2022届高考大一轮复习知识点精练：正弦函数的性质

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：正弦函数的性质，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 函数 fx=sinωx+π6 的最小正周期为 π5，其中 ω>0，则 ω 等于
A. 5B. 10C. 15D. 20

2. 已知 x,y∈R，且 x>y>0，则
A. 1x−1y>0B. sinx−siny>0
C. 12x−12y<0D. lnx+lny>0

3. 下列函数中，周期是 π 的偶函数为
A. y=csx2B. y=sin2xC. y=sinxD. y=sin∣x∣

4. 函数 y=tanx−π4 的定义域是
A. xx≠π4B. xx≠−π4
C. xx≠kπ+π4,k∈ZD. xx≠kπ+3π4,k∈Z

5. 函数 fx=sinx1−sinx1−sinx 是
A. 奇函数B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数

6. 函数 y=sinx 的定义域为 a,b，值域为 −1,12，则 b−a 的最大值与最小值之和等于
A. 4π3B. 8π3C. 2πD. 4π

7. 下列不等式成立的是
A. 1.70.3>sin1>lg0.51.1B. 1.70.3>lg0.51.1>sin1
C. lg0.51.1>sin1>1.70.3D. sin1>lg0.51.1>1.70.3

8. 函数 y=∣sinx∣ 的一个单调递增区间是
A. −π4,π4B. π4,3π4C. π,3π2D. 3π2,2π

9. 函数 y=sinx 的定义域为 a,b，值域为 −1,12，则 b−a 的最大值和最小值之和等于
A. 4π3B. 8π3C. 2πD. 4π

10. 函数 y=cs2x+sinx 的最大值为
A. 2B. 54C. 1D. 0

11. 如图所示的是函数 y=sinx0≤x≤π 的图象，Ax,y 是图象上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交图象于另一点 B（A，B 可重合）．设线段 AB 的长为 fx，则函数 fx 的图象是
A. B.
C. D.

12. 函数 y=sin2x+sinx−1 的值域为
A. −1,1B. −54,−1C. −54,1D. −1,54

13. 设 a=sin1，b=sin2，c=sin3，则 a，b，c 的大小关系是
A. a
14. 下列不等式中成立的是
A. sin−π8>sin−π10B. sin3>sin2
C. sin75π>sin−25πD. sin2>cs1

15. 设 a=cs50∘cs127∘+cs40∘sin127∘，b=22sin56∘−cs56∘，c=1−tan239∘1+tan239∘，则 a，b，c 的大小关系是
A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b

16. 如图是周期为 2π 的三角函数 y=fx 的图象的一部分，那么 fx 可以写成
A. sin1+xB. sin−1−x
C. sinx−1D. sin1−x

17. 函数 fx=cs2x+sinxx∈R 的最小值为
A. 54B. 1C. −1D. −2

18. 下列函数中，既是奇函数又在区间 0,+∞ 上单调递增的是
A. y=sinxB. y=x3C. y=2−xD. y=ln∣x∣

19. 设 α∈0,2π，则使 sinα>12 成立的 α 的取值范围是
A. π3,2π3B. π6,5π6C. π3,4π3D. 7π6,11π6

20. 设函数 fx=sin2x+bsinx+c，则 fx 的最小正周期
A. 与 b 有关，且与 c 有关B. 与 b 有关，但与 c 无关
C. 与 b 无关，且与 c 无关D. 与 b 无关，但与 c 有关

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 函数 y=sinx，x∈R 的最小正周期为 ．

22. 函数 y=sinx+π，x∈−π2,π 的单调递增区间为 ．

23. 若函数 fx=1+sin2x+a−1x 是周期函数，则实常数 a= ．

24. 若方程 sin2x−32=0 在区间 0,a 内至少有三个解，则实数 a 的取值范围是 ．

25. 已知函数 fx=sinxx∈0,π 和函数 gx=12tanx 的图象交于 A，B，C 三点，则 △ABC 的面积为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 函数 fx=sinx+2∣sinx∣，x∈0,2π 的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围．

