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2022届高考大一轮复习知识点精练：正切函数的性质
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这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：正切函数的性质，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 函数 y=tanx+π5，x∈R 且 x≠310π+kπ，k∈Z 的一个对称中心是
A. 0,0B. π5,0C. 45π,0D. π,0
2. 若直线 x=aπ0A. xkπ+π6≤xB. xkπ+π4≤xC. xkπ+π3≤xD. xkπ−π4≤x
3. 若 tanα>0，则
A. sinα>0B. csα>0C. sin2α>0D. cs2α>0
4. 直线 y=a（a 为常数）与正切函数 y=tannxn>0 的图象的交点中，相邻两交点间的距离为
A. πB. 2πnC. πnD. 与 a 的值有关
5. 函数 y=sin−xx∈−π,π 的图象是
A. B.
C. D.
6. 已知 y=tan2x+φ 的图象过点 π12,0，则 φ 可以是
A. −π6B. π6C. −π12D. π12
7. 函数 y=tanxx2+1 在 −π,π 的图象大致为
A. B.
C. D.
8. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是
A. y=sinxB. y=tanxC. y=x3D. y=ex
9. 函数 fx=sinxtanx
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 是非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数
10. 在 0,2π 内使 sinx>∣csx∣ 成立的 x 的取值范围是
A. π4,3π4B. π4,π2∪5π4,3π2
C. π4,π2D. 5π4,7π4
11. 已知函数 y=tanωx 在区间 −π2,π2 内单调递减，则
A. 0<ω≤1B. −1≤ω<0C. ω≥1D. ω≤−1
12. 在下列函数中，同时满足：①在 0,π2 上递增；②以 2π 为周期；③为奇函数的是
A. y=tanxB. y=csxC. y=tan12xD. y=−tanx
13. “θ=2π3”是“tanθ=2csπ2+θ”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
14. α,β∈π2,π，且 tanαA. α<βB. α>βC. α+β<3π2D. α+β>3π2
15. 下列图形分别是① y=∣tanx∣；② y=tanx；③ y=tan−x；④ y=tan∣x∣ 在 x∈−3π2,3π2 内的大致图象，那么由 a 到 d 对应的函数关系式应是
A. ①②③④B. ①③④②C. ③②④①D. ①②④③
16. “α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
17. 设函数 fx 的定义域为 D，如果对任意 x1∈D，都存在唯一的 x2∈D，使得 fx1+fx2=m（m 为常数）成立，那么称函数 fx 在 D 上具有性质 Ψm．现有函数：
① fx=3x；
② fx=3x；
③ fx=lg3x；
④ fx=tanx．
其中，在其定义域上具有性质 Ψm 的函数的序号是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
18. 设 a=sin5π7，b=cs2π7，c=tan2π7，则
A. a
19. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在 −2π,2π 上的公共点有
A. 3 个B. 5 个C. 7 个D. 9 个
