.2，b=flg34，c=flg133，则 a，b，c 的大小关系为
A. a>b>cB. cb>aD. b>c>a

20. 若函数 fx 满足，对定义域内任意的 x1，x2x1≠x2，有 fx1+fx2>2fx1+x22，则称函数 fx 具有 H 性质．则下列函数中不具有 H 性质的是
A. fx=12xB. fx=lnx
C. fx=x2x≥0D. fx=tanx0≤x<π2

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 三个数 1.10.5，0.90.5，0.90.6 按照由小到大的顺序排列是 ．

22. 函数 fx=2ax−4+3（a>0，且 a≠1）恒过一个定点，则该点的坐标为 ．

23. 已知 0
24. 已知函数 fx=ax+ba>0,且a≠1，其图象经过点 −1,5，0,4，则 f−2 的值为 ，fx 在定义域上是 函数（单调性）．

25. 已知 fx=mx−2mx+m+3，gx=2x−2，若同时满足条件：
① ∀ x∈R，fx<0 或 gx<0；② ∃ x∈−∞,−4 时，fxgx<0，则 m 的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 解不等式 12x2−2x+3<122x2+3x−3．

27. 已知函数 fx=ax−2x≥0 的图象经过点 4,19，其中 a>0，且 a≠1．
（1）求 a 的值；
（2）求函数 y=fxx≥0 的值域．

28. 已知函数 fx=ax−1x≥0 的图象经过点 2,12，其中 a>0 且 a≠1．
（1）求 a 的值；
（2）求函数 y=fx+1x≥0 的值域．

29. 已知函数 fx=ax，gx=xa，其中 a>0 且 a≠1，f−1=2．
（1）求函数 fx 和 gx 的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数 fx 和 gx 的图象；
（3）设 hx=fx−gx，写出不等式 hx>0 的解集．

30. 已知函数 fx=3x3x+1．
（1）求 f1 及函数 fx 的值域；
（2）指出函数 fx 在其定义域内的单调性（只需写出结论，不需要证明）；
（3）应用（2）的结论，解关于 x 的不等式 fax2+2a−1x−1≥34．