27. 已知向量 a=cs32x,sin32x，b=sinx2,−csx2x≠kπ,k∈Z，令 fx=λa+b2a⋅bλ∈R．
（1）化简 fx=λa+b2a⋅b，并求当 λ=1 时方程 fx=−2 的解集；
（2）已知集合 P=hxhx+h−x=2,D是函数hx与h−x定义域的交集且D不是空集，判断元素 fx 与集合 P 的关系，说明理由．

28. 在锐角 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a=13，c=15．
（1）sinC=12 能否成立?请说明理由；
（2）若 A=π3，求 b．

29. 已知函数 fx=lg12∣sinx∣．
（1）求 fx 的定义域和值域；
（2）判断奇偶性与周期性；
（3）写出单调区间．

30. 已知 sinx+siny=13，求 M=sinx−cs2y 的取值范围．

31. 已知 fα=sin2π−αcsπ2+αcs−π2+αtanπ+α．
（1）化简 fα，并求 fπ3．
（2）若 tanα=2，求 4sin2α−3sinαcsα−5cs2α 的值．
（3）求函数 gx=2f2x−fπ2+x+1 的值域．
答案
第一部分
1. B
2. C【解析】因为 x>y>0，选项A，取 x=1，y=12，则 1x−1y=1−2=−1<0，排除A；
选项B，取 x=π，y=π2，则 sinx−siny=sinπ−sinπ2=−1<0，排除B；
选项D，取 x=2，y=12，lnx+lny=lnx⋅y=ln1=0，排除D．
3. C
4. D
5. D
6. C【解析】如图，
当 x∈a,b 时，值域为 −1,12，且 b−a 最大，
当 x∈a2,b 时，值域为 −1,12，且 b−a 最小．
所以最大值与最小值之和为 b−a1+b−a2=2b−a1+a2=2×π6+π2+7π6=2π．
7. A【解析】1.70.3>1，08. C
9. C【解析】如图，
当 x∈a1,b 时，值域为 −1,12，且 b−a 最大，
当 x∈a2,b 时，值域为 −1,12，且 b−a 最小．
所以最大值与最小值之和为 b−a1+b−a2=2b−a1+a2=2×π6+π2+7π6=2π．
10. B
11. A【解析】设 Ax0,sinx0，则 ∣AB∣=∣π−2x0∣，
故 fx=∣π−2x∣=π−2x,0≤x<π22x−π,π2≤x≤π
所以 fx 在 0,π2 单调递减，为一次函数，
fx 在 π2,π 单调递增，为一次函数．
12. C【解析】令 sinx=t，t∈−1,1，则 y=t2+t−1=t+122−54，
因为 t∈−1,1，
所以 y∈−54,1．
13. D【解析】因为 1<π2<2<3<π，
sinπ−2=sin2，sinπ−3=sin3，
0<π−3<1<π−2<π2，而 y=sinx 在 0,π2 上单调递增，
所以 sinπ−3所以 c14. D
15. D
【解析】a=cs50∘cs127∘+cs40∘sin127∘=sin40∘+127∘=sin167∘=sin13∘，
b=22sin56∘−cs56∘=22sin56∘−22cs56∘=sin56∘−45∘=sin11∘，
c=cs239∘−sin239∘cs239∘sin239∘+cs239∘cs239∘=cs239∘−sin239∘=cs78∘=sin12∘，
因为 sin13∘>sin12∘>sin11∘，
所以 a>c>b．
16. D
17. C【解析】由已知 fx=1−sin2x+sinx，
令 t=sinx，则 t∈−1,1，
fx=gt=−t2+t+1=−t−122+54，
因为 t∈−1,1，
所以 t=−1 时，gtmin=−1．
故选：C．
18. B【解析】A选项：设 fx=sinx，
则 f−x=sin−x=−sinx=−fx，
即函数 y=sinx 为奇函数，
由三角函数性质可知，函数 y=sinx 在 0,+∞ 上不是单调函数．
故A错误；
B选项：设 gx=x3，
则 g−x=−x3=−x3=−gx，
即函数 y=x3 为奇函数，
由 yʹ=3x2≥0 恒成立可知：
函数 y=x3 在 0,+∞ 上单调递增．
故B正确；
C选项：由指数函数性质可知：函数 y=2−x 是非奇非偶函数．
故C错误；