20. 下列不等式中，正确的是
A. tan4π7>tan3π7B. tan2π5C. tan−13π7tan−12π5
二、填空题（共5小题；共25分）
21. 函数 y=tanx 的定义域为 ．
22. 函数 y＝∣tanx∣ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
23. 函数 y=tanx−π4 的单调递增区间为 ．
24. 函数 y=1tanx（−π4
25. 直线 y=x+1 绕着其上一点 P3,4 逆时针旋转 90∘ 后得到直线 l，则直线 l 的点斜式方程为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
26. 比较下列各组数的大小：
（1）tan−27π 与 tan−25π；
（2）tan231∘ 与 tan237∘；
（3）tankπ−π3 与 tankπ+π3k∈Z
27. 已知函数 fx=3tanπ6−x4．
（1）求 fx 的最小正周期和单调递减区间；
（2）试比较 fπ 与 f3π2 的大小．
28. 设函数 fx=tanx3−π3．
（1）求函数 fx 的最小正周期、对称中心；
（2）作出函数 fx 在一个周期内的简图．
29. 已知 α,β∈π2,π，且 tanα
30. 求函数 fx=tanx1+tan2x 的最小正周期，并在 x∈−π2,5π2 上作出它的图象．
31. （1）求函数 y=3tanπ4−2x 的单调递减区间．
（2）已知函数 y=3tanωx+1 在 −π3,π4 内是减函数，求 ω 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】x+π5=kπ，k∈Z，当 k=1 时，x=45π．
2. B【解析】因为直线 x=aπ 与函数 y=tanx 的图象无公共点，且 0所以 aπ=π2，
所以 a=12，故 tanx≥2a 可化为 tanx≥1．
结合正切函数的图象，可得不等式 tanx≥2a 的解集为 xkπ+π4≤x3. C【解析】因为 tanα>0，
所以 α 为第一或第三象跟角，即 2kπ<α<2kπ+π2 或 2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z．
那么 4kπ<2α<4kπ+π 或 4kπ+2π<2α<4kπ+3π，k∈Z．
所以 2α 为第一或第二象限角或终边在 y 轴的非负半轴上，从而 sin2α>0．
答案C．
4. C
5. D
6. A【解析】将点 π12,0 代入 y=tan2x+φ 得 tan2×π12+φ=0．
因为 π6+φ=kπk∈Z．所以 φ=−π6+kπk∈Z．当 k=0 时，φ=−π6．
7. D
8. C【解析】A选项：y=sinx 是奇函数，但在定义域内有增有减；
B选项：y=tanx 是奇函数，但在定义域内没有单调性，要记牢；
C选项：y=x3 是奇函数，是在定义域内递增；
D选项：y=ex 不是奇函数，但在定义域内递增．
9. B
10. A
11. B
12. C
13. A【解析】tanθ=tan23π=−3，2csπ2+θ=2sin−θ=−2sin23π=−3，
可知充分，当 θ=0∘ 时 tanθ=0，2csπ2+θ=0 可知不必要．
14. C【解析】α,β∈π2,π，且 tanα所以 tanα⋅tanβ>1，α+β∈π,2π，
所以 tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ>0，所以 α+β∈π,3π2．
15. D
16. B【解析】若 tanα=tanβ，则 α=kπ+β，k∈Z，
若 α=kπ+β，且 k≠kπ+π2，k∈Z，
则 tanα=tankπ+β=tanβ，
故“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的必要不充分条件．
17. A
18. D【解析】a=sin5π7=sinπ−5π7=sin2π7，
因为 2π7−π4=π28>0，
所以 π4<2π7<π2．
