2022届高考大一轮复习知识点精练：椭圆的几何性质

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：椭圆的几何性质，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 椭圆 x2+y28=1 的离心率为
A. 144B. 78C. 104D. 18

2. 已知椭圆 C 的焦点为 F1−1,0，F21,0．过点 F1 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 △ABF2 的周长为 8，则椭圆 C 的标准方程为
A. x216+y215=1B. x28+y27=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1

3. 已知椭圆 C:x22+y2=1，则椭圆 C 的离心率为
A. 32B. 12C. 22D. 13

4. 椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为
A. 14B. 13C. 12D. 4

5. 已知点 F1，F2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点 Q 在射线 F1P 的延长线上，且 PQ=PF2，若 PQ 的最小值为 1，最大值为 9，则椭圆的离心率为
A. 35B. 13C. 45D. 19

6. 已知 F1，F2 分别是椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右焦点，M 是椭圆短轴的端点，点 N 在椭圆上，若 MF1=3NF2，则椭圆 E 的离心率为
A. 13B. 12C. 22D. 63

7. 已知椭圆 x216+y29=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上．若 PF1⊥PF2，则点 P 到 x 轴的距离为
A. 95B. 3C. 977D. 94

8. 如图所示，在圆锥内放入连个球 O1，O2，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为 ⊙C1，⊙C2．这两个球都与平面 a 相切，切点分别为 F1，F2，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面 a 与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为 Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为 30∘，⊙C1，⊙C2 的半径分别为 1,4，点 M 为 ⊙C2 上的一个定点，点 P 为椭圆上的一个动点，则从点 P 沿圆锥表面到达 M 的路线长与线段 PF1 的长之和的最小值是
A. 6B. 8C. 33D. 43

9. 若直线 x−2y+2=0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为
A. x25+y2=1B. y25+x24=1
C. x25+y2=1 或 y25+x24=1D. 以上答案都不对

10. 设椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆上一点，∣PF1∣=λ∣PF2∣12≤λ≤2，∠F1PF2=π2，则椭圆离心率的取值范围为
A. 0,22B. 22,53C. 23,53D. 53,1

11. 倾斜角为 π4 的直线经过椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 右焦点 F，与椭圆交于 A，B 两点，且 AF=2FB，则该椭圆的离心率为
A. 32B. 23C. 22D. 33

12. 已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
A. 13B. 12C. 23D. 34

13. 设 F 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的一个焦点，P 是 C 上的点，圆 x2+y2=a29 与线段 PF 交于 A，B 两点，若 A，B 是线段 PF 的两个三等分点，则 C 的离心率为
A. 33B. 53C. 104D. 175

14. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线方程为 y=52x，且与椭圆 x212+y23=1 有公共焦点，则 C 的方程为
A. x28−y210=1B. x24−y25=1C. x25−y24=1D. x24−y23=1

15. 已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，满足 MF1⋅MF2=0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A. 0,1B. 0,12C. 0,22D. 22,1

16. 点 M 在直线 l:x=2 上，若椭圆 C:x2+y24=1 上存在两点 A，B，使得 △MAB 是等腰三角形，则称椭圆 C 具有性质 P．下列结论中正确的是
A. 对于直线 l 上的所有点，椭圆 C 都不具有性质 P
B. 直线 l 上仅有有限个点，使椭圆 C 具有性质 P
C. 直线 l 上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆 C 具有性质 P
D. 对于直线 l 上的所有点，椭圆 C 都具有性质 P

17. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 F1，F2 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 ∠F1PF2=60∘ 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为
A. 33B. 32C. 22D. 12

18. 已知椭圆 x216+y215=1 上有 n 个不同的点 P1，P2，P3，⋯，Pn，椭圆右焦点为 F，数列 PnF 是公差大于 12018 的等差数列，则 n 的最大值为
A. 2017B. 2018C. 4036D. 4037

19. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1−c,0，F2c,0，若椭圆上一点 P 满足 PF2⊥x 轴，且 PF1 与圆 x2+y2=c24 相切，则该椭圆的离心率为
A. 33B. 12C. 22D. 63

20. 设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 PF1⋅PF2=0，则 1e12+1e22 的值为
A. 12B. 1C. 2D. 4

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知椭圆 y29+x25=1 的上焦点为 F，M 是椭圆上一点，点 A23,0，当点 M 在椭圆上运动时，MA+MF 的最大值为 ．

22. 一个圆经过椭圆 x216+y24=1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．

23. 已知椭圆 C:x22+y2=1 的两焦点为 F1，F2，点 Px0,y0 满足 00，已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 55．求椭圆的方程．

27. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F1,0，离心率为 22．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设经过点 F 的直线 l 不与坐标轴垂直，直线 l 与椭圆 C 相交于点 A，B，且线段 AB 的中点为 M，经过坐标原点 O 作射线 OM 与椭圆 C 交于点 N，若四边形 OANB 为平行四边形，求直线 l 的方程．

28. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63，椭圆 C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l:y=kx−2 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 P0,1，且 PA=PB，求直线 l 的方程．

29. 已知直线 l:x=x+6，圆 O:x2+y2=5，椭圆 E:y2a2+x2b2=1a>b>0 的离心率 e=33，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值．

30. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 上一点，∠F1PF2=120∘，∣PF1∣=2+3，∣PF2∣=2−3．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）求点 P 的坐标．

31. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率 e=32，且经过点 D0,1．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知点 A−1,0 和点 B−4,0，过点 B 的动直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点（M 在 N 左侧），试讨论 ∠BAM 与 ∠OAN 的大小关系，并说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】由椭圆 x2+y28=1 知 a=22，b=1，则 c=7，
所以椭圆的离心率为 722=144．
2. C
3. C
4. A【解析】在椭圆 y21m+x2=1 中，a2=1m，b2=1，
所以 2×1m=2×1×2=4，
所以 m=14．
5. C
【解析】因为 PQ=PF2，PQ 的最小值为 1，最大值为 9，
所以 PF2 的最大值为 a+c=9，最小值为 a−c=1，
所以 a=5，c=4，
所以椭圆的离心率为 e=ca=45．
6. C
7. C【解析】由题意椭圆 x216+y29=1 的半焦距 c=7，
又因为 PF1⊥PF2，
所以点 P 在以 7 为半径，以原点为圆心的圆上，
即 x2+y2=7，与椭圆 x216+y29=1 联立，可得 y=±977，
所以点 P 到 x 轴的距离为 977．
8. A
9. C【解析】直线与坐标轴的交点分别为 0,1，−2,0．
由题意知当焦点在 x 轴上时，c=2，b=1，
所以 a2=5，所求椭圆的标准 x25+y2=1．
当焦点在 y 轴上时，b=2，c=1，
所以 a2=5，
所求椭圆的标准方程为 y25+x24=1．
10. B
【解析】设 F1−c,0，F2c,0，由椭圆的定义可得，∣PF1∣+∣PF2∣=2a，
可设 ∣PF2∣=t，可得 ∣PF1∣=λt，
即有 λ+1t=2a ⋯⋯①，
由 ∠F1PF2=π2，
可得 ∣PF1∣2+∣PF2∣2=4c2，
即为 λ2+1t2=4c2 ⋯⋯②，
由 ② ÷ ① 2，可得 e2=λ2+1λ+12．
另 m=λ+1，可得 λ=m−1，
即有 e2=λ2+1λ+12=m2−2m+2m2=21m−122+12，
由 12≤λ≤2，
可得 32≤m≤3，
即 13≤1m≤23，
则当 m=2 时，e2 取得最小值 12；
当 m=32 或 m=3 时，e2 取得最大值 59．即 12≤e2≤59，
解得 22≤e≤53．
11. B
12. A【解析】设 E0,m，则直线 AE 的方程为 −xa+ym=1，由题意可知 M−c,m−mca，0,m2 和 Ba,0 三点共线，则 m−mca−m2−c=m2−a，化简得 a=3c，则 C 的离心率 e=ca=13．
13. D【解析】如图所示，设线段 AB 的中点为 D，连接 OD，OA，
设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F，F1，连接 PF，PF1．
设 ∣OD∣=t，
因为点 A，B 是线段 PF 的两个三等分点，
所以点 D 为线段 PF 的中点，
所以 OD∥PF1，且 ∣PF1∣=2t，PF1⊥PF．
因为 ∣PF∣=3∣AB∣=6∣AD∣=6a32−t2，
根据椭圆的定义，得 ∣PF∣+∣PF1∣=2a，
所以 6a32−t2+2t=2a，
解得 t=a5 或 t=0（舍去）．
所以 ∣PF∣=8a5，∣PF1∣=2a5．
在 Rt△PFF1 中，