D选项：设 hx=ln∣x∣，
则 h−x=ln∣−x∣=ln∣x∣=hx，
即函数 y=ln∣x∣ 为偶函数，
故D错误．
故选B．
19. B
20. B
【解析】fx=sin2x+bsinx+c=1−cs2x2+bsinx+c=−cs2x2+bsinx+c+12，
其中当 b=0 时，fx=−cs2x2+c+12，此时周期是 π；
当 b≠0 时，周期为 2π，而 c 不影响周期．
第二部分
21. 2π
【解析】T=2πω=2π．
22. π2,π
23. 1
【解析】设 T 为函数 fx 的周期，由 fx+T=fx，
可得 1+sin2x+T+a−1x+T=1+sin2x+a−1x，
即 a−1T=sin2x−sin2x+T 恒成立．
由于等式左边为常数，右边含有变量，因此 T=kπ（k∈Z 且 k≠0），
因此 a−1=0，即 a=1．
24. 7π6,+∞
【解析】因为 sin2x−32=0，
所以 sin2x=32，
所以 2x=2kπ+π3或2kπ+2π3k∈Z，
所以 x=kπ+π6或kπ+π3k∈Z，
所以在 0,+∞ 内方程的解从小到大依次为 π6，π3，7π6，4π3，…，
因为方程 sin2x−32=0 在区间 0,a 内至少有三个解，
所以实数 a 的取值范围是 7π6,+∞．
25. 34π
第三部分
26. fx=sinx+2∣sinx∣=3sinx,x∈0,π−sinx,x∈π,2π，
其图象如图所示．
若使 fx 的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点，根据图象，可得实数 k 的取值范围是 1,3．
27. （1） fx=λ2+1−2λsinx−sinx，x=π6+2kπ 或 x=5π6+2kπ，k∈Z．
（2） λ=12 时，fx∈P，λ≠12 时，fx∉P．
28. （1） sinC=12 不成立．
因为 sinC=12，所以 C=π6，
因为 aπ2，这与 △ABC 为锐角三角形矛盾．
（2） A=π3．
由余弦定理可得 a2=b2+c2−2bccsA，
所以 169=b2+225−2×15b×12，
整理可得 b2−15b+56=0，解得 b=8 或 b=7．
当 b=7 时，csC=a2+b2−c22ab=132+72−1522×13×7<0，
所以 C 为钝角，与题意不符合，所以 b=8．
29. （1） 由 sinx≠0 得定义域为 xx≠kπ,k∈Z，
又 0<∣sinx∣≤1，
所以值域为 0,+∞．
（2） 由（1）知，定义域关于原点对称，
又 f−x=lg12∣sin−x∣=lg12∣sinx∣=fx，
所以 fx 是偶函数．
又 T=π 时，fx+T=lg12∣sinx+T∣=fx，
所以 fx 是周期函数，且 T=π．
（3） 因为 y=∣sinx∣ 的单调递增区间是 kπ,kπ+π2k∈Z，单调递减区间是 kπ−π2,kπk∈Z，
所以 fx=lg12∣sinx∣ 的单调递增区间是 kπ−π2,kπk∈Z，单调递减区间是 kπ,kπ+π2k∈Z．
30. 由题意，得 sinx=13−siny．
由 sinx∈−1,1，
得 −1≤13−siny≤1,−1≤siny≤1.
解得 −23≤siny≤1．
所以 M=13−siny−cs2y=sin2y−siny−23=siny−122−1112，
则当 siny=12 时，Mmin=−1112；
当 siny=−23 时，Mmax=49．
故所求取值范围为 −1112,49．
31. （1） 由题意可得：
fα=sin2π−αcsπ2+αcs−π2+αtanπ+α=−sinα⋅−sinαsinα⋅tanα=csα,
故 fπ3=csπ3=12．
（2） 因为 tanα=2，故
4sin2α−3sinαcsα−5cs2α=4sin2α−3sinαcsα−5cs2αsin2α+cs2α=4tan2α−3tanα−5tan2α+1=1.
（3） 因为 fα=csα，所以
gx=2cs2x−csx+π2+1=2cs2x+sinx+1=−2sin2x+sinx+3=−2sinx−142+258,
因为 sinx∈−1,1，
所以当 sinx=14 时，gxmax=258，
当 sinx=−1 时，gxmin=0，
所以 gx 的值域为 0,258．