当 α∈π4,π2 时，sinα>csα，
所以 a=sin2π7>cs2π7=b．
当 α∈0,π2 时，sinα所以 c=tan2π7>sin2π7=a，
所以 c>a．
故 c>a>b．
19. B
20. D
【解析】tan4π7=tan−3π7 tan3π5=tan−2π5 tan−13π7=tanπ7，
tan−15π8=tanπ8，
因为 tanπ7>tanπ8，
所以 tan−13π7>tan−15π8，
tan−13π4=tan−3π−π4=tan−π4=−tanπ4，
tan−12π5=tan−2π−2π5=tan−2π5=−tan2π5．
tan2π5>tanπ4，
所以 tan−12π5第二部分
21. xx≠π2+kπ,k∈Z
【解析】方法一：x≠π2+kπ，k∈Z．
方法二：根据正切函数 y=tanx 的定义知，
其定义域为：xx≠kπ+π2,k∈Z．
22. kπ,kπ+π2，k∈Z，kπ−π2,kπ，k∈Z
【解析】作出函数 y＝∣tanx∣ 的图象，如图．
观察图象可知，函数 y＝∣tanx∣ 的单调递增区间为 kπ,kπ+π2，k∈Z；单调递减区间为 kπ−π2,kπ，k∈Z．
23. kπ−π4,kπ+3π4，k∈Z
【解析】y=tanx−π4，
令 kπ−π2求得 kπ−π4则函数 y=tanx−π4 的单调递增区间为 kπ−π4,kπ+3π4，k∈Z．
24. −∞,−1∪1,+∞
25. y−4=−x−3
【解析】直线 y=x+1 的斜率 k=1，
所以倾斜角为 45∘．
由题意知，直线 l 的倾斜角为 135∘，
所以直线 l 的斜率 kʹ=tan135∘=−1．
又点 P3,4 在直线 l 上，
故由点斜式方程知直线 l 的方程为 y−4=−x−3．
第三部分
26. （1） >．
（2） <．
（3） <．
27. （1） 因为 fx=3tanπ6−x4=−3tanx4−π6，
所以 T=π∣ω∣=π14=4π．
由 kπ−π2得 4kπ−4π3因为 y=3tanx4−π6，
在 4kπ−4π3,4kπ+8π3k∈Z 内单调递增，
所以 fx=−3tanx4−π6 在 4kπ−4π3,4kπ+8π3k∈Z 内单调递减．
故原函数的最小正周期为 4π，单调递减区间为 4kπ−4π3,4kπ+8π3k∈Z．
（2） fπ=3tanπ6−π4=3tan−π12=−3tanπ12,
f3π2=3tanπ6−3π8=3tan−5π24=−3tan5π24,
因为 0<π12<5π24<π2，
且 y=tanx 在 0,π2 上单调递增，
所以 tanπ12所以 fπ>f3π2．
28. （1） 因为 ω=13，
所以 最小正周期 T=π∣ω∣=π13=3π．
令 x3−π3=kπ2k∈Z，
得 x=π+3kπ2k∈Z，
所以 fx 的对称中心是 π+3kπ2,0k∈Z．
（2） 令 x3−π3=0，则 x=π；
令 x3−π3=π2，则 x=5π2；
令 x3−π3=−π2，则 x=−π2．
从而得到函数 y=fx 在一个周期 −π2,5π2 内的简图（如图）．
29. tanα因为 π2<β<π，
所以 π2<3π2−β<π，可得 α<3π2−β，即 α+β<3π2．
30. T=π，图略．
31. （1） y=3tanπ4−2x=−3tan2x−π4，令 −π2+kπ<2x−π4<π2+kπ，则 −π8+kπ2，k∈Z，从而函数 y=3tan2x−π4 的单调递增区间为 −π8+kπ2,3π8+kπ2，k∈Z，故函数 y=3tanπ4−2x 的单调递减区间为 −π8+kπ2,3π8+kπ2，k∈Z .
（2） 由题意知 ω<0，因为 −π3因为 π4ω<ωx<−π3ω，
所以 π4ω≥−π2+kπ,k∈Z,−π3ω≤π2+kπ,k∈Z,
解得 ω≥4k−2,k∈Z,ω≥−3k−32,k∈Z.
由 ω<0 得 −32≤ω<0．
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 函数 y=tanx+π5，x∈R 且 x≠310π+kπ，k∈Z 的一个对称中心是