∣PF∣2+∣PF1∣2=∣FF1∣2，
即 8a52+2a52=2c2，
得 c2a2=1725，
所以 C 的离心率 e=ca=175．
14. B【解析】椭圆 x212+y23=1 的焦点坐标 ±3,0，则双曲线的焦点坐标为 ±3,0，可得 c=3，
双曲线 C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线方程为 y=52x，
可得 ba=52，即 c2−a2a2=54，可得 ca=32，解得 a=2，b=5，
所求的双曲线方程为：x24−y25=1．
15. C
【解析】因为满足 MF1⋅MF2=0 的点 M 在圆 x2+y2=c2 上，
所以圆 x2+y2=c2 在椭圆内部，即 c0⇒4k2+1>t2，
由韦达定理，y1+y2=−8kt4k2+1，
设 AB 中点为 T，则 Tt4k2+1,−4kt4k2+1，
AB 中垂线方程为 y=−kx−t4k2+1−4kt4k2+1，
令 x=2，y=−2k−3kt4k2+1，
故 M2,−2k−3kt4k2+1 是符合条件的点．
令 t=0，M2,−2k，
这意味着，对于 l 上任意一点 M2,m，在椭圆上都有 A，B 两点使 MA=MB，AB 方程为 x=−12my．
17. A【解析】设 F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，
由余弦定理得 2c2=m2+n2−2mncs60∘，即 4c2=m2+n2−mn，
设 a1 是椭圆的实半轴，a2 是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得 m+n=2a1，m−n=2a2，
所以 m=a1+a2，n=a1−a2，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得 3a22−4c2+a12=0，
a1=3a2，e1⋅e2=ca1⋅ca2=ca1⋅3ca1=1，
即 3e12=1，
所以 e1=33．
18. C【解析】由已知的椭圆方程可得 a2=16，b2=15，
所以 c=1．
因为数列 PnF 是公差大于 12018 的等差数列，
所以数列 PnF 为递增数列，其最小项为 P1F=a−c=3，最大项为 PnF=a+c=5．
设数列 PnF 的公差为 d，则 5=3+n−1d，
所以 d=2n−1，
由 2n−1>12018，可得 nn>0，
根据椭圆和双曲线的定义可得 m+n=2a1，m−n=2a2，
解得 m=a1+a2，n=a1−a2，
又 PF1⋅PF2=0，即 PF1⊥PF2，
由勾股定理得 PF12+PF22=F1F22，
即 m2+n2=2c2，
即 a1+a22+a1−a22=2c2，
化简可得 a12+a22=2c2，1e12+1e22=2．
第二部分
21. 10
【解析】如图，取椭圆的下焦点 E，取椭圆上任一点 M，
由题意可得 A 在椭圆外，由椭圆的定义可得：∣MA∣+∣MF∣=∣MA∣+2a−∣ME∣≤2a+∣AE∣，当且仅当 A，E，M 三点共线时取得最大值，由椭圆的方程可得 c2=a2−b2=9−5=4，所以下焦点 E0,−2，2a=6，所以 AE=232+22=4，所以 MA+MF 的最大值为 6+4=10．
22. x−322+y2=254
【解析】由已知得该圆经过椭圆的三个顶点 A4,0，B0,2，C0,−2．
易知线段 AB 的垂直平分线的方程为 2x−y−3=0，
令 y=0，得 x=32，
所以圆心坐标为 32,0，则半径 r=4−32=52．
故该圆的标准方程为 x−322+y2=254．
23. 2,22
【解析】由点 Px0,y0 满足 00．
设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1，k2，
则 k1k2=−y02−32−x02．
因为点 P 在圆 O 上，
所以 x02+y02=5，
所以 k1k2=−5−x02−32−x02=−1．
所以两条切线斜率之积为定值 −1 .
30. （1） 2a=PF1+PF2=4，
所以 a=2，
在 △PF1F2 中，由余弦定理可得 ∣F1F2∣2=∣PF1∣2+∣PF2∣2−2∣PF1∣∣PF2∣cs120∘，
所以 4c2=15，
所以 c=152，
b2=a2−c2=4−154=14,
故椭圆的方程为 x24+4y2=1．
（2） 设点 Pm,n，由题意可知 m>0，
S△PF1F2=12∣PF1∣∣PF2∣sin120∘=12×2+3×2−3×32=12×2c×∣n∣.
所以 n=±510．
将点 P 的坐标代入椭圆的方程可得 m24+15=1，解得 m=455，
故点 P455,510 或 P455,−510．
31. （1） 由已知 b=1，e=ca=32，
又 a2=b2+c2，解得 a=2，b=1．
所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1．
（2） 依题意设直线 l 的方程为 y=kx+4，设 Mx1,y1，Nx2,y2．
联立 x24+y2=1,y=kx+4, 消去 y，得 4k2+1x2+32k2x+64k2−4=0，
则 Δ=161−12k2>0，解得 −36