31. 已知函数 fx 的定义域是 D，若对于任意的 x1,x2∈D，当 x1（1）判断 f1x=x2−4xx∈1,4 与 f2x=|x−1|+|x−2|x∈1,4 是否是非减函数?
（2）已知函数 gx=2x+a2x−1 在 2,4 上为非减函数，求实数 a 的取值范围．
（3）已知函数 hx 在 0,1 上为非减函数，且满足条件：① h0=0，② hx3=12hx，③ h1−x=1−hx，求 h12020 的值．
答案
第一部分
1. B
2. C【解析】因为 It=K1+e−0.23t−53，所以 It*=K1+e−0.23t*−53=0.95K，
则 e0.23t*−53=19，所以 0.23t*−53=ln19≈3，解得 t*≈30.23+53≈66．
3. D【解析】因为函数 y=2x 是单调增函数，且 0<0.5<0.6，
所以 1=20<20.5<20.6，即 1又函数 y=0.6x 是单调减函数，且 2>0，
所以 0.62<0.60=1，即 c<1；
所以 c4. C【解析】由题意易知，函数 y=a|x|+1 为偶函数，且 y>1，排除A，B．当 a>1 时，函数图象在 0,k 上单调递增，但图象应该是下凸，排除D．
5. A
【解析】画出 y=23x 和 y=25x 的大致图象，如图所示．
由图可知 2313>2323>2523．故选A．
6. A【解析】在函数 fx=7+ax−1（a>0，且 a≠1）中，当 x=1 时，f1=7+a0=8，所以函数 fx=7+ax−1（a>0，且 a≠1）的图象恒过定点 P1,8．
7. A
8. D【解析】将 y=axa>1 的图象向下平移 ∣b∣ 个单位（0<∣b∣<1），依图象可知函数 y=ax+b 的图象一定不过第四象限．
9. B【解析】函数 fx=∣2x−1∣．若 fa=fb（a≠b），
不妨设 a①当 a即 a=b，不成立，
②当 1即 a=b，不成立，
②当 a<1那么 2a+2b=2．
所以 2=2a+2b≥22a⋅2b=22a+b．（当且仅当 a=b 取等号）
所以 a<1所以 a+b<0．
故选B．
10. D
【解析】根据题意画出函数图象，
A．三个不可能都小于 0，因为都为负数时，函数单调递减即 afc>fb；
B．b 的符号不一定为正，还可以为负；
C．因为 −a>c>0，所以 2−a>2c，故错误；
D．根据函数图象可知：a<0，c>0，所以 0<2a<1，2c>1 且 2c−1<1−2a，所以 1<2a+2c<2．
11. B
【解析】因为 R0=3.28，T=6，R0=1+rT，
所以 r=3.28−16=0.38，所以 It=ert=e0.38t．
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 t1 天，
则 e0.38t+t1=2e0.38t，所以 e0.38t1=2，所以 0.38t1=ln2，
所以 t1=ln20.38≈≈1.8 天．
12. D
13. D【解析】利用两曲线关于 y 轴对称的性质，逆用函数图象的平移变换规则求解．曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e−x，将 y=e−x 向左平移 1 个单位长度得到 y=e−x+1，即 fx=e−x−1．
14. D【解析】2e=63e，e3=e23e，所以 0<2e易知D正确．
15. C
16. A
17. B
18. D
19. D
20. B
【解析】若定义域内任意的 x1，x2x1≠x2，有 fx1+fx2>2fx1+x22，则点 x1,fx1，x2,fx2，连线的中点 x1+x22,fx1+x22 的上方，
如图（其中 a=fx1+x22,b=fx1+fx22 ）
根据函数 fx=12x，fx=lnx，fx=x2x≥0，fx=tanx0≤x<π2 的图象可知，函数 fx=12x，fx=x2x≥0，fx=tanx0≤x<π2，具有 H 性质，函数 fx=lnx 不具有 H 性质．
第二部分
21. 0.90.6<0.90.5<1.10.5（或 0.90.6，0.90.5，1.10.5）
22. 4,5
23. 三
【解析】024. 7，减
【解析】由已知得 a−1+b=5,a0+b=4, 解得 a=12,b=3,
所以 fx=12x+3，
所以 f−2=12−2+3=4+3=7．
由 fx 解析式知，fx 在 R 上为减函数．
25. m∈−4,−2
【解析】①因为对于 gx=2x−2，当 x<1 时，gx<0；当 x≥1 时，gx≥0．
又 ∀ x∈R，fx<0 或 gx<0，所以 fx<0 在 x≥1 时恒成立．
所以令 m<0−m−3<12m<1，所以 −4②因为当 x∈−∞,−4 时，gx=2x−2<0 恒成立，
所以存在 x∈−∞,−4，使得 fx=mx−2mx+m+3>0 成立．
所以 2m<−m−3,−4>2m, 或 −m−3<2m,−4>−m−3,
解出 m<−2．
综上所述，−4第三部分
26.
∵12x2−2x+3<122x2+3x−3,∴x2−2x+3>2x2+3x−3,
即
x2+5x−6<0,
即
x+6x−1<0,
解得
−6故不等式的解集为 −6,1．
27. （1） 因为函数图象经过点 4,19，
所以 a4−2=19=132，
所以 a=13．
（2） fx=13x−2x≥0，由 x≥0，得 x−2≥−2，
∴0<13x−2≤13−2=9．
∴ 函数 y=fxx≥0 的值域为 0,9．
28. （1） 因为函数 fx=ax−1x≥0 的图象经过点 2,12，
所以 a2−1=a=12．
（2） 由（1）得 fx=12x−1x≥0，函数为减函数．
当 x=0 时，函数取最大值 2，故 fx∈0,2，
所以函数 y=fx+1=12x−1+1x≥0∈1,3，
故函数 y=fx+1x≥0 的值域为 1,3．
29. （1） 因为 f−1=2，即 a−1=2，
解得 a=12，
所以 fx=12x，
gx=x12=x．
（2） y=fx 图象与 y=gx 图象如图所示，
（3） 0,12．
30. （1） f1=33+1=34，
fx=3x3x+1=1−13x+1，
因为 3x>0，
所以 3x+1>1，
所以 0<13x+1<1，
所以 0<1−13x+1<1，
故 fx 的值域是 0,1．
（2） fx 在 R 上单调递增．
（3） 由（1）知 f1=34．
fax2+2a−1x−1≥34，即 fax2+2a−1x−1≥f1，
即 ax2+2a−1x−2≥0，即 x+2ax−1≥0，
① a=0 时，−x+2≥0，解得：x≤−2．
② a>0 时，1a>0>−2，解得：x≥1a 或 x≤−2．
③ −12④ a=−12 时，x+2ax−1=−12x+2≤0，解得：x=−2．
⑤ a<−12 时，1a>−2，解得：−2≤x≤1a．
31. （1） f1x 不是，f2x 是．
因为 f11>f12，则 f1x 不是 1,4 上的非减函数．
f2x=1,1≤x≤22x−3,2 ∀x1,x2∈1,2，且设 1≤x1 ∀x1,x2∈2,4，且设 2 ∀x1∈1,2，∀x2∈2,4，则 f2x1=1，f2x2=2x2−3>1，显然满足 f2x1≤f2x2，综上所述，f2x 是 1,4 上的非减函数．
（2） ∀x1,x2∈2,4，设 2≤x1 gx1−gx2=2x1+2a2x1−2x2+2a2x2=2x1−2x2+2a2x1−2a2x2=2x1−2x2+2a2x12x22x2−2x1=2x1−2x21−2a2x12x2≤0,
则 ∀x1,x2∈2,4，设 2≤x1即：2a≤2x12x2，
则 a≤8．
（3） h1+h0=1⇒h1=1
⇒h13=12h1=12
h23=1−h13=12
得出：h13=h23=12
∀x∈13,23，因为函数 hx 在 0,1 上为非减函数，
所以 h13≤hx≤h23
所以 12≤hx≤12
得到：∀x∈13,23，hx=12
由（ii）hx3=12hx 知，hx=12h3x
h12020=12h32020=⋯=164h7292020
所以 h12020=1128．