A. 0,0B. π5,0C. 45π,0D. π,0
2. 若直线 x=aπ0
3. 若 tanα>0，则
A. sinα>0B. csα>0C. sin2α>0D. cs2α>0
4. 直线 y=a（a 为常数）与正切函数 y=tannxn>0 的图象的交点中，相邻两交点间的距离为
A. πB. 2πnC. πnD. 与 a 的值有关
5. 函数 y=sin−xx∈−π,π 的图象是
A. B.
C. D.
6. 已知 y=tan2x+φ 的图象过点 π12,0，则 φ 可以是
A. −π6B. π6C. −π12D. π12
7. 函数 y=tanxx2+1 在 −π,π 的图象大致为
A. B.
C. D.
8. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是
A. y=sinxB. y=tanxC. y=x3D. y=ex
9. 函数 fx=sinxtanx
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 是非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数
10. 在 0,2π 内使 sinx>∣csx∣ 成立的 x 的取值范围是
A. π4,3π4B. π4,π2∪5π4,3π2
C. π4,π2D. 5π4,7π4
11. 已知函数 y=tanωx 在区间 −π2,π2 内单调递减，则
A. 0<ω≤1B. −1≤ω<0C. ω≥1D. ω≤−1
12. 在下列函数中，同时满足：①在 0,π2 上递增；②以 2π 为周期；③为奇函数的是
A. y=tanxB. y=csxC. y=tan12xD. y=−tanx
13. “θ=2π3”是“tanθ=2csπ2+θ”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
14. α,β∈π2,π，且 tanα
15. 下列图形分别是① y=∣tanx∣；② y=tanx；③ y=tan−x；④ y=tan∣x∣ 在 x∈−3π2,3π2 内的大致图象，那么由 a 到 d 对应的函数关系式应是
A. ①②③④B. ①③④②C. ③②④①D. ①②④③
16. “α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
17. 设函数 fx 的定义域为 D，如果对任意 x1∈D，都存在唯一的 x2∈D，使得 fx1+fx2=m（m 为常数）成立，那么称函数 fx 在 D 上具有性质 Ψm．现有函数：
① fx=3x；
② fx=3x；
③ fx=lg3x；
④ fx=tanx．
其中，在其定义域上具有性质 Ψm 的函数的序号是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
18. 设 a=sin5π7，b=cs2π7，c=tan2π7，则
A. a
19. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在 −2π,2π 上的公共点有
A. 3 个B. 5 个C. 7 个D. 9 个
20. 下列不等式中，正确的是
A. tan4π7>tan3π7B. tan2π5
二、填空题（共5小题；共25分）
21. 函数 y=tanx 的定义域为 ．
22. 函数 y＝∣tanx∣ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
23. 函数 y=tanx−π4 的单调递增区间为 ．
24. 函数 y=1tanx（−π4
25. 直线 y=x+1 绕着其上一点 P3,4 逆时针旋转 90∘ 后得到直线 l，则直线 l 的点斜式方程为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
26. 比较下列各组数的大小：
（1）tan−27π 与 tan−25π；
（2）tan231∘ 与 tan237∘；
（3）tankπ−π3 与 tankπ+π3k∈Z
27. 已知函数 fx=3tanπ6−x4．
（1）求 fx 的最小正周期和单调递减区间；
（2）试比较 fπ 与 f3π2 的大小．
28. 设函数 fx=tanx3−π3．
（1）求函数 fx 的最小正周期、对称中心；
（2）作出函数 fx 在一个周期内的简图．
29. 已知 α,β∈π2,π，且 tanα
30. 求函数 fx=tanx1+tan2x 的最小正周期，并在 x∈−π2,5π2 上作出它的图象．
31. （1）求函数 y=3tanπ4−2x 的单调递减区间．
（2）已知函数 y=3tanωx+1 在 −π3,π4 内是减函数，求 ω 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】x+π5=kπ，k∈Z，当 k=1 时，x=45π．
2. B【解析】因为直线 x=aπ 与函数 y=tanx 的图象无公共点，且 0
所以 a=12，故 tanx≥2a 可化为 tanx≥1．
结合正切函数的图象，可得不等式 tanx≥2a 的解集为 xkπ+π4≤x
所以 α 为第一或第三象跟角，即 2kπ<α<2kπ+π2 或 2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z．
那么 4kπ<2α<4kπ+π 或 4kπ+2π<2α<4kπ+3π，k∈Z．
所以 2α 为第一或第二象限角或终边在 y 轴的非负半轴上，从而 sin2α>0．
答案C．
4. C
5. D
6. A【解析】将点 π12,0 代入 y=tan2x+φ 得 tan2×π12+φ=0．
因为 π6+φ=kπk∈Z．所以 φ=−π6+kπk∈Z．当 k=0 时，φ=−π6．
7. D
8. C【解析】A选项：y=sinx 是奇函数，但在定义域内有增有减；
B选项：y=tanx 是奇函数，但在定义域内没有单调性，要记牢；
C选项：y=x3 是奇函数，是在定义域内递增；
D选项：y=ex 不是奇函数，但在定义域内递增．
9. B
10. A
11. B
12. C
13. A【解析】tanθ=tan23π=−3，2csπ2+θ=2sin−θ=−2sin23π=−3，
可知充分，当 θ=0∘ 时 tanθ=0，2csπ2+θ=0 可知不必要．
14. C【解析】α,β∈π2,π，且 tanα
所以 tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ>0，所以 α+β∈π,3π2．
15. D
16. B【解析】若 tanα=tanβ，则 α=kπ+β，k∈Z，
若 α=kπ+β，且 k≠kπ+π2，k∈Z，
则 tanα=tankπ+β=tanβ，
故“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的必要不充分条件．
17. A
18. D【解析】a=sin5π7=sinπ−5π7=sin2π7，
因为 2π7−π4=π28>0，
所以 π4<2π7<π2．
当 α∈π4,π2 时，sinα>csα，
所以 a=sin2π7>cs2π7=b．
当 α∈0,π2 时，sinα
所以 c>a．
故 c>a>b．
19. B
20. D
【解析】tan4π7=tan−3π7
tan−15π8=tanπ8，
因为 tanπ7>tanπ8，
所以 tan−13π7>tan−15π8，
tan−13π4=tan−3π−π4=tan−π4=−tanπ4，
tan−12π5=tan−2π−2π5=tan−2π5=−tan2π5．
tan2π5>tanπ4，
所以 tan−12π5
21. xx≠π2+kπ,k∈Z
【解析】方法一：x≠π2+kπ，k∈Z．
方法二：根据正切函数 y=tanx 的定义知，
其定义域为：xx≠kπ+π2,k∈Z．
22. kπ,kπ+π2，k∈Z，kπ−π2,kπ，k∈Z
【解析】作出函数 y＝∣tanx∣ 的图象，如图．
观察图象可知，函数 y＝∣tanx∣ 的单调递增区间为 kπ,kπ+π2，k∈Z；单调递减区间为 kπ−π2,kπ，k∈Z．
23. kπ−π4,kπ+3π4，k∈Z
【解析】y=tanx−π4，
令 kπ−π2
24. −∞,−1∪1,+∞
25. y−4=−x−3
【解析】直线 y=x+1 的斜率 k=1，
所以倾斜角为 45∘．
由题意知，直线 l 的倾斜角为 135∘，
所以直线 l 的斜率 kʹ=tan135∘=−1．
又点 P3,4 在直线 l 上，
故由点斜式方程知直线 l 的方程为 y−4=−x−3．
第三部分
26. （1） >．
（2） <．
（3） <．
27. （1） 因为 fx=3tanπ6−x4=−3tanx4−π6，
所以 T=π∣ω∣=π14=4π．
由 kπ−π2
在 4kπ−4π3,4kπ+8π3k∈Z 内单调递增，
所以 fx=−3tanx4−π6 在 4kπ−4π3,4kπ+8π3k∈Z 内单调递减．
故原函数的最小正周期为 4π，单调递减区间为 4kπ−4π3,4kπ+8π3k∈Z．
（2） fπ=3tanπ6−π4=3tan−π12=−3tanπ12,
f3π2=3tanπ6−3π8=3tan−5π24=−3tan5π24,
因为 0<π12<5π24<π2，
且 y=tanx 在 0,π2 上单调递增，
所以 tanπ12
28. （1） 因为 ω=13，
所以 最小正周期 T=π∣ω∣=π13=3π．
令 x3−π3=kπ2k∈Z，
得 x=π+3kπ2k∈Z，
所以 fx 的对称中心是 π+3kπ2,0k∈Z．
（2） 令 x3−π3=0，则 x=π；
令 x3−π3=π2，则 x=5π2；
令 x3−π3=−π2，则 x=−π2．
从而得到函数 y=fx 在一个周期 −π2,5π2 内的简图（如图）．
29. tanα
所以 π2<3π2−β<π，可得 α<3π2−β，即 α+β<3π2．
30. T=π，图略．
31. （1） y=3tanπ4−2x=−3tan2x−π4，令 −π2+kπ<2x−π4<π2+kπ，则 −π8+kπ2，k∈Z，从而函数 y=3tan2x−π4 的单调递增区间为 −π8+kπ2,3π8+kπ2，k∈Z，故函数 y=3tanπ4−2x 的单调递减区间为 −π8+kπ2,3π8+kπ2，k∈Z .
（2） 由题意知 ω<0，因为 −π3
所以 π4ω≥−π2+kπ,k∈Z,−π3ω≤π2+kπ,k∈Z,
解得 ω≥4k−2,k∈Z,ω≥−3k−32,k∈Z.
由 ω<0 得 −32≤ω<0．
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